Главная страница
Навигация по странице:

  • Обратные гиперболические функции

  • Гипербола. Определение Гиперболические функции задаются следующими формулами гиперболический синус


    Скачать 361.88 Kb.
    НазваниеОпределение Гиперболические функции задаются следующими формулами гиперболический синус
    Дата19.09.2021
    Размер361.88 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаГипербола.docx
    ТипДокументы
    #233993

    Определение

    Гиперболические функции задаются следующими формулами:

    • гиперболический синус:

     (в зарубежной литературе обозначается   )

    • гиперболический косинус:

     (в зарубежной литературе обозначается  )

    • гиперболический тангенс:

     (в зарубежной литературе обозначается  ).

    Иногда также определяются

    • гиперболический котангенс:

    ,

    • гиперболические секанс и косеканс:

    ,

    .



    Геометрическое определение

    Ввиду соотношения ch2 t – sh2 t = 1 гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы   ( ). При этом аргумент  , где   — площадь криволинейного треугольника  , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси  , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.



    Свойства

    Связь с тригонометрическими функциями

    Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

    .

    Важные тождества



    1. ch2 t – sh2 t = 1

    2. Чётность:







    3. Формулы сложения:





    4. Формулы двойного угла:







    1. Производные:













    2. Интегралы:











    Разложение в степенные ряды







     (Ряд Лорана)

    Здесь   — числа Бернулли.

    Аналитические свойств

    Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках  , где   — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек  , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

    Обратные гиперболические функции

    Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

     — обратный гиперболический синус: 

     — обратный гиперболический косинус

     — обратный гиперболический тангенс

     — обратный гиперболический котангенс

     — обратный гиперболический секанс

     — обратный гиперболический косеканс

    Эти функции имеют следующее разложение в ряд:







    История

    Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

    Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

    Риккати применял для гиперболических функций обозначения   и  . В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения  , в русскоязычной литературе закрепились обозначения  , в англоязычной закрепились  , .

    Применение

    Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

    Аналогично тому, как матрицы вида   описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы   описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

    Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции   (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.


    написать администратору сайта