Обработка случайных сигналов

• Название: Обработка случайных сигналов
• Дата: 09.05.2022
• Размер: 1.97 Mb.
• Имя файла: MAiOS_Kursovaya_11_variant__Manko_I_S__gr_8587.docx
• Тип: Курсовая; #518816

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ЭУТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методы анализа и обработки сигнала»

Тема: «Обработка случайных сигналов»

Вариант 11

Студент гр. 8587		Манько И. С.
Преподаватель		Быстрова Н. А.

Санкт-Петербург

2021

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Вариант 11

Студент: Манько И. С.

Группа: 8587

Тема работы: «Обработка случайных сигналов»

1. 
   Случайная функция X(t) задана 12 реализациями x_i(t) в 21 сечении. Значения реализаций с шагом 0,1 сек заданы в файле в виде матрицы. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную матрицу случайной функции, проверить, является ли функция X(t) стационарной, и в последнем случае определить ее нормированную корреляционную функцию.
   
2. 
   На вход приемного устройства поступает сигнал
   

x(t)=s(t)+n(t), где

s(t) = A cos²(t/2_) cos(_t+_), t  [-_; _],

где A - случайная амплитуда, распределенная по закону Рэлея:

,

где ₀ = 1,5 мксек.; ₀- случайная начальная фаза, распределенная по закону:



n(t) - квазибелый гауссовский шум, имеющий спектральную плотность:

S()=N₀/2

в полосе || = ₂ - ₁, полностью перекрывающей спектр сигнала.

₀=2f₀; f₀ = 3*10⁶ Гц; || = 2*4*10⁶

Требуется определить:

А. Структуру согласованного фильтра и параметры (ширина полосы пропускания и изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом) квазиоптимального фильтра, состоящего из 4 несвязанных колебательных контуров.

В. Зависимость , где на входе приемного тракта, если обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - пороговое устройство. Результаты сравнить с работой простейшего обнаружителя Неймана-Пирсона. При этом с доверительной вероятностью P=0.9 должно быть не более n₀ = 0 ложного срабатывания регистратора за час непрерывной работы при частоте посылок 100 имп/с.

Исходные данные:



Содержание пояснительной записки:

«Содержание», «Введение», «Оценка статистических характеристик случайного процесса», «Нахождение математического ожидания и дисперсии», «Нахождение корреляционной матрицы», «Проверка стационарности случайного процесса в широком смысле», «Нахождение нормированной корреляционной функции», «Определение структуры согласования и квазиоптимального фильтра», «Построение согласованного фильтра», «Нахождение параметров квазиоптимального фильтра», «Определение характеристик обнаружения», «Вывод», «Список использованных источников», «Приложение».


Предполагаемый объем пояснительной записки:

Не менее 20 страниц.
Дата выдачи задания: 24.03.2021
Дата сдачи курсовой работы: __________
Дата защиты курсовой работы: __________

Студент гр. 8587		Манько И. С.
Преподаватель		Быстрова Н. А.

АННОТАЦИЯ

В процессе выполнения курсовой работы были определены статистические характеристики случайного процесса по выборочным значениям его реализаций, был вычислен момент окончания импульса при помощи его огибающей, определены параметры квазиоптимального фильтра и определены характеристики обнаружителя, состоящего из блоков: согласованный фильтр – детектор – пороговое устройство.
SUMMARY

In the process of fulfilling the characteristics of the achieved achievement, the statistical characteristics of the random process were evaluated by the sampled values of its realizations, the time instant of the fulfillment of the conditions using its envelope, the parameters of the quasi-optimal filter and the characteristics of the characteristic of the detector, consisting of blocks: matched filter - detector - threshold device, were calculated.

Оглавление

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ 2

АННОТАЦИЯ 6

1.ОЦЕНКА СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 7

1.1.Определение математического ожидания и дисперсии 7

1.2.Нахождение корреляционной матрицы 9

1.3.Проверка стационарности процесса в широком смысле 11

1.4.Нахождение нормированной корреляционной функции 11

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ СОГЛАСОВАННОГО И ПАРАМЕТРОВ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА 13

2.1. Построение согласованного фильтра 13

2.2. Построение квазиоптимального фильтра 16

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ОБНАРУЖИТЕЛЯ СИГНАЛА 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 22

ПРИЛОЖЕНИЕ 23

1. ОЦЕНКА СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

   1. Определение математического ожидания и дисперсии

Найдем мат. ожидание и дисперсию случайного процесса следующим образом:







Найдем мат. ожидание и дисперсию случайного процесса для транспонированной матрицы:

2. Нахождение корреляционной матрицы

Найдем корреляционную матрицу по следующей формуле:



Корреляционная матрица:

3. Проверка стационарности процесса в широком смысле

Найдем мат. ожидание для всего процесса:

Найдем разбросы:





a=0.408

b=0.523

Найдем СКО:



СКО=2.783

Случайный процесс является стационарным в широком смысле, поскольку выполняется условие:

4. Нахождение нормированной корреляционной функции

Определим нормированную корреляционную функцию по следующей формуле:

Корреляционная функция:

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ СОГЛАСОВАННОГО И ПАРАМЕТРОВ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА

2.1. Построение согласованного фильтра

Найдём выражение для спектра заданного сигнала в общем виде.

Спектр исходного сигнала:



За примем среднее значение фазы равное нулю. Для удобства вычислений запишем сигнал в аналитическом виде:



















Тогда :





Частотная характеристика согласованного фильтра определяется следующим выражением:

*



Примем значение :

(

где .

Таким образом,

Для построения согласованного фильтра необходимо выполнение принципа физической реализуемости:





Покажем, что интеграл является сходящимся. Для этого воспользуемся MathCad. (Приложение) Интеграл сходится. Таким образом,



Исходя из этого условия, фильтр можно построить.

Другим условием физической реализуемости фильтра является нулевое значение импульсной характеристики при времени . Для согласованного фильтра:



Построим импульсную характеристику нашего фильтра (рисунок 1).



Рисунок 1 – График входного сигнала и импульсной характеристики согласованного фильтра.

Из рисунка видно, что при , следовательно, наш фильтр физически реализуем.

На рисунке 2 представлена структурная схема согласованного фильтра исходного сигнала:



Рисунок 2 – Структурная схема согласованного фильтра.

2.2. Построение квазиоптимального фильтра

Ухудшение отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с оптимальным равно:



По условию квазиоптимальный фильтр состоит из 4 несвязных колебательных контуров. Тогда его частотная характеристика равна:



где - добротность фильтра, .

Верхний предел интегрирования найдём следующим образом (Приложение). То есть верхний предел интегрирования .

Преобразуем выражение для :



Подставим и в выражение для и вычислим , при котором достигается максимальное отношение сигнал/помеха. На рисунке 3 изображён график ухудшения отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра от добротности контура. Вычисления показаны ниже (Приложение).



Рисунок 3 – Ухудшение отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра от добротности контура.

Таким образом, оптимальная добротность , а .

Определим ширину амплитудно-частотного спектра сигнала и ширину полосы пропускания фильтра, используя следующие выражения:





Частотная характеристика системы несвязанных контуров:



На рисунке 4 изображена АЧХ квазиоптимального фильтра.



Рисунок 4 – АЧХ квазиоптимального фильтра.

Комплексный амплитудный спектр исследуемого сигнала:



На рисунке 5 изображен амплитудный спектр исследуемого сигнала.



Рисунок 5 – Амплитудный спектр сигнала.

С помощью программы MathCad определим полосу пропускания квазиоптимального фильтра и ширину спектра исследуемого сигнала (Приложение). Имеем: 1.097 Мрад -частота среза фильтра, 2.193 Мрад - ширина полосы пропускания фильтра, 1.509 Мрад – граничная частота спектра сигнала, 3.017 Мрад - ширина спектра сигнала.

Отношение сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра выражается через отношение сигнал/помеха на его входе:



где



Рассчитаем интеграл аналитическим методом:



Решим интеграл без пределов:















Вернём пределы интегрирования:





Ниже представлены вычисления (Приложение). В итоге q = 2.105.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ОБНАРУЖИТЕЛЯ СИГНАЛА

Обнаружитель состоит из следующих блоков: согласованный фильтр (1), линейный детектор (2), пороговое устройство (3) (рисунок 6).



Рисунок 6 – Структура оптимального обнаружителя.

Вероятность правильного обнаружения сигнала равна:



где – отношение дисперсии сигнала и шума.

Вероятность перебраковки:



где в числителе стоит среднее количество ложных регистраций, а в знаменателе – число независимых точек контроля:



Среднее количество ложных регистраций определяется из трансцендентного уравнения:



Так как , то



Тогда



На рисунке 7 ниже изображены характеристики обнаружения для оптимального обнаружителя и обнаружителя Неймана-Пирсона.



Рисунок 7 – Характеристика обнаружения для оптимального обнаружителя и обнаружителя Неймана-Пирсона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения курсовой работы были определены статистические характеристики случайного процесса по выборочным значениям его реализаций, был вычислен момент окончания импульса при помощи его огибающей, определены параметры квазиоптимального фильтра и определены характеристики обнаружителя, состоящего из блоков: согласованный фильтр – детектор – пороговое устройство.

Исходя из того, что и при можно сделать вывод, что построение согласованного фильтра возможно. Далее была построена структурная схема согласованного фильтра.

Нами был построен квазиоптимальный фильтр, близкий по отношению сигнал/помеха к согласованному. Оптимальное значение добротности составляет 3.738, полоса пропускания 2.193 Мрад/с, а значение коэффициента b= 2.105.

Определили зависимость на выходе приёмного тракта, при этом среднее количество ложных регистраций 0.1054, а вероятность перебраковки .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Методы анализа и обработки сигналов: Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Методы анализа и обработки сигналов» / Д. Д. Добротин, С. И. Коновалов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.
   
2. 
   Добротин Д. Д., Паврос С. К. Методы анализа случайных сигналов: Учеб. Пособие.-СПб.: Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006.
   

ПРИЛОЖЕНИЕ

Расчеты в MathCad