шо. Определенный интеграл. Определение основные свойства (1). Определённый интеграл
 Скачать 351.1 Kb.
|
|
§ 9.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница 1. Пусть функция ) ( x f интегрируема на отрезке ] , [ b a (возмож- ны обе ситуации: a < b и a >b). Рассмотрим интеграл от точки a до какой-либо точки ] , [ b a x (рис. 9.5). Получим некоторое число; обозначим его через : ) ( x 0 c f m c x a c c y b x f y M Рис. 9.4 267 ) ( ) ( x a dt t f x (9.12) Если менять x, то будет меняться и ) ( x , то есть значение интегра- ла: этот интеграл определяет собою функцию верхнего предела x и называется интегралом с переменным верхним пределом. Так полу- чаем новый способ задания функций: с помощью определённого ин- теграла с переменным верхним пределом. Переменную интегрирования, чтобы не путать с верхним преде- лом x, мы обозначили здесь через t (можно обозначить любой другой буквой – от её обозначения величина интеграла не зависит). Однако часто переменную интегрирования обозначают тоже буквой x, то есть пишут x a dx x f x ) ( ) ( , но x вверху и под знаком интеграла имеют совершенно разный смысл. Теорема 9.3 (о производной интеграла по верхнему пределу). Если функция ) ( x f непрерывна на отрезке ] , [ b a , то функция (9.12) дифференцируема на этом отрезке, причём , ) ( ) ) ( ( ) ( x a x f dt t f dx d x (9.13) то есть производная от определённого интеграла по верхнему пре- делу равна значению подынтегральной функции при верхнем преде- ле: когда x t . Доказательство основано непосредственно на определении про- изводной. Точке ] , [ b a x дадим приращение , 0 x такое, чтобы точка ] , [ b a x x , и найдём соответствующее приращение функ- ции (9.12): a x b Рис. 9.5 t x 268 x x a x a dt t f dt t f x x x x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( x a dt t f ) ( x x x dt t f ) ) ( x a dt t f ) ( x x x dt t f ) ( x c f ) ( , ] , [ x x x c Здесь использовали свойства 3 и 7 из § 9.2. Отсюда ) ( ) ( ) ( c f x x x x Пусть 0 x . Тогда x c , и в силу непрерывности функции ) ( x f будет ) ( ) ( x f c f . Поскольку правая часть имеет предел, то его имеет и левая часть, – а это и означает, что функция ) ( x имеет производную, при этом в пределе при 0 x получаем ) ( ) ( x f x . ▲ Следствие: Теорема о существовании первообразной. Всякая не- прерывная на промежутке X функция f(x) имеет первообразную: в качестве её можно взять интеграл (9.12) с переменным верхним пределом ). , ( X x X a Это есть первообразная, обладающая свойством 0 ) ( a . В таком случае неопределённый интеграл и соответственно об- щее решение простейшего дифференциального уравнения ) ( x f y (то есть совокупность всех функций ) ( x y , производные которых равны ) ( x f ) представится в виде C x C dt t f dx x f y x a ) ( ) ( ) ( , const, C (9.14) причём начальному условию 0 ) ( y a y удовлетворяет решение 0 ) ( y x y (при a x из (9.14) имеем 0 ) ( y C C a y a x , ибо 0 ) ( a ). Упражнение. Убедиться, что если функция ) (x f имеет непре- рывную первую производную ) (x f , то ) (x имеет непрерывную вторую производную ) (x , и вообще ) ( ) ( ) 1 ( ) ( x x f n n (инте- грирование улучшает свойство непрерывности функции на единицу; дифференцирование – наоборот). 269 Примеры. 1) dt e dx d x t ln 1 2 [промежуточный аргумент x u ln ] dx du dt e du d u t 1 2 x e u 1 2 x e x 1 2 ) (ln 2) 0 2 lim lim ) 0 ( lim 2 2 2 2 2 2 0 0 x e e e du e du e e x x x x x u x x u x x (Применили правило Лопиталя.) 2. Теорема 9.4 (основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона–Лейбница). Если функция ) (x f непрерывна на отрезке ] , [ b a и ) (x F – какая- либо её первообразная на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница: b a a F b F dx x f ) ( ) ( ) ( (9.15) Пусть ) (x F – первообразная по отношению к ) (x f . Поскольку функция ) (x f непрерывна на ] , [ b a , то по теореме 9.3 функция (9.12) тоже является первообразной. Согласно Основной лемме (лемма 8.1) C x F x ) ( ) ( , const, C то есть x a C x F dt t f ) ( ) ( Положим в этом равенстве a x ; получим a a C a F dt t f ) ( ) ( ) (a F C , так что .) ( ) ( ) ( x a a F x F dt t f (9.16) 270 Это уже есть формула Ньютона–Лейбница для промежутка ], , [ x a и отсюда в частности при b x получим формулу (9.15). ▲ При практическом использовании формулы (9.15) разность спра- ва обычно изображается символом b a x F ) ( (или b a x F )] ( [ ), который читается так: «подстановка от a до b для функции ) (x F ». Формула (9.15) принимает вид b a b a a F b F x F dx x f ) ( ) ( ) ( ) ( . ) 5 1 9 ( Замечание 1. Согласно формуле (9.15) определённый интеграл равен приращению первообразной на отрезке ] , [ b a , и легко видеть, что результат (9.15) не изменится, если ) (x F заменить любой другой первообразной C x F ) ( Замечание 2. Итак, чтобы найти определённый интеграл, доста- точно уметь находить интеграл неопределённый, а последний умеем вычислять для многих классов функций. Замечание 3. Теоремы 9.3 и 9.4 устанавливают связь дифферен- циального и интегрального исчислений, а теорема 9.4 ещё – опреде- лённого и неопределённого интегралов. (Дифференцируя тождество (9.16), восстанавливаем условие ). ( ) ( x f x F ) Замечание 4. С установлением отмеченных фактов исторически было завершено, в основном, создание интегрального исчисления, математика получила мощный импульс развития, общий метод ре- шения различных теоретических и прикладных задач (техники, фи- зики, астрономии и так далее). Замечание 5. Иногда определённый интеграл от непрерывной функции ) (x f вводится прямо по формуле (9.15), но доказательство равносильности этого факта с определением 2 из § 9.1 весьма гро- моздко. Примеры. 1) 3 1 3 1 0 3 1 0 2 x dx x P (здесь 2 ) ( x x f и первообразная 3 ) ( 3 x x F ). 271 2) 0 0 2 ) 0 cos (cos cos sin x dx x P – такова площадь под первой аркой синусоиды. 2 0 2 0 0 ) 0 cos 2 (cos cos sin x dx x – это естественно, если площадь под осью Ox на участке ] 2 , [ считать отрицательной (рис. 9.6). 3) Пусть 1 arctg ) ( x x F Тогда , 1 1 ) ( 2 x x F , 0 x и, казалось бы, b a dx x 2 1 1 1 arctg 1 arctg 1 arctg a b x b a Однако при 0 a и 0 b это равенство неверно: слева будет число отрицательное, справа – положительное! Объясняется это тем, что ) 0 ( F и тем более ) 0 ( F : функция ) (x F не является первообразной для 2 1 1 ) ( x x f на всём промежутке ] , [ b a Аналогично – для ситуации 1 1 1 1 2 0 2 ) 1 1 ( 1 1 x dx x – факт ложный, тем более, что данный интеграл вообще не существует. 4) Как уже упоминалось, существуют неберущиеся интегралы (см. § 8.1), то есть интеграл (9.12) в этом случае с помощью форму- лы Ньютона–Лейбница, не вводя некие новые, неэлементарные 1 y Рис. 9.6 x 0 2 x y sin + – 272 функции, вычислить невозможно. Тем не менее эскиз графика функ- ции ) (x y иногда построить можно, например, графики функций x t dt e y 0 2 и 0 1 2 x t dt e y (Предлагаем построить эти графики, учи- тывая известный факт: 2 ) ( lim 0 1 2 dt e x y t x ) 3. Замена переменной в определённом интеграле Теорема 9.5. Пусть 1º) функция ) (x f непрерывна на промежут- ке ] , [ b a , 2º) функция ) (t x имеет непрерывную производную ) (t на промежутке ] , [ , причём 3º) b a ) ( , ) ( , 4º) слож- ная функция )) ( ( t f определена и непрерывна на промежутке ] , [ . Тогда b a dt t t f dx x f ) ( )) ( ( ) ( (9.17) Пусть ) (x F есть первообразная для ) (x f , ] , [ b a x . Тогда в си- лу непрерывности функции ) (x f по формуле Ньютона–Лейбница имеем равенство (9.15). С другой стороны, функция )) ( ( t F есть первообразная для непрерывной на ] , [ функции ) ( )) ( ( t t f , ибо ) ( ) ( )) ( ( ) ( t x f dt dx dx dF dt t dF t x Поэтому по формуле Ньютона–Лейбница )) ( ( ) ( )) ( ( t F dt t t f ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( a F b F F F Сравнивая этот результат с (9.15), убеждаемся в справедливости равенства (9.17). ▲ Замечание 1. Преимущество перед соответствующим методом для неопределённого интеграла в том, что здесь не требуется воз- вращаться к старой переменной x: вычислив интеграл в правой части равенства (9.17), мы тем самым вычислим интеграл в левой части. Ещё раз отметим, что на символ dx можно смотреть как на диффе- 273 ренциал функции ) (t x , имен- но, dt t dx ) ( . Поэтому формула (9.17) легко и вполне естественно запоминается. Замечание 2. Новые пределы интегрирования и найдутся из уравнений: – из уравнения a t ) ( , – из уравнения ) ( b t Замечание 3. После условий 1º) – 3º) требование 4º) кажется из- лишним. Но это не так: значения «промежуточного аргумента» ) (t x могут выходить за пределы ] , [ b a . Пусть они образуют про- межуток ] , [ ] , [ b a B A . Тогда условие 4º) фактически есть требова- ние непрерывности ) (x f на ] , [ B A (рис. 9.7). Однако условие 4º) можно заменить менее общим: потребовать, чтобы значения ] , [ ) ( b a t x , в частности, чтобы функция ) (t была монотонной. 4. Интегралы от чётной и нечётной функций по промежутку ] , [ a a a) Пусть функция ) (x f чётная: ) ( ) ( x f x f . Тогда a a a dx x f dx x f 0 ) ( 2 ) ( Применив подстановку t x , найдём 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( a a a a dx x f dt t f dt t f dx x f По свойству аддитивности имеем a a a a a dx x f dx x f dx x f dx x f 0 0 0 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( . ▲ б) Аналогично, если ) (x f – нечётная функция: ) ( ) ( x f x f a a dx x f 0 ) ( x Рис. 9.7 t 0 b a ) (t x B A x t 274 Геометрически (из сравнения площадей) отмеченные свойства очевидны. Примеры. 1) Вычислим dx x a a 0 2 2 . Используем подстановку t a x sin . Тогда dt t a dx cos ; 0 sin t a возьмём 0 t ; a t a sin возьмём 2 t ; t a t a x a 2 2 2 2 2 2 cos ) sin 1 ( t a cos – модуль не ставим, так как 2 , 0 t Имеем dx x a a 0 2 2 2 0 cos cos dt t a t a dt t a 2 0 2 2 2 cos 1 2 0 2 ) 2 2 sin 1 ( 2 t a 4 2 a Поэтому dx x a a a 2 2 2 2 a 2) Найдём площадь эллипса эл P с полуосями a и b. Запишем его каноническое уравнение 1 2 2 2 2 b y a x . Отсюда 2 2 x a a b y (знак (+) для верхней половины, (–) – для нижней, рис. 9.8). 4 0 2 2 ab dx x a a b P a эл В частности, при b a находим площадь круга радиуса a: 2 a P кр 3) 0 ) sin( 2 2 3 dx x , 0 1 1 5 2 dx e x x – под интегралами нечётные функции. Упражнение. С помощью под- становки t x tg 3 вычислить инте- грал 3 0 2 2 ) 9 (x dx 1 2 2 2 2 b y a x 0 –b –a a b y x Рис. 9.8 275 5. Интегрирование по частям в определённом интеграле. Пусть функции ) (x u u и ) (x v v непрерывны вместе со своими произ- водными v u , на промежутке ] , [ b a . Тождество u v uv v u ) ( про- интегрируем по этому промежутку и учтём, что в силу формулы Ньютона–Лейбница b a b a uv dx uv) ( . Получим формулу интегриро- вания по частям b a b a b a du v uv dv u Пример. 0 0 0 0 sin sin ) (sin cos dx x x x x d x dx x x 2 0 cos cos cos 0 x |