Класс.шпор. Nсаныны гармоникалы ортасыны анытамасы

• Название: Nсаныны гармоникалы ортасыны анытамасы
• Дата: 24.05.2019
• Размер: 305.14 Kb.
• Имя файла: Класс.шпор.docx
• Тип: Документы; #78671

n-санының гармоникалық ортасының анықтамасы: а₁,а₂,...а_n – сандарының гармоникалық орта мәні деп осы сандарға кері шамалардың арифметикалық орта мәніне кері шаманы айтады, демек саны.

n- санының геометриялық ортасының анықтамасы: a₁,a₂,...,a_n сандарының геометриялық ортасы - a₁,a₂,...,a_n сандарының көбейтіндісінің n дәрежелі түбіріне тең санын айтады.

n-санының арифметикалық ортасының анықтамасы: арифметикалық орта – бірнеше санның (a₁,a₂,...,a_n) қосындысын қосылғыштардың санына (n) бөлгеннен шыққaн бөлінді сан

n-санының квадраттық ортасының анықтамасы: квадраттық орта –берілген а₁,а₂,...а_n сандары квадраттарының арифметикалық орта шамасының квадрат түбіріне тең сан

Екі санның геометриялық және гармоникалық ортасы арасындағы теңсіздік.

где

Екі санның геометриялық және арифметикалық ортасы арасындағы теңсіздік.

где

Екі санның арифметикалық және квадраттық ортасы арасындағы теңсіздік.



Коши-Буняковский теңсіздігі.a₁,a₂,…,a_n; b₁,b₂,…,b_n (b_i ≠ 0, i= 1,…,n) сандары үшін Теңсіздігі Коши-Буяновский теңсіздігі (Батыс басылымдарында бұл теңсіздікті Коши-Шварц теңсіздігі) деп аталады. Бұл теңсіздікте болғанда ғана, тек сонда ғана теңдік орындалады.Мұны француз математигі О.Коши дәлелдеген(1821).

Бернулли теңсіздігі , егер х≥-1 болса , онда барлық n натурал мәндер үшін теңсіздік орындалады где

Симметриялық теңсіздіктің анықтамасы. Теңсіздік симметриялық деп аталады , егер мына теңдік орындалса

Чебышев теңсіздігі. где - оң сандар.

Ең тиімді алгоритм түсінігі.

Пусть и , тогда - этот алгоритм называется «жадным» алгоритмом.

Математикалық индукция әдісі.

Бізге мына түрдегі теңсіздікті дәлелдеу керек болсын:

При n=1 должно выполняться(теңсіздігі орындалуы керек) неравенство

При n=k предполагаем выполнение(теңсіздікті дұрыс деп жорығанда) неравенства:

При n=k+1 , доказваем неравенство (теңсіздікті дәлелдейміз)

Үшбұрыш теңсіздіктері.

a,b,c – АВС үшбұрышы қабырғаларының ұзындықтары болсын . Онда:

a+b > c , a+c > b , b+c > a





Бұл теңсіздіктер Үшбұрыш теңсіздіктері деп аталады.

Йенсен теңсіздігі деп аталатын дөңес функциядағы n-нүктедегі мәндерінің арифметикалық ортасы мен осы нүктелердің арифметикалық ортасындағы функция мәнінің арасындағы қатынасты көрсететін теңсіздікті көптеген қиын олимпиадалық есептерді шығаруға қолдануға болады.Теорема: қандай да бір f(x) функциясы берілсін.Егер (а,b) кесіндісінде жататын нүктелері үшін (1) теңсіздігі орындалса онда кез келген нүктелері үшінде теңсіздігі орындалады.

Юнга теңсіздігі. Tеріс емес екі a және b санын және p және q () екі санын қарастырайық. Келесі Юнга теңсіздігін дәлелдейік: Дәлелдеу. , болғандағы функциясын қарастырайық. болғасын ,онда ,болғанда және болған кезде. нүктесінде-функциясы ең үлкен мәнді қабылдайды, сонымен қоса . Соған сәйкес, барлық үшін.Соңғы теңсіздікте . Осылайша Юнга теңсіздігі болғанда орындалады. болған кезде ол анық.

Гельдер теңсіздігі.

a,b,p,q >0 және болсын. Сонда кез келген теріс емес а және b сандары үшін мына теңсіздік орынды:

Минковский теңсіздігі.

және теріс емес сандар болсын және. Онда келесі Минковский теңсіздігі орынды

Дәлелдеу. теңсіздігін жазып алайық.

Егер , онда . Сондықтан

Соңғы теңсіздіктің екі жағын мынағанбөлсек, Минковский теңсіздігін аламыз. Герман Минковский (1864–1909)–немецкий математик

Теңсіздіктерді дәлелдеуде туындыны қолдану теореманың тұжырымдамасы.

немесе облысында және функциялары анықталған және үзіліссіз.

Теорема. Егер және функциялары және облыстарында дифференциалданатын болса , болса ,онда -да теңсіздігі орынды:

Егер облыста , болса ,онда -да теңсіздігі орынды, немесе болған кезде.

Теңсіздіктерді дәлелдеуде интегралды қолдану теореманың тұжырымдамасы. f(x) және g(x) интегралданатын болсын және осы аралықта f(x)g(x) теңсіздігі орындалады.Сонда (1) Доказательство.аралығында Т еркін белгіленген бөлінуін және f(x) және g(x) функциялары үшін тиісті интегралдық қосындысын қарастырамыз.олар үшін айқын қатынас жасалады.

F(x) және g(x) үшін интегралдық қосындының тиісті бірізділігін және кездейсоқ қалыпты бөлу тізбегін қайта қарастыра отырып, (1)-ны аламыз.

Екі оң санның гармоникалық және геометриялық ортасының арасындағы теңсіздіктің дәлелдемесі.Мысал:

,



Екі теріс емес санның геометриялық және арифметикалық ортасының арасындағы теңсіздіктің дәлелдемесі.Мысал:

где



Екі теріс емес санның арифметикалық және квадраттық ортасының арасындағы теңсіздіктің дәлелдемесі.Мысал:

,



теңсіздігін дәлелдеудің қарапайым тәсілі.
теңсіздігін Коши теңсіздігі арқылы дәлелдеңдер.





Симметриялығын пайдаланып теңсіздігін дәлелдеу.

Так как неравенство является симметричным,предполагаем , что

Применяя «жадный» алгоритм, получим:



теңсіздігін Коши-Буняковский теңсіздігінің арқылы дәлелдеуі.





рассматривая разность как функцию от переменной а .

Рассмотрим функцию

- min



Коши-Буняковский теңсіздігінің дәлелдемесі.

векторларын қарастырамыз



Чебышев теңсіздігінің дәлелдемесі.







Бернулли теңсіздігінің дәлелдемесі.

,

При n=1 1+x=1+x

При n=k жорамалдаймыз, что

При n=k+1 үшін дәлелдейміз

Гельдер теңсіздігінің дәлелдемесі.

a,b,p,q >0 және болсын. Сонда кез келген теріс емес а және b сандары үшін мына теңсіздік орынды:



Минковский теңсіздігінің дәлелдемесі.

және теріс емес сандар болсын және. Онда келесі Минковский теңсіздігі орынды

Дәлелдеу. теңсіздігін жазып алайық.

Егер , онда . Сондықтан



Соңғы теңсіздіктің екі жағын мынағанбөлсек, Минковский теңсіздігін аламыз. Герман Минковский (1864–1909)–немецкий математик

Йенсен теңсіздігінің дәлелдемесі. Йенсен теңсіздігі деп аталатын дөңес функциядағы n-нүктедегі мәндерінің арифметикалық ортасы мен осы нүктелердің арифметикалық ортасындағы функция мәнінің арасындағы қатынасты көрсететін теңсіздікті көптеген қиын олимпиадалық есептерді шығаруға қолдануға болады.Теорема: қандай да бір f(x) функциясы берілсін.Егер (а,b) кесіндісінде жататын нүктелері үшін (1) теңсіздігі орындалса онда кез келген нүктелері үшінде теңсіздігі орындалады.
Юнга теңсіздігінің дәлелдемесі. Tеріс емес екі a және b санын және p және q () екі санын қарастырайық. Келесі Юнга теңсіздігін дәлелдейік:

Дәлелдеу. , болғандағы функциясын қарастырайық. болғасын ,онда ,болғанда және болған кезде. нүктесінде-функциясы ең үлкен мәнді қабылдайды, сонымен қоса . Соған сәйкес, барлық үшін.Соңғы теңсіздікте . Осылайша Юнга теңсіздігі болғанда орындалады. болған кезде ол анық.

Теңсіздіктерді дәлелдеуде туындыны қолдану теоремасы. Дәлелдемесі.

немесе облысында және функциялары анықталған және үзіліссіз.

Теорема. Егер және функциялары және облыстарында дифференциалданатын болса , болса ,онда -да теңсіздігі орынды:

Егер облыста , болса ,онда -да теңсіздігі орынды, немесе болған кезде.

Теңсіздікті дәлелдеуде интегралды қолдану теоремасы.Дәлелдемесі

f(x) және g(x) интегралданатын болсын және осы аралықта f(x)g(x) теңсіздігі орындалады.Сонда (1) Доказательство.аралығында Т еркін белгіленген бөлінуін және f(x) және g(x) функциялары үшін тиісті интегралдық қосындысын қарастырамыз.олар үшін айқын қатынас жасалады.

F(x) және g(x) үшін интегралдық қосындының тиісті бірізділігін және кездейсоқ қалыпты бөлу тізбегін қайта қарастыра отырып, (1)-ны аламыз.

Математикалық индукция әдісін қолдана отырып, теңсіздіктерді дәлелдеу.Мысал келтіріңіз.



I)

N=1 1=1

N=k

N=k+1





II)

N=1 1<2






Айнымалыны ауыстыру әдісін қолдана отырып, теңсіздіктерді дәлелдеу.Мысал келтіріңіз.

,

болсын. Бұдан

Тригонометриялық функцияларды қолдана отырып,теңсіздіктерді дәлелдеу. Мысал келтіріңіз.

Дәлелдеу. болсын.

Бұдан осыған сәйкес