Главная страница
Навигация по странице:

  • Основные формулы комбинаторики 1) Факториал

  • Формула количества перестановок : ! n P n  Типичная смысловая нагрузка

  • Формула количества сочетаний : !)!(! m m n n С m n  Типичная смысловая нагрузка

  • Формула количества размещений

  • Формула количества перестановок с повторениями

  • Типичная смысловая нагрузка

  • Формула количества сочетаний с повторениями

    		•

    Основные формулы комбинаторики 1 Факториал


    Скачать 0.49 Mb.
    НазваниеОсновные формулы комбинаторики 1 Факториал
    Дата28.09.2018
    Размер0.49 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаformuly_kombinatoriki.pdf
    ТипДокументы
    #51842

    Практические задачи с решениями можно найти на странице
    http://mathprofi.ru/zadachi_po_kombinatorike_primery_reshenij.html
    © http://mathprofi.ru
    , Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
    Основные формулы комбинаторики
    1)
    Факториал
    (произведение всех натуральных чисел от 1 до
    n включительно)
    )
    1
    (
    )
    1
    )(
    2
    (
    5 4
    3 2
    1
    )!
    1
    (
    )
    1
    )(
    2
    (
    5 4
    3 2
    1
    !
    )
    1
    )(
    2
    (
    5 4
    3 2
    1
    )!
    1
    (
    5040 7
    6 5
    4 3
    2 1
    !
    7 720 6
    5 4
    3 2
    1
    !
    6 120 5
    4 3
    2 1
    !
    5 24 4
    3 2
    1
    !
    4 6
    3 2
    1
    !
    3 2
    2 1
    !
    2 1
    !
    1
































































    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    Кроме того:
    1
    !
    0 
    2)
    Перестановки, сочетания и размещения без повторений
    Участники действий: множество, состоящее из n различных объектов (либо объектов,
    считающихся в контексте той или иной задачи различными)
    Формула количества перестановок:
    !
    n
    P
    n

    Типичная смысловая нагрузка
    : «Сколькими способами можно переставить n объектов?»
    Формула количества сочетаний:
    !
    )!
    (
    !
    m
    m
    n
    n
    С
    m
    n



    Типичная смысловая нагрузка
    : «Сколькими способами можно выбрать m объектов из n ?».
    Поскольку выборка проводится из множества, состоящего из n объектов, то справедливо
    неравенство
    n
    m

    0
    Формула количества размещений:
    n
    n
    m
    n
    A
    m
    n
    )
    1
    (
    )
    1
    (






    Типичная смысловая нагрузка
    : «сколькими способами можно выбрать m объектов (из n
    объектов) и в каждой выборке переставить их местами (либо распределить между ними
    какие-нибудь уникальные атрибуты)»
    Исходя из вышесказанного, справедлива следующая формула:
    m
    n
    m
    m
    n
    A
    P
    С


    И в самом деле:
    m
    n
    m
    m
    n
    A
    n
    n
    m
    n
    m
    n
    n
    n
    m
    n
    m
    n
    m
    n
    n
    m
    m
    m
    n
    n
    P
    С






























    )
    1
    (
    )
    1
    (
    )
    (
    3 2
    1
    )
    1
    (
    )
    1
    )(
    (
    3 2
    1
    )!
    (
    !
    !
    !
    )!
    (
    !

    Практические задачи с решениями можно найти на странице
    http://mathprofi.ru/zadachi_po_kombinatorike_primery_reshenij.html
    © http://mathprofi.ru
    , Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
    3) Бином Ньютона и треугольник Паскаля
    Под биномом Ньютона чаще всего подразумевают формулу возведения двучлена
    )
    (
    b
    a
    в целую неотрицательную степень n :
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    1 1
    1 2
    2 2
    3 3
    3 2
    2 2
    1 1
    1 0
    5 5
    5 4
    1 4
    5 3
    2 3
    5 2
    3 2
    5 1
    4 1
    5 5
    0 5
    5 4
    4 4
    3 1
    3 4
    2 2
    2 4
    1 3
    1 4
    4 0
    4 4
    3 3
    3 2
    1 2
    3 1
    2 1
    3 3
    0 3
    3 2
    2 2
    1 1
    1 2
    2 0
    2 2
    1 1
    0 1
    1 0
































































    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    b
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    a
    C
    b
    a
    b
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    a
    C
    b
    a
    b
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    a
    C
    b
    a
    b
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    a
    C
    b
    a
    b
    C
    b
    a
    C
    a
    C
    b
    a
    b
    C
    a
    C
    b
    a
    b
    a
    5
    4
    3
    2
    2
    3
    4
    5
    4
    3
    2
    2
    3
    4
    3
    2
    2
    3
    2
    2
    b
    5ab
    b
    10a
    b
    10a
    b
    5a
    a
    b
    4ab
    b
    6a
    b
    4a
    a
    b
    3ab
    b
    3a
    a
    b
    2ab
    a
    b
    a
    1
    Биномиальные коэффициенты
    m
    n
    C
    можно рассчитать по стандартной формуле (см. пункт 2), но удобнее воспользоваться так называемым треугольником Паскаля, который представляет собой бесконечную таблицу биномиальных коэффициентов. По бокам этого треугольника расположены единицы, а каждое внутреннее число равно сумме двух ближайших верхних чисел (красные
    метки):
    Так, например, для возведения двучлена в 6-ю степень следует руководствоваться общей формулой бинома, после чего сразу записать числа из строки № 6 треугольника Паскаля:
    6
    5
    4
    2
    3
    3
    2
    4
    5
    6
    b
    6ab
    b
    15a
    b
    20a
    b
    15a
    b
    6a
    a
















    6 6
    6 5
    1 5
    6 4
    2 4
    6 3
    3 3
    6 2
    4 2
    6 1
    5 1
    6 6
    0 6
    6
    )
    (
    b
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    b
    a
    C
    a
    C
    b
    a
    Кроме того, данная таблица позволяет быстро находить отдельно взятые биномиальные коэффициенты (например, в целях проверки вычислений по формуле
    !
    )!
    (
    !
    m
    m
    n
    n
    С
    m
    n



    ):
    2 6
    C
    – находим строку № 6 и (внимание!) 2 + 1 = 3-й элемент слева (зелёный кружок):
    15 2
    6

    C
    ;
    5 9
    C
    – находим строку № 9 и выбираем 5 + 1 = 6-й элемент слева (малиновый кружок):
    126 5
    9

    C
    ;
    3 10
    C
    – находим строку № 10 и выбираем 3 + 1 = 4-й элемент слева (коричневый кружок):
    120 3
    10

    C

    Практические задачи с решениями можно найти на странице
    http://mathprofi.ru/zadachi_po_kombinatorike_primery_reshenij.html
    © http://mathprofi.ru
    , Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
    4)
    Комбинаторное правило суммы и комбинаторное правило произведения
    Если объект
    A
    можно выбрать из некоторого множества объектов
    m способами, а другой объект
    B
    –
    n способами, то выбор объекта
    A
    или объекта
    B
    (без разницы какого) возможен
    n
    m  способами.
    Если объект
    A
    можно выбрать из некоторого множества объектов
    m способами и после каждого такого выбора объект
    B
    можно выбрать
    n способами, то упорядоченная пара объектов
    )
    ;
    (
    B
    A
    может быть выбрана mn способами.
    Данные принципы справедливы и для бОльшего количества объектов.
    Важная содержательная часть правил состоит в том, знак «плюс» понимается и читается как союз
    ИЛИ, а знак «умножить» – как союз И.
    5)
    Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
    Участники действий: множество, состоящее из объектов, среди которых есть одинаковые
    (либо считающиеся таковыми по смыслу задачи)
    Формула количества перестановок с повторениями:
    !
    !
    !
    !
    !
    3 2
    1
    )
    (
    k
    повт
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    P





    , где
    n
    n
    n
    n
    n
    k





    3 2
    1
    Типичная смысловая нагрузка
    : «Количество способов, которыми можно переставить
    n объектов, среди которых 1-й объект повторяется
    1
    n раз, 2-й объект повторяется
    2
    n раз,
    3-й объект –
    3
    n раз,…, k -й объект –
    k
    n раз»
    Следует отметить, что в подавляющем большинстве задач в совокупности есть и уникальные
    (не повторяющиеся) объекты, в этом случае соответствующие значения
    i
    n равны единице, и в практических расчётах их можно не записывать в знаменатель.
    Формула количества сочетаний с повторениями:
    !
    )!
    1
    (
    !
    )
    1
    (
    1
    )
    (
    m
    n
    m
    n
    С
    С
    m
    m
    n
    m
    повт
    n








    Типичная смысловая нагрузка
    : «Для выбора предложено
    n множеств, каждое из которых
    состоит из одинаковых объектов. Сколькими способами можно выбрать m объектов?»
    То есть, здесь в выборке могут оказаться одинаковые объекты, и если
    n
    m  , то совпадения точно будут. По умолчанию предполагается, что исходная совокупность содержит не менее m объектов
    каждого вида, и поэтому выборка может полностью состоять из одинаковых объектов.
    Формула количества размещений с повторениями:
    m
    m
    повт
    n
    n
    A

    )
    (
    Типичная смысловая нагрузка
    : «Дано множество, состоящее из
    n объектов, при этом любой
    объект можно выбирать неоднократно. Сколькими способами можно выбрать m объектов,
    если важен порядок их расположения в выборке? »
    Для бОльшей ясности здесь удобно представить, что объекты извлекаются последовательно (хотя это вовсе не обязательное условие). В частности, возможен случай, когда из n имеющихся объектов m раз будет выбран какой-то один объект.

    написать администратору сайта