А. И. Мальцев - Основы линейной алгебры. Основы линейной алгебры
 Скачать 7.75 Mb.
|
|
А.И.Мальцев ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию 7 Введение 8 Глава I. Матрицы и определители 10 § 1. Действия с матрицами 10 1.1. Матрицы. Основное поле (10). 1.2. Умножение матриц (12). 1.3. Транспонирование матриц (17). 1.4. Клеточные матрицы (21). 1.5. Кватернионы (24). Примеры и задачи 28 § 2. Определители 30 2.1. Определение (30). 2.2. Основные свойства определителей (36). 2.3. Определитель произведения. Обратные матрицы (45). 2.4. Крамеровские системы линейных уравнений (50). Дополнения и примеры 54 § 3. Характеристический и минимальный многочлены 55 3.1. Подобие матриц (55). 3.2. Характеристический многочлен (57). 3.3. Минимальный многочлен (60). Примеры и задачи 64 Глава II. Линейные пространства 65 § 4. Размерность 65 4.1 Модули и векторные пространства (65). 4.2. Линейная зависимость (70). 4.3. Изоморфизм (78). Примеры и задачи 81 § 5. Координаты 81 5.1. Координаты вектора (81). 5.2. Ранги матриц (85). 5.3. Общие системы линейных уравнений (92). Дополнения и примеры 97 § 6. Линейные подпространства 98 6.1. Пересечение и сумма подпространств (98). 6.2. Прямые суммы (103). 6.3. Системы однородных линейных уравнений (105). Примеры и задачи 109 Глава III. Линейные преобразования 110 § 7. Преобразования произвольных множеств 110 7.1. Произведение преобразований (110). 7.2. Единичное и обратное преобразования (112). 7.3. Взаимно однозначные преобразования (113). 7.4. Подстановки (114). Примеры и задачи 117 § 8. Линейные преобразования и их матрицы 117 8.1. Простейшие свойства (117). 8.2. Матрица линейного преобразования (120). 8.3. Преобразование координат (121). Примеры и задачи 123 § 9. Действия с линейными преобразованиями 123 9.1. Умножение линейных преобразований (123). 9.2. Умножение на число и сложение (125). 9.3. Многочлены от линейных преобразований (127). Примеры и задачи 128 § 10. Ранг и дефект линейного преобразования 129 10.1. Ядро и область значений (129). 10.2. Особенные и неособенные преобразования (131). 10.3. Ранг матрицы преобразования (133). Примеры и задачи 135 § 11. Инвариантные подпространства 135 11.1. Индуцированное преобразование (135). 11.2. Прямая сумма инвариантных подпространств (137). 11.3. Характеристический многочлен преобразования (139). 11.4. Собственные векторы и собственные значения (140). Примеры и задачи 143 § 12. Преобразования с матрицей нормальной формы 144 12.1. Диагональная форма (144). 12.2. Клетки Жордана (145). 12.3. Корневые подпространства (146). Примеры и задачи 149 Глава IV. Многочленные матрицы 150 § 13. Инвариантные множители 150 13.1. Эквивалентность (150). 13.2. Диагональная форма (152). 13.3. Наибольшие общие делители миноров (155). 13.4. Условия эквивалентности (159). Примеры и задачи 162 § 14. Элементарные делители 163 14.1. Связь с инвариантными множителями (163). 14.2. Элементарные делители распавшейся матрицы (165). Примеры и задачи 166 § 15. Нормальные формы матрицы линейного преобразования 167 15.1. Деление λ-матриц (167). 15.2. Скалярная эквивалентность (169). 15.3. Критерий подобия матриц (170). 15.4. Нормальная форма Жордана (171). 15.5. Естественная нормальная форма (174). 15.6. Другие нормальные формы (176). Примеры и задачи 179 § 16. Функции от матриц 180 16.1. Многочлен от жордановой матрицы (181). 16.2. Скалярные функции (182). 16.3. Представление значений функций многочленами (185). 16.4. Элементарные делители функций (187). 16.5. Степенные ряды (190). 16.6. Матрицы, перестановочные с данной матрицей (191). 16.7. Матрицы, перестановочные с перестановочными матрицами (195). Примеры и задачи 197 Глава V. Унитарные и евклидовы пространства 199 § 17. Унитарные пространства 199 17.1. Аксиоматика и примеры (199). 17.2. Длина вектора (203). 17.3. Ортонормированные системы (205). 17.4. Изоморфизм (210). 17.5. Ортогональные суммы. Проекции (211). Примеры и задачи 213 § 18. Сопряженные преобразования 214 18.1. Линейные функции (214). 18.2. Сопряженные преобразования (217). 18.3. Нормальные преобразования (219). Примеры и задачи 224 § 19. Унитарные и симметрические преобразования 225 19.1. Унитарные преобразования (225). 19.2. Унитарная эквивалентность (227). 19.3. Нормальная форма матрицы унитарного преобразования (229). 19.4. Симметрические преобразования (231).19.5.Кососимметрические преобразования(233). 19.6.Неотрицательные симметрические преобразования (235). Примеры и задачи 239 § 20. Разложения общих преобразований 240 20.1. Разложение на симметрическую и кососимметрическую части (240). 20.2. Полярное разложение (241). 20.3. Преобразование Кэли (245). 20.4. Спектральное разложение (248). Примеры и задачи 252 Глава VI. Квадратичные и билинейные формы 254 § 21. Билинейные формы 254 21.1. Преобразование форм (254). 21.2. Эквивалентность билинейных форм (251).21.3.Конгруэнтность симметрических билинейных форм (259). Примеры и задачи 261 § 22. Квадратичные формы 262 22.1. Конгруэнтность (262). 22.2. Алгоритм Лагранжа (264). 22.3. Закон инерции квадратичных форм (267). 22.4. Знакопостоянные формы (269). Примеры и задачи 270 § 23. Пары форм 271 23.1. Эквивалентность пар форм (271). 23.2. Конгруэнтность пар форм (272). 23.3. Конгруэнтность несимметрических билинейных форм (276). Примеры и задачи ч 278 § 24. Билинейные функции 278 24.1. Основные определения (278). 24.2. Пространства с билинейной метрикой (282). 24.3. Билинейные функции в билинейно- метрических пространствах (286). Примеры и задачи 292 Глава VII. Линейные преобразования билинейно-метрических пространств 293 § 25. Основные типы линейных преобразований 293 25.1. Автоморфизмы (293). 25.2. Симметрические и кососимметрические преобразования (298). Примеры и задачи 300 § 26. Комплексные евклидовы пространства 300 26.1. Симметрические преобразования (301). 26.2. Кососимметрические преобразования (303). 26.3. Комплексные ортогональные преобразования (306). Примеры и задачи 309 § 27. Симплектические пространства 309 27.1. Симметрические преобразования (309). 27.2. Кососимметрические преобразования (312). 27.3. Симплектические преобразования (313). Примеры и задачи 315 § 28. Псевдоунитарные пространства 315 28.1. Симметрические преобразования (316). 28.2. Псевдоунитарные преобразования (324). Примеры и задачи 445 Глава VIII. Аффинные пространства 326 § 29. Общие аффинные пространства 326 29.1. Аксиоматика (326). 29.2. Линейные многообразия (334). 29.3. Параллельные плоскости (344). 29.4. Линейные функционалы (346). Дополнения и примеры 351 § 30. Аффинные координаты 353 30.1. Координаты точки (353). 30.2. Уравнения плоскостей (356). 30.3. Уравнения гиперплоскостей и прямых (364). 30.4. Преобразование аффинных координат (369). Примеры и задачи 373 § 31. Выпуклые тела 374 31.1. Лучи (374). 31.2. Полупространства (377). 31.3. Выпуклые множества (381). Дополнения и примеры 385 § 32. Евклидовы точечные пространства 386 32.1. Длина ломаной (386). 32.2. Угол между прямыми (388). 32.3. Ортогональные проекции (391). 32.4. Угол между плоскостью и прямой (397). Примеры и задачи 398 Предметный указатель 399 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоморфизм 139, 293, 332 — косой 81 Адъюнкт минора 55 — элемента 42 Алгоритм Гаусса 51 — Лагранжа 264 База 72, 81, 106, 206 Базис 72, 337, 353 Вектор 66 — изотропный 283 — корневой 147 — нормированный 203 — свободный 326 — собственный 141 Гиперплоскость 100, 341, 362, 385 Гиперповерхность алгебраическая 357 Гомоморфизм 331, 351 Делитель миноров 155 — элементарный 164 Дефект матрицы 134 — преобразования 129 Длина вектора 203 Дополнение ортогональное 212 —, — к плоскости 393 Зависимость линейная 70, 71, 334, 336 Закон двойственности 351 — инерции 260, 268 Замыкание 336, 381 Изоморфизм билинейно-метрических пространств 284 — косой 81 — линейных преобразований 132, 228, 294 — — пространств 78, 132 — унитарных пространств 210 Кватернион 26 Клетка Жордана 145 — — обобщенная 178 Конгруэнтность матриц 259, 273 — форм 257, 272 Коразмерность 340 Кратность собственного значения 142 Линейная комбинация 68 Ломаная 387 Луч 376 Матрица 10 — автоморфизма 372 — адъюнгированная 47 — билинейной функции 279 — Грама 214, 282 —— жорданова 146, 171 — идемпотентная 29 — инволютивная 29 — индуцированного преобразования 137 — каноническая диагональная 152 — клеточно-диагональнаь 24 — клеточно-треугольная 62 — комплексно-сопряженная 20 — кососимметрическая 18 — линейного преобразования 120 — многочленная ( λ-матрица) 150 Матрица неособенная 49 — нильпотентная 64 — нулевая 11 — обратная 19, 85 — ортогональная 20, 49 — особенная 49 — перехода 83, 370 — полупростая 180 — полураспавшаяся 34, 62, 137 — преобразования 255 — присоединенная 47 — распавшаяся 61 — симметрическая 18 — симплектическая 314 — системы 30, 31, 50, 93 — скалярная 169 — сопровождающая 174 — строчечно-конечная 29 — транспонированная 18, 40 — треугольная 64 — унитарная 21, 49, 226 — формы 257 — характеристическая 57 — эрмитова 21, 234 Метрика билинейная 282 Минор 42, 55, 64 Многогранник выпуклый 386 Многообразие алгебр 351 — алгебраическое 357 — корневое 348 — линейное 336 Многочлен матричный 16, 167 — минимальный матрицы 60 — — преобразования 140 Множество выпуклое (конвексное) 381, 383 Множители инвариантные 159, 172 Модуль 65 — унитарный 66, 80 Независимость линейная 70, 334, 336 Неравенство Бесселя 208 — Коши—Буняковского 208 Область значений 129 Определитель 30, 31 — Вандермонда 54 — Грама 214 — объемный 355 — преобразования 139 Ортогональность векторов 205, 283 — множеств векторов 211 — подпространств 211 Отрезок 376 Перенос 327 Плоскость 100, 336 — дополнительная 340 — координатная n-мерная 362 — пустая 338 Подобие матриц 55, 170 — преобразований 132, 228 Подпространство 98 — дополнительное 339 — изотропное 283 — инвариантное 135 — истинное (нетривиальное) 99 — касательное 344 Подпространство корневое 147 — линейное 98 - — нулевое 98 — тривиальное 98 Подстановка 114, 115 Поле упорядоченное 374 Полуплоскость 380 Полупространство 378 Порядок дуальный 375 —, естественный на прямой 375 Правило треугольника 330 Представление функционала 355 Преобразование 110, 117 — взаимно однозначное 113 — единичное 112, 118 — идемпотентное 248 — изометрическое 293 — индуцированное 137 — координат 83, 84, 121 — кососимметрическое 233, 291, 298 — Кэли 245, 299 — линейное 117, 241 — неособенное 131 — нормальное 219 — нулевое 118 — обратное 112 — ортогональное 249, 306 — особенное 131 — проекционное 248 — псевдоунитарное 324 — симметрическое 231, 235, 291, 298 — симплектическое 314 — сопряженное 217, 289 — унитарное 225 — эрмитово 231 — -матриц элементарное 151 Признак Якоби 270 Проекция вектора на подпространство 213, 248 — ортогональная 393 Произведение матриц 13 — преобразований 111 — скалярное 201, 202 Пространство аффинное над векторным пространством 326 — — — полем 329, 351 — билинейно-метрическое 282 — евклидово 200, 201, 286, 386 — конечномерное 13 — линейное (или векторное) 66, 63 — метрическое 387 — псевдоевклидово 285 — псевдсунитарное 286, 315 — симплектическое 286, 309 — сопряженное (или дуальное) 214 — строк 68 — унитарное 201, 386 — функций 202 Процесс Грама—Шмидта 209 Прямая 100, 338 Равенство Парсеваля 209 Радиус-вектор точки 327 Разложение полярное 241 — спектральное 250 Размерность аффинного пространства 334 — выпуклого множества 383 — линейного пространства 73 Ранг матрицы 86 — однородной системы 108 — преобразования 12Э — формы 257 Расстояние между векторами 205 — — точками 38/ Репер 353, 388 Решение нулевое 106 Решение системы линейных уравнений 50, 93 Ряд степенной от матриц 190 Сдвиг 327 Сигнатура пространства 285, 286 — формы 260 Симплекс 385, 386 Система векторов линейно зависимая 70 — — ортогональная 205 — — ортонормированная 206 — координатная 81 — — нормальная 301, 316 — — симплектическая 309 — образующая 72 — точек выпукло неприводимая 386 — уравнений 357 — — линейных 50, 51, 95, 105 След матрицы 57 — преобразования 139 Смещение 329 Собственное значение матрицы 58 — — преобразования 140 Спектр линейного преобразования 252 Строка 68 — координатная 82, 353, 355 Сумма матриц прямая 24 — подпространств 100, 103, 211 — преобразований 126 — ряд матриц 190 Теорема Гамильтона—Кэли 59 — Кронекера—Капелли 94 — Шура 239 Тождество Лагранжа 47 Угол между лучами 391 — — прямой и плоскостью 396 — — прямыми 389 Форма 256 — билинейная 256, 258, 259, 261 — естественная нормальная 174, 175 — Жордана 146, 178 — каноническая λ -матрицы 152 — квадратичная 254, 269 — линейная 254 — полилинейная 256 — эрмитова билинейная 258, 258, 263 — 5-го порядка 358 Формулы Крамера 51 Функционал линейный 346 — полилинейный 353 — 5-го порядка 358 Фундаментальная система решений 106 Функция 69 — билинейная 278, 280, 231 — квадратичная 280, 281 — косолинейная 224 — линейная 214 — матрицы 182, 183 Характеристика билинейной функции 325 — Вейра 180 — Сегре 180 Характеристический многочлен матрицы 57 — — преобразования 139 Циркулянт 44 Число характеристическое 58 Эквивалентность матриц скалярная 169, 228, 271 — форм 256, 271 — λ-матриц 151 Эндоморфизм косой 81 Ядро преобразования 129 |