Гипербола. Определение Гиперболические функции задаются следующими формулами гиперболический синус
![]()
|
Определение Гиперболические функции задаются следующими формулами: гиперболический синус: ![]() ![]() гиперболический косинус: ![]() ![]() гиперболический тангенс: ![]() ![]() Иногда также определяются гиперболический котангенс: ![]() гиперболические секанс и косеканс: ![]() ![]() ![]() ![]() Геометрическое определение Ввиду соотношения ch2 t – sh2 t = 1 гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства Связь с тригонометрическими функциями Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента. ![]() Важные тождества ![]() ch2 t – sh2 t = 1 Чётность: ![]() ![]() ![]() Формулы сложения: ![]() ![]() Формулы двойного угла: ![]() ![]() ![]() Производные: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интегралы: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Разложение в степенные ряды ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() Аналитические свойств Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках ![]() ![]() ![]() Обратные гиперболические функции Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь». ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Эти функции имеют следующее разложение в ряд: ![]() ![]() ![]() История Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом. Риккати применял для гиперболических функций обозначения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Применение Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций. Аналогично тому, как матрицы вида ![]() ![]() Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции ![]() |