8 сынып геометрия. 8 сынып геометрия 2. Не для пе чати Не для пе чати
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
многоугольники. четырехугольники 1 ! запомните В механике точку пересечения медиан треугольника, сделанного из однородного материала, называют его центром тяжести, или цен- тром масс. А в геометрии эта точка называется центроидом. Окружность, описанная около треугольника Определение. Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется окружностью, описанной около этого треугольника (рис. 1.73). Теорема 2. Серединные перпендикуляры, про- веденные к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника. ▲ На рис. 1.74 серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам AB и BC, пересекаются в точке о. (Самостоятельно покажите, что середин- ные перпендикуляры сторон AB и BC пересека- ются, т.е. не могут не пересекаться.) Тогда OA = = OB = R и OC = OB = R, т. е. OA = OC = R ⇒ сере- динный перпендикуляр, проведенный к стороне AC, также проходит через точку о. Следствие. около любого треугольника можно описать единствен- ную окружность. ▲ По теореме 2 AO = BO = CO = R (рис. 1.74). Тогда точки A, B, C расположены на окружности с радиусом R с центром в точке O, и эта окружность единственная (по заданному радиусу и центру). Окружность, вписанная в треугольник Определение. Окружность называется вписан- ной в треугольник, если она касается всех его сто- рон (рис. 1.75). центр этой окружности иногда на- зывают инцентром. Теорема 3. В каждом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Рис. 1.73 O A C B D А F E С Рис. 1.74 В о Рис. 1.75 В С А о Все учебники Казахстана на OKULYK.KZ * Книга предоставлена исключительно в образовательных целях согласно Приказа Министра образования и науки Республики Казахстан от 17 мая 2019 года № 217 Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати е для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати е для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати 41 раздел 1 ▲ На рис. 1.76 биссектрисы AD и BE пересе- каются в точке о. (Самостоятельно обоснуйте этот факт, см. задачу 1.170 (2).) AD BE = O. Точки бис- сектрисы равноудалены от сторон угла. Поэтому точка о расположена на одинаковом расстоянии r от сторон AB и AC. Также точка о находится на одинаковом расстоянии r от сторон BA и BC. Следо- вательно, точка о находится на одинаковом расстоянии от АС и ВС, т. е. точка O лежит на биссектрисе CF. Следствие. В любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой находится в точке пересечения биссектрис треугольника. ▲ Точка о находится на одинаковом расстоянии r от сторон тре- угольника (рис. 1.76). Тогда окружность с центром в точке о и радиусом r касается всех сторон треугольника, и эта окружность единственная. Точка пересечения высот треугольника Теорема 4. Высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. ▲ проведем прямые A 1 B 1 , A 1 C 1 , B 1 C 1 так, чтобы A 1 B 1 AB, A 1 C 1 AC, B 1 C 1 BC (рис. 1.77). Тогда отрез- ки AB, AC и BC являются средними линиями A 1 B 1 C 1 (докажите это самостоятельно). Следовательно, от- резки AD, BE и CF как серединные перпендикуля- ры A 1 B 1 C 1 пересекаются в одной точке о. С другой стороны, отрезки AD, BE и CF являются высотами ABC, которые пересекаются в точке о. Точка пересечения высот треугольника называет- ся ортоцентром. Вневписанная в треугольник окружность Определение. Вневписанной в треугольник окруж- ностью называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон (рис. 1.78.) Рис. 1.76 В D O F r r r C Е А B F D O E C A A 1 B 1 C 1 Рис. 1.77 Рис. 1.78 B R R R C A о 1 Все учебники Казахстана на OKULYK.KZ * Книга предоставлена исключительно в образовательных целях согласно Приказа Министра образования и науки Республики Казахстан от 17 мая 2019 года № 217 Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати е для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати е для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати Не для пе чати 42 многоугольники. четырехугольники 1 практическая работа Теорема 5. Биссектриса одного угла с бис- сектрисами внешних углов при других верши- нах пересекаются в одной точке (рис. 1.79). Следствие. При каждой стороне любого тре- угольника можно построить единственную вне- вписанную окружность, центром которой явля- ется точка пересечения биссектрисы, проведен- ной из вершины, противолежащей этой стороне, и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Доказывается так же, как следствие теоремы 3. Теорема 5 доказывается так же, как и теорема 3. Следствие теоре- мы 5 доказывается так же, как и следствие теоремы 3. Обратите внимание! Итак, мы узнали, что любой треугольник име- ет точки, называемые замечательными точками треугольника: точку пересечения медиан, точку пересечения серединных перпендикуляров, точку пересечения биссектрис, точку пересечения высот. 1. Сформулируйте свойство медиан треугольника. 2. Какая окружность называется описанной около треугольника (вписан- ной в треугольник)? 3. Как найти центр описанной около треугольника окружности? 4. Как найти центр вписанной в треугольник окружности? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему. 5. Какие окружности называются вневписанными? Сколько их? 6. Как найти центр вневписанной окружности? Сформулируйте и докажи- те соответствующую теорему. 7. Сформулируйте и докажите свойства высот треугольника. постройте треугольник АВС по своему усмотрению. Для этого треуголь- ника постройте: а) точку пересечения медиан; б) точку пересечения высот; в) описанную окружность; г) вписанную окружность; д) вневписанную окружность. B F D O E A C O 1 O 3 O 2 Рис. 1.79 R 1 |