|
|
Ханикалов_Теоремыс. Некоторые теоремы разрешимости нелинейных уравнений второго рода и их приложения к уравнениям с сингулярными интегралами
Некоторые теоремы разрешимости нелинейных уравнений второго рода и их приложения к уравнениям с сингулярными интегралами
Х.Б. Ханикалов
ДГУ, Махачкала
УДК 517.946
Аннотация: В статье исследуются нелинейные уравнения второго рода с сингулярными интегралами в комплексных пространствах  . Приведены теоремы разрешимости этих уравнений.
Ключевые слова: оператор, монотонность, коэрцитивность, нелокальная
разрешимость, пространства.
Рассматриваются общие уравнения и системы типа
в действительных и комплексных пространствах  .
Всюду в работе  - линейный вектор-оператор, вектор - оператор  - известный оператор суперпозиции, называемый оператором Немыцкого,  - в общем случае вектор-функция.
В наших приложениях А – линейный сингулярный интегральный оператор и он не может быть компактным и не действует в L1. Мы нигде в работе от Fu не требуем малоконструктивного для систем условия монотонной (секторной) ограниченности оператора F.
Полученные общие результаты для уравнений (I) и (II) перенесены на случай когда А – линейный сингулярный интегральный оператор, а оператор F действует из Lp в Lq. Частично результаты анонсированы ранее в работах [5]- [7].
1. Общие теоремы существования и единственности
Всюду в работе  ,
 ,
 - гладкая линия на комплексной плоскости С. Функция   С С измерима на контуре  при каждом  C и непрерывна по  при каждом  .
Функция называется монотонной по почти при каждом  , если
 .
Всюду в работе - монотонная функция в комплексном С.
Теорема 1.1. Пусть функция удовлетворяет неравенству
 (1)
линейный оператор  ограниченный и положительный.
Тогда при каждом  уравнение (I) имеет решение в  . Если, кроме того, хотя бы один из операторов А или F строго монотонен, то это решение единственное в  .
Доказательство. Если в уравнении (I) сделать замену  на  а вместо  написать  , то у нас получится уравнение в котором  , а вместо  будет  В дальнейшем  и будем считать такими.
Рассмотрим вспомогательное уравнение
где  - оператор сопряжённый A, n - натуральное число. Оператор  , очевидно, непрерывный и монотонный. Из коэрцитивности первого слагаемого и положительности остальных двух операторов следует коэрцитивность оператора  при каждом фиксированном n. Поэтому уравнение  имеет решение  (см.[4]). Из положительности каждого слагаемого в Фn следует, что
т.е. что последовательность  равномерно ограничена числом  . Интегрируя обе части  в , получим
 .
Из условия (1) имеем
 .
Из последнего с учётом  и  , получим ограниченность последовательности Умножая обе части  на  , получим
Отсюда следует равномерная ограниченность последовательности  Из последнего следует, что
Из ограниченности  следует существование слабо сходящейся к  подпоследовательности 
Монотонность оператора
и сильная сходимость в  к нулю первого слагаемого в  дает слабую
сходимость  к  .
Из монотонности  следует, что существует  для которой верно
почти всюду, т. е.  является решением уравнения (I).
Единственность решения вытекает непосредственно из уравнения (I).
Пусть  и  – разные решения уравнения. Тогда получим
Умножая обе части последнего равенства на выражение в скобках и интегрируя с мерой  , получим
 Если  строго монотонный, то из первого равенства следует 
Если оператор строго монотонный, то   и уже из уравнения (I) следует 
Следствие 1.1. Если оператор в теореме ограничен в и  - решение уравнения (I) из  , то  Это следует из того, что 
Следствие 1.2. Если в неравенстве (1) нет  , т.e.  , то при любом измеримом уравнение имеет решение такое, что 
Это следует из того, что 
Замечание 1.1. В теореме ограничение  является в целом необходимым. Мы построили пример линейного оператора и монотонного
при которых уравнение (I) заведомо не имеет решения.
Пусть
где  - единичная окружность с центром в точке (0,0). В следующем пункте 2 доказывается, что – положительный оператор.
На единичной окружности функцию из  всегда можно разложить в ряд
Но если подставить  в оператор , мы получим
Значит
для любых из . Если в правой части взять  при любом натуральном  , то уравнение (I) не имеет решения ни в каком известном пространстве.
Этот пример говорит и о необходимости существенных дополнительных ограничений на операторы или при доказательстве гипотетического утверждения теоремы 3 работы [1].
Эти авторы так и поступили при доказательстве соответствующих утверждений в работах [3], [4].
Рассмотрим теперь уравнение (II).
Теорема 1.2. Пусть оператор удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, оператор  - линейный ограниченный в любом  , положительный, кроме того
Тогда уравнение (II) имеет решение в .
Если, кроме того, хотя бы один из операторов или строго монотонен, то это решение единственное в .
Для доказательства строятся уравнения
Первое и третье слагаемые действуют из в   ,  , являются непрерывными множествами, и их сумма является коэрцитивной в . Оператор положительный в том смысле, что  при любом 
Берем общий для и базис  и составим подпространства из многочленов  ,  . В этих подпространствах нормы эквивалентны и оператор  коэрцитивный как оператор из в . Значит уравнение  имеет решение  в каждом  , имеющий такой смысл, что
Из коэрцитивности  следует равномерная ограниченность множества  в . Используя монотонность мы получим существование слабого предела  подпоследовательности из , которая является решением  . Но поскольку первое и третье слагаемые в принадлежат , то и  .
Из тождества  и положительности следует ограниченность множества  числом  .
Используя условия (1) и (2) получается
С учетом  , ограниченности первого слагаемого в неравенстве,  , мы получаем равномерную ограниченность  . Значит из  можно выделить подпоследовательность  такую, что  ,  ,  сходятся слабо к ,  ,  соответственно. Первое слагаемое в сходится к нулю по норме в . Пользуясь монотонностью  , мы получим  , причем,  ,  . Значит, является решением уравнения (II).
Единственность решения доказывается как в предыдущей теореме.
Замечание 1.2. Если  , то решение уравнения существует в при тех же условиях теоремы 2.
Теорема 1.3. Пусть функция  удовлетворяет неравенствам
Пусть далее  – линейный непрерывный и положительный оператор при  . Тогда уравнение (II) имеет решение в  .
Доказательство. В случае  оператор  непрерывный, монотонный в , а из левой части (3) следует его коэрцитивность в . Значит, уравнение имеет решение в .
При  строим такую “срезку”  функции , чтобы
с сохранением монотонности  по . Возможность такого построения  геометрически очевидна. В достаточно большом круге  функции и совпадают, а дальше строятся так, чтобы сохранить непрерывность и монотонность по z, конечно  .
При каждом фиксированном  доказательство существования мы уже отметили, ибо . Значит, мы имеем последовательность  такую, что
Из положительности и из (3) следует, что
и что последовательность равномерно ограничена в  .
Из (3) также следует, что последовательность  ограничена в  ,  . Значит, существует подпоследовательность  ,  ,  , которая слабо сходятся в пространстве   к , , и
Из построения следует, что  стремится к  по норме в  . Значит, есть слабый предел .
Используя монотонность , получим, что  , т. е. что есть решение уравнения из .
Замечание 1.3. Единственность решения, как и в предыдущей теореме, следует, если или строго монотонны по .
Следствие 1. 3. Если для  существует обратная функция
 ,
которая удовлетворяет условиям теоремы 1.3, то уравнение (I) сводится к (II) и уравнение (I) имеет решение в соответствующем  .
2. Применение к нелинейным уравнениям с сингулярными интегралами
Обозначим через   линейные сингулярные интеграль-ные операторы
 ,
 ,
где γ - единичная окружность на комплексной плоскости, функция   , принадлежит  и симметрична относительно своих аргументов.
Лемма 2.1. Операторы   ограничены и положительны при  и
Положительность оператора  получается непосредственно из разложения
Для оператора  непосредственно имеем
откуда следует, что
Ограниченность операторов известна из классической теоремы Рисса (см., напр., [7]). Ограниченность снизу прямо следует из
которое получается непосредственно, разлагая  в ряд Лорана на единичной окружности .
Замечание 2.1. Некоторая формула обратимости имеет место и для оператора  при  , а именно
Это обращение следует из
Оператор удовлетворяет всем условиям, накладываемым на оператор в теоремах предыдущего параграфа. Поэтому теоремы 1.1 – 1.3 останутся справедливыми, если в них оператор заменить на . Только оператор  не является строго монотонным, поэтому для получения единственности строгая монотонность накладывается на функцию .
Поскольку оператор самообратим, то теоремы 1.1 - 1.3 применимы и для уравнения (I).
Оператор в общем случае не ограничен в снизу, поэтому в теореме 1.2 нельзя заменить на . Но если взять , то такой  ограничен снизу в некотором подпространстве  Функция  из принадлежит  , если имеет место
 ,
т.е. при разложении  в тригонометрический ряд  .
Поскольку правая часть g уравнения (I) можно полагать  , то уравнение (I) при  можно исследовать в таких подпространствах. Сопряжённым для в тоже является ( ), поэтому в теореме 1.2 можно считать .
Применять теоремы 1.1-1.3 можно и к линейным сингулярным операторам. Но такие операторы обычно изучаются в пространствах действительных функций и для них получены более «хорошие» результаты.
ЛИТЕРАТУРА
Brézis H., Browder F.E. Some new result about Hammerstein equations. //Bull. Amer. Math. Sosiety. 1974. V. 80. P. 567-572.
Brézis H., Browder F.E. Nonlinear integral equations and systems of Hammerstein type. //Advances in Mathematics. 1975. V.18. P. 115-147.
Brézis H., Browder F.E. Maximal monotone operators in nonreflexive Banach spaces and nonlinear integral equations of Hammerstein type. //Bull. Amer. Math. Sosiety. 1975, V. 81. P. 82-88.
Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. -М.: Наука. 1972, –416 с.
Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. Теоремы разрешимости нелинейных уравнений второго рода и некоторые приложения. // Доклады AH СССР. 1983. Т.270. №5. С.1051-1053.
Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. Исследование некоторых нелинейных уравнений второго рода с сингулярными интегралами. // Вестник ДГУ. 1999. Вып. 1. С.59-64.
Ханикалов Х.Б. Об одном подходе к исследованию уравнений типа Гаммерштейна. // Актуальные проблемы математики и смежные вопросы ( труды межвузовского семинара), Махачкала, ФГБОУ ВПО «ДГТУ», 2015.
С. 88-92.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Наука. 1963. –624 с.
|
|
|
Скачать 499 Kb.