шо. Определенный интеграл. Определение основные свойства (1). Определённый интеграл

• Название: Определённый интеграл
• Дата: 09.03.2022
• Размер: 351.1 Kb.
• Имя файла: Определенный интеграл. Определение основные свойства (1).pdf
• Тип: Документы; #388123
• страница: 3 из 3

§ 9.4. Дополнительные замечания
1.
Понятие определённого интеграла вводилось 1) для конечных промежутков
]
,
[ b
a
и 2) для ограниченных функций
)
(x
f
. В таком случае не существуют (лишены смысла) следующие образования
(символы):
а)
dx
x

1 0
1
,
dx
x


1 2
1
,
dx
e
x



1 2
,
dx
x

1 0
ln
,
dx
x
e
x



1
,
dx
x


2 1
3 1
;
б)
dx
x

1 0
1
,
dx
x


3 1
2 1
,
dx
x
e
x



0
,
dx
x
e
x


1
(А что будет, если некоторые из них попытаться вычислить по фор- муле Ньютона–Лейбница?)
Однако указанные условия 1) и 2) для многих теоретических и прикладных задач весьма обременительны, и, например, для инте- гралов группы а) от них можно отказаться, расширив понятие инте- грала.
2.
Понятие несобственных интегралов. Пусть функция
)
(x
f
определена и непрерывна на промежутке


 x
a
и
)
(x
F
– её пер- вообразная. Тогда
a
B



276
.)
(
)
(
)
(



B
a
a
F
B
F
dx
x
f
Предел этого интеграла при


B
называется несобственным интегралом (первого рода) от функции
)
(x
f
по промежутку
)
,
[

a
и записывается символом
,
)
(
)
(
)
(
)
(








a
a
x
F
a
F
F
dx
x
f
(9.18) где обозначено
)
(
lim
)
(
x
F
F
x




. Если существует конечный пре- дел, то говорят, что интеграл (9.18) существует, или сходится, в про- тивном случае – расходится (не существует). Если
0
)
(

x
f
, то гео- метрически интеграл (9.18) выражает площадь неограниченной кри- волинейной трапеции, заключённой между линиями
)
(x
f
y

,
a
x
 и осью абсцисс. Например, площадь трапеции, ограниченной кривой
2 1
1
x
y


и осями
Ox и Oy , найдётся так:
2
arctg
1 1
0 0
2









x
dx
x
P
Теперь пусть данная функция
)
(x
f
непрерывна на полуинтервале
b
x
a


и не ограничена при приближении к точке .
b Для любого
0


существует
).
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a







Предел этого интеграла при
0



называется несобственным ин- тегралом (второго рода) от функции
)
(x
f
по промежутку
)
,
[ b
a
и записывается символом
b
a
b
a
x
F
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(




,
(9.19) где обозначено ).
(
lim
)
(
0
x
F
b
F
b
x



Если существует конечный пре- дел, то интеграл называется сходящимся (существует), в противном случае – расходящимся (не существует).

277
Понятно, как определить интеграл по промежуткам
b
x



и
b
x
a


. Подробнее и точнее обо всём сказанном – позднее. Отме- тим только: если
)
(
,
)
(
0 0
x
a
x
x
x
M
x
f






, то при
1


инте- грал (9.18) сходится, и если



)
(
)
(
x
b
M
x
f
(вблизи точки b), то при
1


сходится интеграл (9.19) (
0
const


M
).
Пример.
dx
x

1 0
ln







1 0
1 0
1
ln
]
,
ln
[
dx
x
x
x
x
dx
dv
x
u
1


; при вычислении учли, что
0 1
ln
 , 0
ln lim
0



x
x
x
3.
В конце § 8.1 указаны некоторые «неберущиеся» интегралы.
Соответствующие им первообразные в форме интегралов с перемен- ным верхним пределом имеем (возможно, после некоторых преобра- зований) среди следующих функций:
du
e
e
x
F
x
u
x



0 2
2
)
(
,
dt
e
x
x
t





0 2
2
)
(
– интеграл вероятности,
dt
e
x
x
t



0 2
)
Erf(
– функция ошибок (две последние функции свя- заны с именами Лапласа и Гаусса),



x
dt
t
x
S
0 2
2
sin
)
(
и



x
dt
t
x
C
0 2
2
cos
)
(
– интегралы Френеля, или дифракции,


x
dt
t
t
x
0
sin
)
Si(
– интегральный синус,





x
dt
t
t
x
cos
)
Ci(
интегральный косинус,





dt
t
e
x
x
t
)
Ei(
интегральная показательная функция,

278



dt
t
x
x
0
ln
1
)
li(
интегральный логарифм.
Они относятся к разряду так называемых «специальных функ- ций» и играют существенную роль во многих вопросах математики, физики, техники, в частности, радиотехники и так далее. Составлены подробные таблицы их значений, построены графики, установлены всевозможные тождества.
4.
Как вычислить определённый интеграл, если он «не берётся»?
Или, даже если записано равенство (9.15), то может быть затрудни- тельным отыскание численных значений величин
)
(a
F
и
)
(b
F
. В этих случаях применяются различные методы приближённых
вычислений определённых интегралов. При этом можно интеграл


b
a
dx
x
f
J
)
(
вычислить приближённо с помощью какой-нибудь интегральной суммы






n
k
k
k
x
f
1
)
(
,


J
. Разобьём промежуток
)
(
]
,
[
b
a
b
a
 на n равных частей
]
,
[
1
k
k
x
x

, так что
h
n
a
b
x
k




(это – шаг разбиения), обозначим
)
,...,
1
,
0
(
)
(
n
k
y
x
f
k
k


и возьмём
1



k
k
x
или
k
k
x


. Получим две приближённые формулы:
1 1
1 0
)
(







n
y
y
y
h
J
,
2 2
1
)
(






n
y
y
y
h
J
Это есть формулы прямоугольников. Если функция
)
(x
f
монотонна, то абсолютная погрешность этих равенств есть





1 2
n
R
,
)
(
)
(
a
f
b
f
h



она тем меньше, чем меньше шаг
h , то есть чем больше число делений n .
Если взять полусумму чисел
1
 и
2
 , то получим более точную
формулу трапеций:
2 2
1




 h
J
Ещё более точным является
метод парабол (формула Симпсона). Имеются формулы для по- грешностей указанных равенств, они выражаются через производ- ные функции
)
(x
f
. Все эти вопросы рассматриваются в курсах при-

279 ближённых вычислений. Отметим, что с помощью таких методов можно вычислять, например, значения логарифма
,
ln
1


x
x
dx
x
в частности, найти
2
ln
2 1


x
dx (Геометрический смысл формул пря- моугольников и трапеций легко усмотреть из рис. 9.1.)