Формулы теории вероятностей. Основные формулы теории вероятностей Сводный справочный материал раздела Теория вероятностей Часть первая. Случайные события
 Скачать 412.2 Kb.
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно! Основные формулы теории вероятностей Сводный справочный материал раздела «Теория вероятностей» Часть первая. Случайные события http://mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html 1. Классическое определение вероятности Вероятностью наступления события A в некотором испытании называют отношение n m A P ) ( , где n – общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A 2. Геометрическое определение вероятности Вероятность наступления события A в испытании равна отношению G g A P ) ( , где G – геометрическая мера (длина, площадь, объем), выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов. 3. Статистическое определение вероятности Вероятность наступления некоторого события A – есть относительная частота n m A W ) ( , где n – общее число фактически проведённых испытаний, а m – число испытаний, в которых появилось событие A 4. Полная группа событий Сумма вероятностей событий n A A A A , , , , 3 2 1 , образующих полную группу, равна единице: 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 n A P A P A P A P 5. Теорема сложения вероятностей противоположных событий Сумма вероятностей противоположных событий A A, равна единице: 1 ) ( ) ( A P A P 7. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Вероятность появления одного из двух несовместных событий A или B (без разницы какого), равна сумме вероятностей этих событий: ) ( ) ( ) ( B P A P B A P Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх: ) ( ) ( ) ( ) ( C P B P A P C B A P 8. Теорема сложения вероятностей совместных событий Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий B A, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: ) ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P © http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно! 9. Теорема умножения вероятностей независимых событий Вероятность совместного появления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий: ) ( ) ( ) ( B P A P AB P Данный факт справедлив и для бОльшего количества событий, например, для трёх: ) ( ) ( ) ( ) ( C P B P A P ABC P 10. Теорема умножения вероятностей зависимых событий Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события: ) ( ) ( ) ( B P A P AB P A , где ) (B P A – вероятность появления события B при условии, что событие A уже произошло. Данный факт справедлив и для бОльшего количества событий, например, для трёх: ) ( ) ( ) ( ) ( C P B P A P ABC P AB A , где ) (C P AB – вероятность появления события C при условии, что события A и B уже произошли. 11. Формула полной вероятности Вероятность события A , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий n B B B B , , , , 3 2 1 , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события A : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 A P B P A P B P A P B P A P B P A P n B n B B B 12. Формулы Байеса Пусть в результате осуществления одной из гипотез n B B B B .., , , , 3 2 1 событие A произошло. Тогда: ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 A P A P B P B P B A – вероятность того, что имела место гипотеза 1 B ; ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 A P A P B P B P B A – вероятность того, что имела место гипотеза 2 B ; ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3 A P A P B P B P B A – вероятность того, что имела место гипотеза 3 B ; … ) ( ) ( ) ( ) ( A P A P B P B P n B n n A – вероятность того, что имела место гипотеза n B 13. Формула Бернулли m n m m n m n q p C P , где: n – количество независимых испытаний; p – вероятность появления события A в каждом испытании и p q 1 – непоявления; m n P – вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно m раз. ( m n C – биномиальный коэффициент ) © http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно! 14. Формула Пуассона e m P m m ! , где np , где: n – количество независимых испытаний; p – вероятность появления события A в каждом испытании; m P – вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно m раз, при этом количество испытаний должно быть достаточно велико (сотни, тысячи и больше), а вероятность появления события в каждом испытании весьма мала (сотые, тысячные и меньше), в противном случае приближение к точному результату m n P (см. п. 13) будет плохим. 15. Локальная теорема Лапласа Пусть проводится достаточно большое (> 50-100) количество n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p . Тогда вероятность ) (m P n того, что в n испытаниях событие A наступит ровно m раз, приближённо равна: ) ( 1 ) ( x npq m P n , где 2 2 2 1 ) ( x e x – функция Гаусса, а ) 1 ( p q npq np m x Значения функции Гаусса найти напрямую, с помощью таблицы либо в MS Excel Теорема обеспечивает хорошее приближение к точному результату m n P (см. п. 13) при условии 10 npq ( 10 ), в противном случае значение ) (m P n будет далеко от истины. 16. Интегральная теорема Лапласа Если вероятность p появления случайного события A в каждом независимом испытании постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит не менее 1 m и не более 2 m раз, приближённо равна: ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 x x m m m P n , где: dz e x x z 0 2 2 2 1 ) ( – функция Лапласа, npq np m x npq np m x 1 1 2 2 , Значения функции Лапласа можно найти с помощью таблицы либо в MS Excel Теорема применима при тех же условиях: количество испытаний должно быть достаточно велико ( 100 - 50 n ) и произведение 10 npq ( 10 ). В противном случае точность приближения будет неудовлетворительной. Точное значение можно рассчитать по формуле: 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ) ( m n m n m n m n m n n P P P P P m m m P , где i i i i m n m m n m n q p C P (см. п. 13) © http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно! Часть вторая. Случайные величины http://mathprofi.ru/sluchainaya_velichina.html 17. Математическое ожидание а) дискретной случайной величины: n i i i n n p x p x p x p x p x X M 1 3 3 2 2 1 1 ) ( , где: i x – все возможные значения случайной величины и i p – соответствующие вероятности. б) непрерывной случайной величины: dx x xf X M ) ( ) ( , где ) (x f – функция плотности распределения этой случайной величины. 18. Свойства математического ожидания C C M ) ( – математическое ожидание константы равно этой константе. ) ( ) ( X CM CX M – постоянный множитель можно вынести за знак матожидания. ) ( ) ( ) ( Y M X M Y X M – матожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Для независимых случайных величин справедливо свойство: ) ( ) ( ) ( Y M X M XY M 19. Дисперсия 2 )) ( ( ) ( X M X M X D – есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. а) Дисперсию дискретной случайной величины можно рассчитать по определению: n i i i n n p X M x p X M x p X M x p X M x X M X M X D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( либо по формуле 2 2 )) ( ( ) ( ) ( X M X M X D , где n i i i p x X M 1 2 2 ) ( б) и аналогичные способы для непрерывной случайной величины: dx x f X M x X D ) ( ) ( ) ( 2 либо 2 2 )) ( ( ) ( ) ( X M X M X D , где dx x f x X M ) ( ) ( 2 2 20. Свойства дисперсии 0 ) ( C D – дисперсия постоянной величины равна нулю. ) ( ) ( 2 X D C CX D – константу можно вынести за знак дисперсии, возведя её в квадрат. ) ; cov( ) ( ) ( ) ( Y X Y D X D Y X D , где ) ; cov( Y X – коэффициент ковариации (см. ниже) случайных величин Y X , . Если случайные величины независимы, то ) ( ) ( ) ( Y D X D Y X D и для независимых случайных величин: ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )) ( ( ) ( 2 Y D X D Y D X D Y D X D Y X D Y X D © http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно! 21. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение ) ( ) ( X D X 22. Вероятность того, что случайная величина X примет значение из промежутка ) ( , ) ( ), ( b X a P b X a P b X a P либо ) ( b X a P рассчитывается по единой формуле: ) ( ) ( a F b F , где ) (x F – функция распределения данной случайной величины. Для непрерывной случайной величины эти вероятности также можно найти с помощью интеграла b a dx x f ) ( , где ) (x f – функция плотности распределения. 23. Распространённые виды распределений и их числовые характеристики а) дискретные: Название распределения Формула расчёта вероятностей Возможные значения m Математическое ожидание Дисперсия Биномиальное m n m m n m n q p C P n ..., , 3 , 2 , 1 0, np npq Пуассона e m P m m ! , ..., , 3 , 2 , 1 n Геометрическое p q P m m 1 , ..., , 3 , 2 , 1 n p 1 2 p q Гипергеометрическое n N m n M N m M m C C C P ) , min( ..., , 1 0, n M n N M ) 1 ( ) ( ) ( 2 N N n N n M N M б) непрерывные: Название распределения Функция плотности ) (x f Математическое ожидание Дисперсия Равномерное a b 1 на промежутке от a до b и 0 вне этого промежутка 2 b a 12 ) ( 2 b a Показательное x e , если 0 x и 0, если 0 x 1 2 1 Нормальное 2 2 2 ) ( 2 1 a x e , x a 2 © http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно! 24. Коэффициент ковариации (совместной вариации) случайных величин n i m j ij j i p Y M y X M x Y M Y X M X M Y X 1 1 )) ( ))( ( ( )) ( ( )) ( ( ) ; cov( – математическое ожидание произведения линейных отклонений случайных величин от соответствующих математических ожиданий. Данный коэффициент удобно вычислять по формуле: ) ( ) ( ) ( ) ; cov( Y M X M XY M Y X , где n i m j ij j i p y x XY M 1 1 ) ( для дискретной и dxdy y x xyf XY M ) , ( ) ( – для непрерывной случайной величины. Значение коэффициента не превосходит по модулю ) ( ) ( ) ; cov( Y D X D Y X , где ) ( , ) ( Y D X D – дисперсии случайных величин. Если случайные величины независимы, то 0 ) ; cov( Y X , обратное в общем случае неверно. 25. Коэффициент линейной корреляции ) ( ) ( ) ; cov( Y X Y X r xy , где ) ( ), ( Y X – стандартные отклонения случайных величин. Данный коэффициент принимает значения из промежутка 1 1 xy r 26. Неравенство Чебышева Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ёё математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем: 2 ) ( 1 ) ( X D X M X P , где ) ( X D – дисперсия этой случайной величины. 27. Теорема Чебышева Если n X X X X , , , , 3 2 1 – попарно независимые случайные величины, причём дисперсии их равномерно ограничены (не превосходят постоянного числа C ), то, как бы ни было малО положительное число , вероятность неравенства n X M X M X M n X X X n n ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Иными словами: 1 ) ( ) ( ) ( lim 2 1 2 1 n X M X M X M n X X X n n n |