Главная страница
Навигация по странице:

  • В таблице 2 приведены следующие результаты расчетов: В колонке 1 даны номера разрядов разбивки интервала варьирования

  • Среднеквадратическим отклонением  ( t )

  • На рисунке 1

  • Выравнивающий график функции ƒ(

  • В таблице 3 приведены следующие результаты расчетов

  • ПР3 Голдобин. Отчет о практической работе Математическая обработка результатов наблюдений при экспоненциальном законе распределения


    Скачать 0.66 Mb.
    НазваниеОтчет о практической работе Математическая обработка результатов наблюдений при экспоненциальном законе распределения
    Дата16.03.2023
    Размер0.66 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаПР3 Голдобин.doc
    ТипОтчет
    #994314




    Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

    высшего образования

    «Уфимский государственный нефтяной технический университет»

    Кафедра «Технологические машины и оборудование»

    Отчет

    о практической работе

    «Математическая обработка результатов наблюдений

    при экспоненциальном законе распределения»
    Студент гр. БМР 19-01 А.А. Петров
    Доцент каф. ТМО А.Х. Габбасова
    Уфа 2021

    Цель. Для возможности прогнозирования надежности объекта выбрать закон распределения при заданных значениях наработки до отказа ряда аналогичных объектов.
    Покажем обработку результатов наблюдений для определения оценок числовых характеристик и вида закона распределения случайных величин хi на примере наработки на отказ насоса, перекачивающего горячую кислоту.

    В результате наблюдений получено сто случайных значений (n = 100) времени безотказной работы насоса хi = ti(ч), которые приведены таблице 1.
    Таблица 1 - Случайные значения времени безотказной работы насоса t, ч

    280

    1

    41

    130

    33

    150

    30

    23

    11

    5

    10

    190

    370

    7

    80

    78

    260

    100

    220

    120

    73

    50

    20

    220

    44

    100

    110

    95

    110

    76

    9

    460

    80

    3

    12

    530

    31

    4

    250

    112

    42

    28

    21

    230

    90

    30

    50

    77

    21

    90

    19

    180

    95

    20

    130

    190

    160

    22

    55

    150

    50

    5

    75

    170

    51

    1

    420

    42

    200

    87

    9

    250

    110

    8

    150

    140

    80

    340

    28

    22

    58

    74

    65

    610

    59

    31

    90

    60

    67

    210

    290

    39

    66

    140

    38

    130

    43

    52

    180

    4



    Приведенный в таблице 1 экспериментальный статистический материал для придания ему наглядности и компактности целесообразно представить в виде статистического (вариационного) ряда – по возрастанию.

    В множестве данных находится минимальный член ряда - 1 ч и максимальный - 370 ч.

    Размах ряда составляет, ч
    tmax - tmin =610 – 1 = 609.

    Весь диапазон значений случайной величины ti (n = 100) разбивается на интервалы.

    Для удобства расчетов интервалы целесообразно принимать равными.

    Примерная величина интервала tопределяется по формуле
    t =   . (1)

     .

    Если при выбранных по формуле (1) равных интервалах количество значений случайной величины в интервале оказывается меньше 10 (таблица 2, столбец 4), то принимаются интервалы различной длины (таблица 2, столбец 2, столбец 3).

    Количество интервалов рекомендуется брать от 7 до 15. Большое число интервалов принимается для весьма обширного и довольно однородного статистического материала.

    Число интервалов статистического распределения в примереk = 10. Для каждого интервала проведем подсчеты и представим их в таблице 2.
    Таблица 2 - Обработка статистического ряда



    Интервал

    Размах

    ti

    ni

    Рi = пi/п

    ti (серед.)

    Pi ti

    F*(t)=

    (пi/п)

    ƒ*(t)=

    ni /(nt)

    Pi[ti – M(t)]2

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    1

    0-100

    100

    64

    0,64

    50

    32

    0,64

    0,0064

    1313,33

    2

    100-200

    100

    21

    0,21

    150

    31,5

    0,85

    0,0021

    628,33

    3

    200-300

    100

    9

    0,09

    250

    22,5

    0,94

    0,0009

    2 153,88

    4

    300-610

    310

    6

    0,06

    155

    9,3

    1,0

    0,000193

    213,84



    -

    -

    100

    1,00

    -

    М(t) = = 95,3 ч

    -

    -

    D(t) =

    = 2155,5 ч2


    В таблице 2 приведены следующие результаты расчетов:

    В колонке 1 даны номера разрядов разбивки интервала варьирования.

    В колонке 2 - границы каждого интервала, причем условимся, что каждый предыдущий интервал содержит конечную точку, а каждый последующий не содержит точки начала.

    В колонке 3 показана числовая величина размаха интервала t.

    В колонке 4 - количество значений случайной величины (из таблицы 1), попавших в интервал, т. е. абсолютная частота ni .

    В колонке 5 подсчитана относительная частота (частность), или эмпирическая вероятность
    Рi = ni / n, (2)
    где ni / n - накопленная относительная частота всех интервалов должна быть равна единице, что служит проверкой правильности вычисления частоты для каждого интервала. В примере n = 100.

    В колонке 6 отмечены координаты ti (серед.) - середины каждого интервала из колонки 2.

    В колонке 7 приведены произведения значений из колонок 5 и 6 (Pi · ti), которые в сумме дают координату центра распределения, т.е. статистическое среднее (математическое ожидание) M(t)
     (Pi · ti) = M(t) = 75 (ч).
    В колонке 8 дана накопленная частота (ni / n), или функция распределенияF*(t). Определяется по данным колонки 5 (складываются значения текущего и предыдущих интервалов).

    В колонке 9 - эмпирическая плотность вероятности ni / (nt), или ƒ*(t). Определяется по данным колонки 3 и колонки 5.

    В колонке 10 указано произведение Pi [tiM(t)]2, служащее для определения статистической дисперсии D(t)
    D(t) = (Pi[ti – M(t)]2) = (Pi[ti – 75]2) = 6456 (ч2).
    Среднеквадратическим отклонением (t) будет положительное значение корня квадратного из дисперсии
    (t)=D(t)=2155.5= 47 (3)
    Коэффициент вариации определяется как
    V (t) =  =47/95,3 = 0,49 (4)
    Часто в статистических исследованиях используют следующие характеристики:

    - среднеквадратическая ошибка определения среднего арифметического (среднеквадратическая ошибка определения математического ожидания)
    M(t) =  ; =47/√100 = 4,7 (5)
    - среднеквадратическая ошибка определения среднеквадратического отклонения
    (t) =   =47/√200=3,32 (6)
    Тогда, округляя значения отклонений, получим
    M(t) = 75 ± 8 (ч). = 95,3±5 ч.
    На рисунке 1 для построения гистограммы по оси абсцисс t откладываются интервалы ti (см. таблицу 2, колонка 2) случайной величины ti и на каждом из интервалов строится прямоугольник с площадью, равной частоте появления случайной величины в данном интервале.

    Высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам и равны эмпирической плотности вероятности [ni/ (nti)] (см. таблицу 2, данные колонки 9) для каждого интервала. На рисунке 1 представлена точечная гистограмма распределения, где значения статистической вероятности отложены от середины каждого интервала.

    Исходя из характера гистограммы, можно предположить, что исследуемая случайная величина распределена по экспоненциальному закону. Об этом свидетельствует также почти полное совпадение по величине математического ожидания M(t) = 75 ч и среднеквадратического отклонения (t) = 80 ч случайной величины t(коэффициент вариации V  1).

    Выравнивающий график функции ƒ(t) строим по данным таблицы 3 (колонка 5).


    Рисунок 1 – Гистограмма наработки на отказ и выравнивающая кривая табл2 высота 9 колонка
    Приняв в качестве математического ожидания наработки на отказ его оценку (статистическое среднее) M(t) = 75 ч, можно записать
    ƒ(t) = ·  , или ƒ(t) = ·exp(-·ti). (7)
    Поскольку при экспоненциальном законе распределения
    = 1 / M(t) = const, то
    ƒ(t) = ·exp(-·ti) = 0,013·е-0,013·t , (8)
    где = 1 / M(t) = 1 / 75 = 0,013.

    В таблице 3 приведены следующие результаты расчетов:

    В колонке 2 значение ti (гран.)границы интервалов из колонки 2 таблицы 2.

    В колонке 3 значения ·ti .

    В колонке 4 функции - · t) можно определить, используя таблицу е приложения А.
    Та6лица 3 - Теоретические значения вероятностей



    ti (гран.)

    · ti

    е-0,013·t

    ƒ(t) 1 рис



     

    ni



    F(t)2 рис

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    1

    0

    0

    1

    0,0104

    -

    -

    -

    -

    0

    2

    100

    1,04

    0,353

    0,00367

    0,647

    99,3

    64

    0,00493

    0,647

    3

    200

    2,09

    0,124

    0,00128

    0,229

    99,7

    21

    0,000902

    0,876

    4

    300

    3,147

    0,0429

    0,000446

    0,0811

    99,9

    9

    0,0001

    0,957

    5

    610

    6,4

    0,00166

    0,0000172

    0,0412

    99,95

    6

    0,000025

    0,998




    100

    =0,005957







    Рисунок 2 - Графики статистической F*(t) и теоретической F(t)

    функций распределения табл3

    высота 2 табл 8 колонка





    Из рисунка 2 и из сравнения данных колонки 8 таблицы 2 и колонки 10 таблицы 3:
    D = | F*(100) – F(100)| = |0,64 – 0,647| = 0,007;

    D = | F*(200) – F(200)| = |0,85 – 0,875| = 0,025 = Dmax;

    D = | F*(300) – F(300)| = |0,94 – 0,957| = 0,017

    D = | F*(610) – F(610)| = |1,0 – 0,998| = 0,002;

    видно, что максимальная разница значений F*(ti) иF(ti) наблюдается
    при ti =30 ч. При этом критерий Колмагорова Dmax составляет 0,077.
    Далее определяется величина
    *=D  ,

    * = 0,077·  = 0,77. = 0,025*10=0,25
    По приложению В находится вероятность Р(*)
    Р(*) = Р(0,77) = 1,00.
    Вывод. Вероятность Р(*) = 1,00не является малой, таким образом, гипотеза об экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы насоса подтверждается также и критерием Колмогорова.


    написать администратору сайта