информатика. 30.10.19 готовый текст (информатика). О решении задач дифракции звуковых волн на неоднородных упругих объектах
 Скачать 66.5 Kb.
|
|
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ОБЪЕКТАХ Обзор литературы по задачам о рассеянии звука неоднородными объектами Изучению распространения и дифракции звуковых волн в неоднородных средах посвящено большое количество работ. При этом большая часть исследований посвящена рассмотрению рассеяния звука в акустических неоднородных средах. Это обусловлено как историческими причинами, так и относительной простотой уравнений движения такой среды, в которой переменными параметрами (функциями координат) могут быть лишь плотность и скорость звука [4]. Однако даже при этих условиях задача дифракции звуковых волн в общем случае остается настолько сложной, что аналитические решения возможны лишь для очень ограниченного класса неоднородностей. Наиболее изученными с этой точки зрения являются неоднородные среды, в которых неоднородность проявляется только в одном направлении.Такие среды называют слоисто-неоднородными или просто слоистыми, когда из контекста ясно, что речь идет не о совокупности однородных слоев. В этом случае система дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, описывающая распространение волны в сплошной среде, иногда может быть сведна к одному уравнению второго порядка, которое допускает разделение переменных. При этом для неоднородной акустической среды, когда ее свойства непрерывно изменяются в направлении одной из осей прямоугольной системы координат (например, z) и остаются неизменными в плоскостях, перпендикулярных этой оси, уравнение движения можно преобразовать в уравнение типа волнового [4], где f = 123, p - звуковое давление, r - плотность среды, k(z) - переменное волновое число, характерезующее неоднородность среды. Аналогичное уравнение получается в случае распространения в слоисто-неоднородной среде упругих и электромагнитных волн при определенных ограничениях на направление распространения и поляризацию волн. Одной из первых работ, посвященных изучению отражения звуковых волн от плоского неоднородного слоя, является работа [5], в которой решена задача отражения для случая нормального падения падения волны, когда зависимость k(z) такова, что (1.1) сводится к гипергеометрическому уравнению. Решение подобной задачи при наклонном падении волны приведено в работе [4], где представлен анализ зависимостей коэффициентов отражения переходного и симметричного слоев, а также проведено сравнение с линейным переходным слоем [6,1], в котором зависимость скорости звука от координаты z линейна. Исследование отражения волн от слоев с зависимостями k(z), заданными законами, получающимися в результате обобщения закона Эпштейна, проводится в работах [7,8]. Раздел 2 Фундаментальным трудом, представляющим результаты многих исследований по изучению распространения звука в плоских слоисто-неоднородных акустических средах является монография [4], в которой наряду с оригинальными решениями автор проводит обзор существующих решений. Представлены точные решения задачи отражения волны неоднородным полупространством с линейным законом для квадрата показателя преломления. Приведены решения для случая полиномиальной зависимости k (z),полученные в работах [9-14]. Случай, когда k(z) = k a / (z+b), впервие был рассмотрен Релеем [1]. Были получены выражения для коэффициента отражения при нормальном падении волны на границу однородной и неоднородной сред, а также найден коэффициент отражения от неоднородного слоя. Задача отражения плоской волны от сред с показателем преломления вида k (z) = k ( a - b /z ) была рассмотрена в [15]. Случай экспоненциального изменения волнового числа был исследован в работах [16-18]. Биэкспоненциальный закон k (z) = k [b + (1 - b + d)exp(-az) - d exp(-2az)], при котором решения выражаются через функции Уиттекера, рассмотрен в работе [19]. Особенности распространения звука в слоисто-неоднородной жидкой среде с тонкой упругой пластинкой на границе, когда волновое число k (z) = k [ 1 + a (ch z / h) ], обсуждаются в работе [20]. Поскольку число случаев, когда точные решения существуют, невелико, большое значение имеют приближенные методы, наиболее важным из которых является приближение геометрической оптики [21,22]. Некоторые подходы, позволяющие получить асимптотические решения при решении задач о распространении волн в неоднородных акустических средах приведены в работах [23,24,4]. В работах [25-27,4] рассматриваются приближенные методы определения коэффициента отражения плоской волны от слоя с произвольным законом изменения параметров , основанные на сведении уравнений движения в неоднородном слое к уравнению Рикатти для коэффициента отражения или импеданса. Ряд работ посвящен изучению рассеяния волн цилиндрическими и сферическими акустическими неоднородностями, включенными в однородную жидкость. Некоторые точные решения задач дифракции плоской звуковой волны на бесконечном круговом радиально-неоднородном цилиндре даны в [28,29]. В указанных работах рассматриваются осесимметричные неоднородности при законах изменения плотности (r)=A exp(-a r) и (r)=A r . Скорость звука в первом случае принимается постоянной, а во втором - c (r) = c r . Раздел 3 На основе точного решения получены асимптотические оценки в длинноволновом приближении, позволяющие производить вычисления с заданной точностью.Выполнены расчеты ближнего (на поверхности цилиндра) и дальнего рассеянных полей. Проведено сравнение интенсивности и полного поперечного сечения рассеяния в случаях переменной и постоянной осредненной плотности. Для аналогичных зависимостей материальных параметров рассеивателя от сферической координаты r аналитические решения получены и в случае рассеяния плоской волны неоднородной сферой [30]. Для приближенного аналитического решения задач дифракции звуковых волн на осесимметричных и центросимметричных неоднородностях в работах [29,31-36] применяются метод полиномиальных операторов и приближение многочленами. Для случая квадратичной неоднородности плотности материала цилиндрического препятствия в работе [29] применен метод Фробениуса для построения решения в виде обобщенного степенного ряда. Приближение многочленами использовалось и при решении задач дифракции плоской акустической волны давления на абсолютно жестких цилиндре и сфере, окруженных радиально-неоднородными слоями [36-38]. В работе [39] рассматривается задача дифракции цилиндрических и сферических звуковых волн на сферической неоднородности. Проведены расчеты дальней зоны поля, а также давления на поверхности для некоторых случаев изменения плотности и скорости звука по законам (r)= A r , c(r) = c r . Звуковое поле, рассеянное неоднородным эллипсоидом вращения с малым эксцентриситетом при произвольном радиальном распределении плотности, исследуется в работах [40,41]. Одномерные обратные задачи для сферически симметричных акустических неоднородностей решаются в работах [42-44]. По данным акустического рассеяния на основе метода Гельфонда-Левитана в работе [42] рассмотрено восстановление профиля скорости звука (при постоянной плотности), а в [44] восстановление плотности радиально-неоднородной сферы. Один из возможных подходов к изучению распространения звука в слоисто-неоднородных средах, как акустических, так и упругих, состоит в представлении неоднородной среды в виде системы достаточно тонких однородных слоев , в которых механические параметры меняются от слоя к слою, но остаются постоянными в пределах каждого слоя. Такое представление эквивалентно аппроксимации непрерывной функции , характерезующей какой-либо переменный параметр среды, кусочно-постоянной функцией. На основе такой модели в работе [45] было рассмотрено нормальное падение плоской волны на плавно-неоднородный акустический слой,аппроксимируемый дискретно-слоистой средой. Автором вводятся условия, позволяющие оценить качество такой аппроксимации. В работе [46] дано общее решение задачи дифракции звука на неоднородном мягком (жидком или газообразном) цилиндре, составленном из произвольного числа однородных слоев. Прохождение звука через произвольное число плоских упругих однородных слоев подробно изучено в работах [47, 48,4]. Задачи о рассеянии электромагнитных волн на сферических и цилиндрических объектах, состоящих из однородных слоев, решаются в работах [49-53]. Анализу распространения упругих волн в многослойных цилиндрах посвящены работы [54-57]. В большинстве случаев при изучении распространения волн в средах слоистой структуры эффективным оказывается применение матричного метода. Использованию матричного метода для построения и исследования волновых полей в слоистых упругих и жидких средах посвящена монография [58], в которой применение матричного формализма автор обобщает на случай упругих и жидких слоев, неоднородных в направлении, перпендикулярном границам. Кроме того, подробно рассматривается описание с помощью матричного метода распространения волн в трансверсально-изотропных упругих средах. Помимо зависимости механических характеристик среды от координат в качестве причин неоднородности препятствия при отражении и прохождении звуковых волн многими авторами рассматривались конструктивные особенности рассеивателей такие, как изменение толщины, наличие периодически расположенных опор или ребер жесткости. Задачи о рассеянии звука на такого рода неоднородностях решаются в работах [59-63]. Значительно большие трудности, чем при изучении волн в неоднородных акустических средах , возникают при решении проблем, связанных с распространением звука в неоднородных упругих средах. В некоторых простейших случаях, однако, удается воспользоваться решениями, полученными для акустических сред или при изучении дифракции электромагнитных волн. Часто для этого требуется высокая симметрия решаемых задач. Например, в некоторых случаях слоистой неоднородности при нормальном падении звуковой волны на плоский упругий слой или плоской упругой SH-волны на круговой неоднородный цилиндр задача сводится к решению одного уравнения Гельмгольца [29]. Первыми работами, посвященными изучению распространения волн в упругих неоднородных средах, являются [65-67]. В работах [65,66] независимо было получено векторное уравнение движения изотропной неоднородной упругой среды. В работе [67] рассматривалось распространение волны Релея на поверхности неоднородного изотропного полупространства, коэффициент Ламе в котором изменяется пропорционально глубине. В работах [68,69] аналогичная задача решалась в случае экспоненциальной зависимости от глубины, одинаковой для плотности и обоих параметров Ламе. Упругие среды со степенным изменением , , рассматривались в работах [70,71]. Задача определения коэффициентов отражения и преломления звуковой волны,падающей из жидкости, покрывающей твердое неоднородное полупространство, на границу раздела двух сред , решается в [72]. Параметры Ламе и плотность в упругом полупространстве изменяются с глубиной также согласно степенной зависимости. Задача решается для двух значений коэффициента Пуассона для случаев квадратичной и кубической зависимости параметров среды от глубины. В первом случае решение дано в элементарных функциях, во втором - в функциях Ханкеля порядка 1/3. Cлабо-неоднородные слоистые упругие среды В работах [73,74] получены приближеные явные выражения для коэффициентов отражения и преломления волн слабо неоднородными слоистыми упругими средами. В работе [73] из общего представления для коэффициентов выводятся приближенные явные выражения для высоко- и низкочастотных колебаний в случае, когда неоднородность такова, что отсутствуют точки поворота. В работе [74] для слоистого полупространства расчет выполнен в высокочастотном приближении для случая одной точки поворота продольного и поперечного типов. Распространение гармонических волн вдоль неоднородного упругого слоя, ограниченного с двух сторон сжимаемыми невязкими жидкостями различной плотности, исследовано в [75]. Предполагается, что в пределах слоя упругая постоянная Ламе изменяется по толщине в соответствии с законом (a-bz ) -2 , а модуль сдвига и плотность постоянны, что соответствует квадратичному изменению скорости продольных упругих волн. На основе метода степенных рядов построены решения и выведено дисперсионное уравнение. Проанализировано влияние параметров сред на распространение волн. Некоторые аналитические решения задач о распространении нестационарных одномерных упругих волн в слоисто-неоднородной и радиально-неоднородных средах приведены в книге [76]. Задача о распространении в неоднородном полупространстве упругой волны от точечного гармонического излучателя рассматривается в работе [77]. В ней предполагается, что квадраты волновых чисел объемных и сдвиговых волн уменьшаются при удалении от границы по линейному закону, причем достаточно медленно. Найдены интегральные представления, из которых затем выделены соотношения для нормальных волн. Приближенная система связанных обобщенных волновых уравнений, удобная для описания высокочастотных колебаний упругих твердых сред, параметры которых зависят от одной координаты получена в [78]. Плоская задача о дифракции акустической волны на неоднородном цилиндрическом теле с образующей, перпендикулярной фронту волны, сведена к системе интегро-дифференциальных уравнений. Ряд работ по изучению особенностей распространения волн в слоисто-неоднородных упругих средах был выполнен Завадским В.Ю. В работе [79] рассмотрен вопрос о волновом движении упругой слоистой среды со степенным законом изменения плотности и параметров Ламе, когда закон изменения квадратов скоростей продольных и поперечных волн - линейный, при постоянном их отношении. Исходное векторное уравнение движения в смещениях разбивается на два скалярных, которые приводятся к уравнениям Уиттекера. В случае двумерного волнового движения изотропной слоисто-неоднородной среды в работе [80] введены величины S и T, характерезующие дивергенцию и ротор вектора смещения. Для этих величин получена система двух дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Показана связь функций S, T с потенциалами вектора смещения. Ограничения, накладываемые на характер зависимости механических характеристик от z для того, чтобы распространение волны в слоистой среде происходило без изменения объема (S=0) или, наоборот, было связано только с изменением объема элемента среды (T=0), анализируются автором в [81]. В работе [82] распространена плоская задача о волновом движении упругой слоистой среды, плотность которой предполагается постоянной, а параметры Ламе изменяются в зависимости от одной координаты как непрерывные дифференцируемые функции. Для высоких частот получено асимптотическое представление скалярного и векторного потенциалов. Целый ряд работ посвящен изучению распространения волн в упругих слоисто-неоднородных средах с помощью импедансного метода. При использовании этого метода уравнения движения неоднородной упругой среды сводятся к матричному уравнению Риккати относительно упругих импедансов. Решение задачи Коши для уравнения Риккати проводится численно с применением ЭВМ. В работах [83,84] по аналогии с акустическим случаем вводится понятие внутренних изгибных импедансов, позволяющих существенно упростить численное решение задач о распространении изгибных волн по неоднородным пластинам и стержням. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка для введенных импедансов. В работе [85] было проведено обобщение импедансного метода на случай слоисто-неоднородных упругих сред. Получена система трех нелинейных дифференциальных уравнений , которым удовлетворяют три введенных в рассмотрение упругих импеданса; приведены выражения для коэффициентов отражения, вычисляемых по известным значениям входных импедансов. Метод иллюстрируется рядом примеров, в том числе, примером вычисления коэффициента отражения от плоского неоднородного слоя, согласующего между собой жидкое и упругое полупространства. Анализ отражения звуковых волн от твердых слоисто-неоднородных плоских слоев с помощью импедансного метода проводился и в работе [86]. Было показано, что импедансный метод расчета характеристик упругих волн в непрерывно-слоистых твердых средах математически эквивалентен дифференциальной ортогональной прогонке. Причем расчет характеристик рассеяния звуковых волн от акустических слоистых сред, основанный на методе скалярных импедансов, является частным случаем указанного метода. Использование импедансного метода для определения виброакустических характеристик радиально-слоистых упругих цилиндрических тел рассматривается в работе [87]. Предполагается, что инерционные и упругие параметры есть произвольные кусочно-непрерывные функции радиуса r. Получены системы нелинейных уравнений первого порядка для элементов матриц импедансов и проводимостей. На основе полученных результатов в работе решаются задачи о рассеянии плоской звуковой волны, нормально падающей на слоисто-неоднородный полый цилиндр, и задача о звукопрохождении через цилиндрическую радиально-слоистую оболочку, заполненную той же акустической средой, что и снаружи оболочки. Методом тензорных импедансов решается задача дифракции плоских звуковых волн на радиально-слоистом упругом цилиндре и в работе [88]. Проведены численные расчеты диаграмм направленности рассеянного поля для различных законов изменения плотности материала и параметров Ламе в зависимости от радиальной координаты. Решение с помошью импедансного метода задачи о рассеянии плоской звуковой волны радиально-неоднородной сферической оболочкой предложено в [89]. Работы для анизотропных материалов Почти во всех указанных выше работах о рассеянии и преломлении звуковых волн неоднородными упругими средами последние предполагались изотропными. С другой стороны, большинство работ, в которых рассматривается распространение волн в анизотропных материалах, посвящено однородным средам. Вопросам распространения упругих волн в анизотропных средах посвящены монографии [90,91]. Задача о прохождении плоской звуковой волны через трансверсально-изотропный упругий слой конечной толщины, граничащий с жидкими средами с различным волновым сопротивлением, рассмотрена в работе [92]. Определены коэффициенты матрицы слоя, входящие в выражения коэффициентов прохождения и отражения. Проведено сравнение зависимостей модуля коэффициента прохождения от волновой толщины слоя и угла падения звука для анизотропного и изотропного слоев, находящихся в жидкости. В приближении теории тонких пластин прохождение звука через трансверсально-изотропный слой рассматривается в [93]. Коэффициенты прохождения звука, полученные по приближенным формулам, сопоставлены с точными значениями, рассчитанными с применением матриц перехода. Указаны критерии применимости приближенных формул. В работе [94] предложен метод решения проблемы отражения и прохождения плоской волны через слоистую среду, состоящую из однородных анизотропных материалов, обладающих анизотропией упругих свойств наиболее общего типа. Более компактный метод решения такой же задачи дан в [95]. Изложенный в работе метод позволяет полностью использовать логику матричного подхода к вычислению коэффициентов для произвольного числа изотропных слоев [47]. В качестве иллюстрации для слоя из ортотропного материала приведены выражения коэффициентов матрицы перехода, частным случаем которых являются выражения, полученные Томпсоном для изотропного материала. В работах [96-99] исследуется распространение упругих гармонических волн в анизотропных полых сферических и цилиндрических слоях. И, наконец, нужно отметить, что совсем небольшое число работ посвящено изучению волновых процессов в анизотропных неоднородных упругих средах. Среди известных автору можно отметить работу [100], в которой строится точное поле смещений для неоднородного по толщине упругого слоя с общей анизотропией. Из этого решения выделяется низкочастотная часть, удовлетворяющая уравнениям колебаний пластин. В работах [101, 102] рассматриваются впросы колебаний и волн в анизотропных радиально-неоднородных цилиндрах и шарах. |