Лабораторный практикум кузнецов. Основы интеллектуальных систем для гуманитариев

• Название: Основы интеллектуальных систем для гуманитариев
• Дата: 30.11.2022
• Размер: 1.54 Mb.
• Имя файла: Лабораторный практикум кузнецов.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #821939
• страница: 3 из 4

Лабораторная работа 4 «Элементы логики высказываний.
Способы доказательства и вывода»
Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Примеры высказываний: «2х2=4», «Волга впадает в Черное море»,
«Москва – столица России». Первое и третье высказывания истинны, второе – ложно. Предложение «х+y=4» не является высказыванием, т.к. оно может быть истинным при некоторых значениях х и y и ложным при других значениях. Из простых, атомарных высказываний можно сооружать сложные высказывания. Например, из двух высказываний: «Москва стоит на берегу
Невы» и «Санкт-Петербург стоит на берегу Невы», из которых первое ложно, второе истинно, можно соорудить более сложные высказывания: «Москва стоит на берегу Невы или Санкт-Петербург стоит на берегу Невы» (истинное) или «Москва стоит на берегу Невы и Санкт-Петербург стоит на берегу Невы»
(ложное).
В логике высказываний простые высказывания являются переменными, принимающими значения «истина» (и) или «ложь» (л).

32
Переменной (и) соответствует 1, переменной (л) – 0. Для них стандартным образом определяются функции: дизъюнкция высказываний, конъюнкция
(два последних примера), отрицание, эквивалентность, неравнозначность
(исключающее «или»), импликация.
 Конъюнкцией (операция «И») двух высказываний называется высказывание, истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное
– в других случаях. Обозначается: P˄Q или P·Q.
 Дизъюнкцией (операция «ИЛИ») двух высказываний называется высказывание, ложное в случае, когда оба высказывания ложны, и истинное – в других случаях. Обозначается: P˅Q .
 Отрицанием (операция «НЕ») высказывания P называется высказывание, истинное, когда P ложно, и ложное – в противном случае. Обозначается: .
 Импликацией (логическим следованием) двух высказываний называется высказывание, ложное, когда первое истинно, а второе ложно; во всех других случаях – истинное. Обозначается: P→Q , P – посылка, Q – заключение.
 Эквиваленцией (равнозначностью) двух высказываний называется высказывание, истинное, когда значения исходных высказываний совпадают, ложное – в противном случае. Обозначается: P↔Q или
P

Q.
 Неравнозначностью (операция «исключающее ИЛИ») высказываний называется высказывание, истинное, когда значения исходных высказываний не совпадают, ложное – в противном случае.
Обозначается: P⊕Q.
Простые высказывания будем обозначать буквами. Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки составляют алфавит. С помощью элементов алфавита можно строить разнообразные
логические формулы.
В логике изучается строение сложных высказываний, выраженных формулами, вне зависимости от содержания составляющих их простых высказываний.
Иногда значение конкретной логической формулы не зависит от значений входящих в них переменных. Правильно построенные логические

33 формулы, значением которых будет «истина» при любых значениях входящих в них переменных, называются тавтологиями.
В противовес тавтологиям в логике существуют противоречия – формулы, значением которых всегда будет «ложь» независимо от значений входящих в них переменных.
Наряду с алфавитом и правилами построения сложных высказываний
- логических формул, язык логики высказываний содержит правила
преобразования логических формул, которые реализуют логически
правильные рассуждения.
Процесс получения новых знаний, выраженных высказываниями, из других знаний называется рассуждением. Исходные высказывания называются посылками (гипотезами, условиями), а получаемые –
заключением (следствием).
Основной проблемой логики является проблема доказательства,
которая заключается в решении вопроса, можно ли некоторую цепь рассуждений, основываясь только на ее структуре, считать правильной. Т.е. в нахождении истинностного значения В, если предполагается истинность исходных посылок А
1
, А
2
,…, А
N
. Например, следует ли из высказывания «если человек думает как я, то он хороший человек» заключение «если человек думает не как я, то он плохой»?
Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции посылок А
1
, А
2
,…, А
N следует заключение В, это записывается: т.е. всякий раз, когда все посылки истинны, то заключение тоже истинно.
Таким образом, чтобы установить правильность рассуждений, надо показать, что формула (А
1
˄А
2
˄…˄А
N
)→В является тавтологией, т.е.
(А
1
˄А
2
˄…˄А
N
)→В≡1. Чтобы установить ложность рассуждений, надо показать, что данная формула тавтологией не является.
Существуют различные методы решения проблемы доказательства в логике. Рассмотрим некоторые из них.
 Метод построения таблицы истинности состоит в следующем.
Можно перечислить все переменные, входящие в формулы А
1
, А
2
,…,
А
N
, В, и составить таблицу истинности для всевозможных

34 комбинаций значений этих переменных. Затем следует осуществить просмотр полученной таблицы, чтобы проверить, во всех ли ее строках, где формулы А
1
, А
2
,…, А
N
имеют значения «истина», формула В также имеет значение «истина». Этот метод применим всегда, но может оказаться слишком трудоемким.
 При доказательстве методом преобразований сначала записывают формулу (А
1
˄А
2
˄…˄А
N
)→В и, применяя к ней законы алгебры логики, стараются упростить выражение. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не будет получено выражение, равное значению
«истина», либо выражение, про которое однозначно можно сказать, что оно тождественно истинным не является.
Таблица 8. Законы алгебры логики.
Дополнительные соотношения
Пример решения задачи
Задача. Выяснить, являются ли следующие рассуждения логически верными.

35
Если Джонс не встречал ночью Смита, то Смит был убийцей или
Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если убийство имело место после полуночи, то Смит был убийцей или Джонс не лжет. Следовательно,
Смит был убийцей.
Описание процесса решения. Для проверки приведенных рассуждений на логическую правильность необходимо:
1) Ввести логические переменные, обозначив ими простые высказывания.
2) Записать сложные высказывания в виде логических формул, используя введенные переменные и известные логические связки.
3) Выделить в структуре рассуждений посылки А
1
, А
2
,…А
N
и заключение В.
4) Составить формулу (А
1
˄А
2
˄…˄А
N
)→В и проверить, является ли она тавтологией: а) Метод преобразований. С помощью законов алгебры логики показать, что (А
1
˄А
2
˄…˄А
N
)→В≡1. б) Метод построения таблицы истинности. С помощью построения таблицы истинности показать, что (А
1
˄А
2
˄…˄А
N
)→В≡1.
Решение.
1) Введем логические переменные:
х – «Джонс не встречал ночью Смита»,
у – «Смит убийца»,
z – «Джонс лжет»,
t – «убийство состоялось после полуночи».
2) Прежде чем записать формулу, надо уточнить по условию задачи в каком контексте употребляется союз «или». Когда мы говорим «А или В», мы можем подразумевать две разные ситуации: а)
A
B

или б)
AB
AB

. Во втором случае высказывания А и В не могут быть одновременно истинными.
Чтобы подчеркнуть этот момент, обычно говорят «либо А, либо В». В нашей задаче нет такой оговорки, поэтому мы можем для записи высказывания:
«Смит был убийцей или Джонс не лжет» использовать формулу y z

3) Итак, мы имеем посылки:
(
)
x
y
z


,
y
xt

,
(
)
t
y
z


, заключение: у.
Надо составить формулу:
(
(
)) (
) (
(
))
x
y
z
y
xt
t
y
z
y
 


  


36 и посмотреть, будет ли она тавтологией.
4) а) Метод преобразований.
Применяя законы алгебры логики и дополнительные соотношения, упростим формулу и получим:
1
(
(
)) (
) (
(
))
(
) (
) (
)
(
(
)
(
))
(
(
))
.
x
y
z
y
xt
t
y
z
y
x
y
z
y
xt
t
y
z
y
y
x
z
xt
t
z
y
y
xzt
t
z
y
y
y




 

 

  


 
 


  

 



   
Полученное выражение является тавтологией (т.е. тождественно равно
1). Следовательно, рассуждения логически правильны. б) Метод построения таблицы истинности.
Расчеты будем проводить в таблице. Т.к. имеем четыре логические переменные, то возможных комбинаций значений этих переменных будет
2·2·2·2=16. Пошагово вычислим значения входящих в формулу
(
(
)) (
) (
(
))
x
y
z
y
xt
t
y
z
y
 


  

выражений, используя определения конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации.
Значению «истина» соответствует 1, значению «ложь» – 0.
x y z t
y
z

(
)
x
y
z


A
xt
y
xt

B
y
z

(
)
t
y
z


C
ABC
ABC
y

0 0 0 0 0
1 0
0 1
1 0
1 0 0 0 1 0
1 0
0 1
1 0
1 0 0 1 0 1
0 0
0 0
1 0
1 0 0 1 1 1
0 0
0 0
0 0
1 0 1 0 0 1
1 0
1 1
1 1
1 0 1 0 1 1
1 0
1 1
1 1
1 0 1 1 0 1
0 0
1 1
1 0
1 0 1 1 1 1
0 0
1 1
1 0
1 1 0 0 0 0
1 0
0 1
1 0
1 1 0 0 1 0
0 1
1 1
1 0
1 1 0 1 0 1
1 0
0 0
1 0
1 1 0 1 1 1
1 1
1 0
0 0
1 1 1 0 0 1
1 0
1 1
1 1
1 1 1 0 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1 0 1
1 0
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1

37
Как видим, значение формулы
(
(
)) (
) (
(
))
x
y
z
y
xt
t
y
z
y
 


  

(для компактности в таблице она обозначена как ABC
y

) на всевозможных наборах входящих переменных равна 1. Формула является тавтологией.
Следовательно, рассуждения логически правильны.
Варианты заданий
1.
Профсоюзы штата будут поддерживать губернатора, если он подпишет этот закон. Фермеры окажут ему поддержку, если он наложит на него вето. Очевидно, что он или не подпишет закон, или не наложит на него вето.
Следовательно, губернатор потеряет голоса рабочих, объединенных в профсоюзы, или голоса фермеров.
2.
Если мы не будем продолжать политику сохранения цен, то мы потеряем голоса фермеров. Если же мы будем продолжать эту политику и не прибегнем к контролю над производством, то продолжится перепроизводство. Без голосов фермеров нас не переизберут. Значит, если нас переизберут, и мы не прибегнем к контролю над производством, то продолжится перепроизводство.
3.
Если завтра будет хорошая погода, то я буду кататься на коньках или я пойду на лыжах. Если я пойду на лыжах, то лучше поехать за город, а если буду кататься на коньках, то останусь в городе. Мне не хочется завтра в выходной день оставаться в городе. Следовательно, если завтра будет хорошая погода, то я пойду на лыжах.
4.
В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пошлины. Если в бюджете возникнет дефицит, то расходы на социальные нужды сократятся. Следовательно, если повысят пошлины, то расходы на социальные нужды не сократятся.
5.
Намеченная атака удастся, если захватить противника врасплох или его позиции плохо защищены. Захватить противника врасплох можно только, если он беспечен. Он не будет беспечен, если его позиции плохо защищены. Следовательно, намеченная атака не удастся.
6.
Если губернатор не имеет соответствующего авторитета или если он не желает принимать на себя ответственность, то порядок не будет восстановлен и волнения не прекратятся до тех пор, пока участникам волнений это не надоест, и власти не начнут примирительные действия. Следовательно, если губернатор не желает взять на себя

38 ответственность и участникам волнений это не надоест, то волнения не прекратятся.
7.
Если налоги в бюджет не собраны, то либо секвестируется бюджет, либо правительство уходит в отставку. Если секвестируется бюджет, то падает уровень жизни. Налоги в бюджет не собраны. Следовательно, либо падает уровень жизни, либо уровень жизни не падает и правительство уходит в отставку.
8.
Экзамен сдан вовремя или сессия продлена. Если сессия продлена, то не сдана курсовая работа или не зачтены лабораторные работы.
Курсовая работа сдана. Экзамен вовремя не сдан. Следовательно, неверно, что если курсовая работа сдана, то лабораторные работы зачтены.
9.
Если имеет место денежная эмиссия, то растет курс доллара. Если эмиссии нет и инфляция не растет, то курс доллара не растет.
Инфляция не растет. Следовательно, имеет место эмиссия и растет курс доллара или нет эмиссии и курс доллара не растет.
10.
Заработная плата возрастет только, если будет инфляция. Если будет инфляция, то увеличится стоимость жизни. Заработная плата возрастет. Следовательно, стоимость жизни увеличится.
11.
Если 2 - простое число, то это наименьшее простое число. Если 2 - наименьшее простое число, то 1 не есть простое число. Число 1 не есть простое число. Следовательно, 2 - простое число.
12.
Если идет дождь, то нежарко. Если светит солнце, то жарко. Идет дождь. Следовательно, нежарко и не светит солнце.
13.
Если завтра будет холодно, я надену теплое пальто, если рукав будет починен. Завтра будет холодно, а рукав не будет починен
Следовательно, я не надену теплое пальто.
14.
Если исход скачек будет предрешен сговором или в игорных домах будут орудовать шулеры, то доходы от туризма упадут и город пострадает. Если доходы от туризма упадут, полиция будет довольна.
Полиция никогда не бывает довольна. Следовательно, исход скачек не предрешен сговором.
15.
Или Сэлли и Боб одного возраста, или Сэлли старше Боба. Если Сэлли и Боб одного возраста, то Нэнси и Боб не одного возраста. Если Сэлли

39 старше Боба, то Боб старше Уолтера. Следовательно, или Нэнси и Боб не одного возраста, или Боб старше Уолтера.
16.
Джон или переутомился или он болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не раздражается. Следовательно, Джон болен.
17.
Если строить противоатомные убежища, то другие государства будут чувствовать себя в опасности, а наш народ получит ложное представление о своей безопасности. Если другие страны будут чувствовать себя в опасности, то они смогут начать превентивную войну. Если наш народ получит ложное представление о своей безопасности, то он ослабит свои усилия, направленные на сохранение мира. Если же не строить противоатомные убежища, то мы рискуем иметь колоссальные потери в случае войны. Следовательно, либо другие страны могут начать превентивную войну, и наш народ ослабит свои усилия, направленные на сохранение мира, либо мы рискуем иметь колоссальные потери в случае войны.
Лабораторная работа 5 «Элементы нечеткой логики.
Нечеткий вывод»
Нечетким
множеством
А называется множество пар


( ,
( ));
А
А
х
х х Х



, где
( )
А
х

– степень (функция) принадлежности нечеткого множества А. Эта функция приписывает каждому элементу х Х

степень его принадлежности к нечеткому множеству А, при этом можно выделить три случая:
1.
1
( )
А
х


означает полную принадлежность элемента х к нечеткому множеству А, т.е. х
А

;
2.
0
( )
А
х


означает отсутствие принадлежности элемента х к нечеткому множеству А, т.е. х
А

;
3.
0 1
( )
А
х



означает частичную принадлежность элемента х к нечеткому множеству А.
Пример.
1. элемент а не принадлежит множеству А;
2. элемент b принадлежит множеству А в малой степени;

40 3. элемент с принадлежит множеству А более или и менее;
4. элемент d принадлежит множеству А в значительной степени;
5. элемент е принадлежит множеству А.
В нечеткой логике вводится понятие лингвистической переменной, значениями которой являются не числа, а слова естественного языка, называемые термами. Например, лингвистическая переменная «возраст» может иметь значения «юный», «молодой», «пожилой» и т.д. (рис.5).
Значения лингвистической переменной определяются через нечеткие множества, которые, в свою очередь, определены на некотором базовом наборе значений Х или базовой числовой шкале, имеющей размерность.