мат 32. Найти указанные пределы

Задание №1

Найти указанные пределы:

а)

Вынесем за скобки старшие степени по х в числителе и знаменателе:

б)

Умножим и разделим выражение на

, чтобы получить разность квадратов в числителе:

Теперь применим формулу разности квадратов в числителе:

в)

Т.к. в знаменателе стоит ограниченная функция

, причем знакопеременная, а в числителе бесконечно большая при

функция, заданный предел неопределенный:

Примечание: скорее всего предел должен быть таким:

Здесь воспользовались первым замечательным пределом

Задание №2

Найти производные первого порядка данных функций:

а)

Представим функцию в виде степенной:

И применим правило дифференцирования сложной функции и суммы функций:

б)

Применим правила дифференцирования сложной функции и суммы функций:

в)

Применим правила дифференцирования частного и сложной функции:

Задание №3

Вычислить следующие неопределенные интегралы:

а)

Используем свойство линейности и применим непосредственное интегрирование:

б)

Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов:

Приравняем коэффициенты при различных степенях х:

Отсюда:

Искомое разложение:

Найдем интеграл:

в)

Заметим, что

Внесем

под знак дифференциала: