Град 14452 шифр 01. На территории города имеется три телефонных станции А, б и В. Незадействованные емкости станций составляют на станции а q

• Название: На территории города имеется три телефонных станции А, б и В. Незадействованные емкости станций составляют на станции а q
• Дата: 13.10.2022
• Размер: 207.93 Kb.
• Имя файла: Град 14452 шифр 01.docx
• Тип: Задача; #731545
• страница: 1 из 4

ЗАДАЧА 1.

На территории города имеется три телефонных станции А, Б и В. Незадействованные емкости станций составляют на станции А - Q_А=3000, Б - Q_Б=4000, В - Q_В=2000 номеров (данные из таблицы 1.1). Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1 - q₁=1200, 2 - q₂=2700, 3 - q₃=3100, 4 - q₄=2000 номеров (данные из таблицы 1.2).

Среднее расстояние от станции до районов застройки, км.

Станции	РАЙОНЫ
	1	2	3	4
А	4	5	6	4
Б	3	2	1	4
В	6	7	5	2

Необходимо составить экономико-математическую модель задачи и с помощью распределительного или модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения емкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом при прочих равных условиях будет такое распределение емкости, при котором общая протяженность абонентских линий будет минимальной.

Решение.

Пусть (шт.) - количество емкостей телефонных станций от i-й станции до j-го района ( ; ). Z (км) общая протяженность абонентских линий.

Матрица протяженность абонентских линий выглядит так:

.

Нужно найти вариант распределения емкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети.

Математически задача сводится к нахождению минимума целевой функции:

.

При ограничениях:



Решим транспортную задачу и составим оптимальный план распределения емкостей телефонных станций между районами новой застройки.

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

(ном.),

(ном.),

значит, данная задача является закрытой.

Найдем первоначальный опорный план методом минимального элемента.

Транспортная таблица:

	1	2	3	4	Запасы
1	4	5	6	4	3000
2	3	2	1	4	4000
3	6	7	5	2	2000
Потребности	1200	2700	3100	2000	9000

1). , 3-й столбец исключаем; 2). , 2-ю строку исключаем;

3). , 3-ю строку 4-й столбец исключаем;

4). , 1-й столбец исключаем;

5). , 1-ю строку исключаем; 6). .

Здесь и далее в нижнем правом углу записываем значение перевозки.

Нулевая перевозка была введена для того, чтобы число заполненных клеток было равно . Следовательно, опорный план является невырожденным.

	1	2	3	4	Запасы
1	4 1200	5 1800	6	4	3000
2	3	2 900	1 3100	4	4000
3	6	7	5 0	2 2000	2000
Потребности	1200	2700	3100	2000	9000

Стоимость 1-ого плана:

.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij.



Положим , тогда:

.

Составим таблицу:

В А	В1 (v1=4)	В2 (v2=5)	В3 (v3=4)	В4 (v4=1)
(u1=0)	4 1200	5 1800	6	4	3000
(u2=-3)	3	2 900	1 3100	4	4000
(u3=1)	6	7	5 0	2 2000	2000
	1200	2700	3100	2000	9000

В верхнем левом углу здесь и далее записываем значение u_i+v_j-c_ij.

Для всех клеток данной таблицы выполнены условия оптимальности:

1)u_i+v_j-с_ij=0 для клеток, занятых перевозками;

2)u_i+v_j-с_ij≤0 для свободных клеток.

Следовательно, данный план является оптимальным.
Ответ: оптимальный план распределения емкостей телефонных станций между районами новой застройки:

со станции А- 1200 номеров в первый; 1800 номеров - во второй районы;

со станции В - 900 номеров - во второй район; 3100 - в третий район;

со станции С - 2000 – в четвертый район.

При этом минимальная общая протяженность абонентских линий составит (км.)

ЗАДАЧА 2.

Необходимо оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n=7 линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна λ=3 вызова в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно t_обс=2 единицы времени.

Решение.

Определим основные показатели работы АТС.

Поступающая нагрузка в Эрлангах: .

.

Вероятности того, что из п линий к будет занято: .

Получим:

,

,

,

,

,

,

,

Вероятность отказа системы: , то есть очень мала.

Среднее число занятых линий: .

Среднее число свободных линий: .

Коэффициент занятости линий: .

Коэффициент простоя линий: .

Выводы: основным критерием эффективности данной системы может служить близкая к нулю вероятность отказа системы. Также о высоком качестве обслуживания абонентов и эффективности данной системы могут свидетельствовать полученные значения коэффициентов занятости и простоя, средних чисел занятых и свободных линий. Однако, можем сказать, что при данной загрузке системы имеется возможность снизить количество линий без видимого ущерба качества обслуживания.

ЗАДАЧА 3.

В таблице приведены затраты времени почтальона (в минутах) на проход между пунктами доставки на участке. Используя метод "ветвей и границ", найти маршрут почтальона, при котором затраты времени на его проход будут минимальными.

	А	Б	В	Г	Д	Е
А	-	7	5	15	10	6
Б	8	-	7	20	6	12
В	4	6	-	19	10	4
Г	16	20	20	-	8	14
Д	10	8	9	7	-	12
Е	7	12	4	15	10	-