Гипербола. Определение Гиперболические функции задаются следующими формулами гиперболический синус

• Название: Определение Гиперболические функции задаются следующими формулами гиперболический синус
• Дата: 19.09.2021
• Размер: 361.88 Kb.
• Имя файла: Гипербола.docx
• Тип: Документы; #233993

Определение

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• 
  гиперболический синус:
  

 (в зарубежной литературе обозначается   )

• 
  гиперболический косинус:
  

 (в зарубежной литературе обозначается  )

• 
  гиперболический тангенс:
  

 (в зарубежной литературе обозначается  ).

Иногда также определяются

• 
  гиперболический котангенс:
  

,

• 
  гиперболические секанс и косеканс:
  

,

.



Геометрическое определение

Ввиду соотношения ch² t – sh² t = 1 гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы   ( ,  ). При этом аргумент  , где   — площадь криволинейного треугольника  , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси  , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.



Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

Важные тождества

1. 
   
   
2. 
   ch² t – sh² t = 1
   
3. 
   Чётность:
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      
4. 
   Формулы сложения:
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
5. 
   Формулы двойного угла:
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      

1. 
   Производные:
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      
   4. 
      
      
   5. 
      
      
   6. 
      
      
2. 
   Интегралы:
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      
   4. 
      
      
   5. 
      
      

Разложение в степенные ряды







 (Ряд Лорана)

Здесь   — числа Бернулли.

Аналитические свойств

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках  , где   — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек  , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

 — обратный гиперболический синус: 

 — обратный гиперболический косинус

 — обратный гиперболический тангенс

 — обратный гиперболический котангенс

 — обратный гиперболический секанс

 — обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:







История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения   и  . В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения  ,  , в русскоязычной литературе закрепились обозначения  , в англоязычной закрепились  , .

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида   описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы   описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции   (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.