ПР3 Голдобин. Отчет о практической работе Математическая обработка результатов наблюдений при экспоненциальном законе распределения

• Название: Отчет о практической работе Математическая обработка результатов наблюдений при экспоненциальном законе распределения
• Дата: 16.03.2023
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: ПР3 Голдобин.doc
• Тип: Отчет; #994314

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Кафедра «Технологические машины и оборудование»

Отчет

о практической работе

«Математическая обработка результатов наблюдений

при экспоненциальном законе распределения»
Студент гр. БМР 19-01 А.А. Петров
Доцент каф. ТМО А.Х. Габбасова
Уфа 2021

Цель. Для возможности прогнозирования надежности объекта выбрать закон распределения при заданных значениях наработки до отказа ряда аналогичных объектов.
Покажем обработку результатов наблюдений для определения оценок числовых характеристик и вида закона распределения случайных величин х_i на примере наработки на отказ насоса, перекачивающего горячую кислоту.

В результате наблюдений получено сто случайных значений (n = 100) времени безотказной работы насоса х_i = t_i(ч), которые приведены таблице 1.
Таблица 1 - Случайные значения времени безотказной работы насоса t, ч

280	1	41	130	33	150	30	23	11	5
10	190	370	7	80	78	260	100	220	120
73	50	20	220	44	100	110	95	110	76
9	460	80	3	12	530	31	4	250	112
42	28	21	230	90	30	50	77	21	90
19	180	95	20	130	190	160	22	55	150
50	5	75	170	51	1	420	42	200	87
9	250	110	8	150	140	80	340	28	22
58	74	65	610	59	31	90	60	67	210
290	39	66	140	38	130	43	52	180	4

Приведенный в таблице 1 экспериментальный статистический материал для придания ему наглядности и компактности целесообразно представить в виде статистического (вариационного) ряда – по возрастанию.

В множестве данных находится минимальный член ряда - 1 ч и максимальный - 370 ч.

Размах ряда составляет, ч
t_max - t_min =610 – 1 = 609.

Весь диапазон значений случайной величины t_i (n = 100) разбивается на интервалы.

Для удобства расчетов интервалы целесообразно принимать равными.

Примерная величина интервала tопределяется по формуле
t = _{ } . (1)

_{ }.

Если при выбранных по формуле (1) равных интервалах количество значений случайной величины в интервале оказывается меньше 10 (таблица 2, столбец 4), то принимаются интервалы различной длины (таблица 2, столбец 2, столбец 3).

Количество интервалов рекомендуется брать от 7 до 15. Большое число интервалов принимается для весьма обширного и довольно однородного статистического материала.

Число интервалов статистического распределения в примереk = 10. Для каждого интервала проведем подсчеты и представим их в таблице 2.
Таблица 2 - Обработка статистического ряда

№	Интервал	Размах ti	ni	Рi = пi/п	ti (серед.)	Pi ti	F*(t)= (пi/п)	ƒ*(t)= ni /(nt)	Pi[ti – M(t)]2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0-100	100	64	0,64	50	32	0,64	0,0064	1313,33
2	100-200	100	21	0,21	150	31,5	0,85	0,0021	628,33
3	200-300	100	9	0,09	250	22,5	0,94	0,0009	2 153,88
4	300-610	310	6	0,06	155	9,3	1,0	0,000193	213,84
	-	-	100	1,00	-	М(t) = = 95,3 ч	-	-	D(t) = = 2155,5 ч2

В таблице 2 приведены следующие результаты расчетов:

В колонке 1 даны номера разрядов разбивки интервала варьирования.

В колонке 2 - границы каждого интервала, причем условимся, что каждый предыдущий интервал содержит конечную точку, а каждый последующий не содержит точки начала.

В колонке 3 показана числовая величина размаха интервала t.

В колонке 4 - количество значений случайной величины (из таблицы 1), попавших в интервал, т. е. абсолютная частота n_i .

В колонке 5 подсчитана относительная частота (частность), или эмпирическая вероятность
Р_i = n_i / n, (2)
где n_i / n - накопленная относительная частота всех интервалов должна быть равна единице, что служит проверкой правильности вычисления частоты для каждого интервала. В примере n = 100.

В колонке 6 отмечены координаты t_{i (серед.)} - середины каждого интервала из колонки 2.

В колонке 7 приведены произведения значений из колонок 5 и 6 (P_i · t_i), которые в сумме дают координату центра распределения, т.е. статистическое среднее (математическое ожидание) M(t)
 (P_i · t_i) = M(t) = 75 (ч).
В колонке 8 дана накопленная частота (n_i / n), или функция распределенияF*(t). Определяется по данным колонки 5 (складываются значения текущего и предыдущих интервалов).

В колонке 9 - эмпирическая плотность вероятности n_i / (nt), или ƒ*(t). Определяется по данным колонки 3 и колонки 5.

В колонке 10 указано произведение P_i [t_i – M(t)]², служащее для определения статистической дисперсии D(t)
D(t) =  (P_i[t_i – M(t)]²) =  (P_i[t_i – 75]²) = 6456 (ч²).
Среднеквадратическим отклонением (t) будет положительное значение корня квадратного из дисперсии
(t)= √D(t)= √2155.5= 47 (3)
Коэффициент вариации определяется как
V (t) = _{ }=47/95,3 = 0,49 (4)
Часто в статистических исследованиях используют следующие характеристики:

- среднеквадратическая ошибка определения среднего арифметического (среднеквадратическая ошибка определения математического ожидания)
M(t) = _{ }; =47/√100 = 4,7 (5)
- среднеквадратическая ошибка определения среднеквадратического отклонения
(t) = _{ } =47/√200=3,32 (6)
Тогда, округляя значения отклонений, получим
M(t) = 75 ± 8 (ч). = 95,3±5 ч.
На рисунке 1 для построения гистограммы по оси абсцисс t откладываются интервалы t_i (см. таблицу 2, колонка 2) случайной величины t_i и на каждом из интервалов строится прямоугольник с площадью, равной частоте появления случайной величины в данном интервале.

Высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам и равны эмпирической плотности вероятности [n_i/ (nt_i)] (см. таблицу 2, данные колонки 9) для каждого интервала. На рисунке 1 представлена точечная гистограмма распределения, где значения статистической вероятности отложены от середины каждого интервала.

Исходя из характера гистограммы, можно предположить, что исследуемая случайная величина распределена по экспоненциальному закону. Об этом свидетельствует также почти полное совпадение по величине математического ожидания M(t) = 75 ч и среднеквадратического отклонения (t) = 80 ч случайной величины t(коэффициент вариации V  1).

Выравнивающий график функции ƒ(t) строим по данным таблицы 3 (колонка 5).


Рисунок 1 – Гистограмма наработки на отказ и выравнивающая кривая табл2 высота 9 колонка
Приняв в качестве математического ожидания наработки на отказ его оценку (статистическое среднее) M(t) = 75 ч, можно записать
ƒ(t) = ·_{ } , или ƒ(t) = ·exp(-·t_i). (7)
Поскольку при экспоненциальном законе распределения
 = 1 / M(t) = const, то
ƒ(t) = ·exp(-·t_i) = 0,013·е^-0,013·t , (8)
где  = 1 / M(t) = 1 / 75 = 0,013.

В таблице 3 приведены следующие результаты расчетов:

В колонке 2 значение t_{i (гран.)}границы интервалов из колонки 2 таблицы 2.

В колонке 3 значения ·t_i .

В колонке 4 функции (е ^{- · t}) можно определить, используя таблицу е ^-х приложения А.
Та6лица 3 - Теоретические значения вероятностей

№	ti (гран.)	 · ti	е-0,013·t	ƒ(t) 1 рис		n· 	ni		F(t)2 рис
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	0	1	0,0104	-	-	-	-	0
2	100	1,04	0,353	0,00367	0,647	99,3	64	0,00493	0,647
3	200	2,09	0,124	0,00128	0,229	99,7	21	0,000902	0,876
4	300	3,147	0,0429	0,000446	0,0811	99,9	9	0,0001	0,957
5	610	6,4	0,00166	0,0000172	0,0412	99,95	6	0,000025	0,998
							100	=0,005957

Рисунок 2 - Графики статистической F*(t) и теоретической F(t)

функций распределения табл3

высота 2 табл 8 колонка





Из рисунка 2 и из сравнения данных колонки 8 таблицы 2 и колонки 10 таблицы 3:
D = | F*(100) – F(100)| = |0,64 – 0,647| = 0,007;

D = | F*(200) – F(200)| = |0,85 – 0,875| = 0,025 = D_max;

D = | F*(300) – F(300)| = |0,94 – 0,957| = 0,017

D = | F*(610) – F(610)| = |1,0 – 0,998| = 0,002;

видно, что максимальная разница значений F*(t_i) иF(t_i) наблюдается
при t_i =30 ч. При этом критерий Колмагорова D_max составляет 0,077.
Далее определяется величина
*=D_{ } ,

* = 0,077·_{ } = 0,77. = 0,025*10=0,25
По приложению В находится вероятность Р(*)
Р(*) = Р(0,77) = 1,00.
Вывод. Вероятность Р(*) = 1,00не является малой, таким образом, гипотеза об экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы насоса подтверждается также и критерием Колмогорова.