Отчет по лабораторной работе 3 Спектральный анализ случайных процессов по дисциплине

• Название: Отчет по лабораторной работе 3 Спектральный анализ случайных процессов по дисциплине
• Дата: 31.05.2021
• Размер: 479.3 Kb.
• Имя файла: DSP-Lab-3.docx
• Тип: Отчет; #212322

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский

Томский политехнический Университет»


Инженерная школа ядерных технологий

Направление 01.04.02 «Прикладная математика и информатика»


ОТЧЕТ

По лабораторной работе 3

Спектральный анализ случайных процессов

по дисциплине:

Цифровая обработка сигналов

Исполнитель:		Е. В. Петрович	_________________
студент группы 0ВМ92		Дата сдачи:	_________________
Руководитель:		А. И. Кочегуров	_________________
доцент,		Дата проверки:	_________________
кандидат технических наук

Томск – 2021
Оглавление

Задание

1. 
   Сгенерировать две последовательности x(n) и y(n) в виде выборки случайных данных с нормальным законом распределения с помощью датчика случайных чисел (ДСЧ). Значения математического ожидания и дисперсии выбрать из таблицы 1 в соответствии с вашим вариантом. Объем каждой выборки 200 значений.
   
2. 
   По выборкам получить оценки математического ожидания и дисперсии и сравнить с заданными.
   
3. 
   По каждой выборке построить автокорреляционные функции Rx(t) и Ry(t) соответственно. Объяснить, что они показывают и вычислить по ним оценки радиуса корреляции и дисперсии. Сравнить полученную оценку дисперсии с заданной.
   
4. 
   Путем ДПФ построить спектральные плотности по двум корреляционным функциям и объяснить, что они показывают.
   
5. 
   Оценить энергию сигнала(дисперсию) по спектральной плотности.
   
6. 
   Построить функцию взаимной корреляции Rxy(t), определить положение ее максимума и объяснить, что показывает это положение.
   
7. 
   Путем ДПФ построить взаимную спектральную плотность от взаимной корреляционной функции, разложить ее на взаимный амплитудный и фазовый спектры и объяснить, что они показывают.
   
8. 
   Провести анализ полученных результатов и написать отчет о проделанной работе.
   

Цель работы

Приобретение необходимых навыков по корреляционному анализу случайных процессов.

Теоретическая часть

Автокорреляционная функция – выражает зависимость взаимосвязи между сигналом и его копией от значения сдвига копии по аргументу. Для детерминированного непрерывного сигнала АКФ представляет собой интеграл:
(1)
При представлении сигнала в виде вектора в функциональном пространстве, АФК – скалярное произведение вектора и :
(2)

Для периодических сигналов, например sin или cos АФК рассчитывается за один период.
При помощи АФК можно исследовать сигнал на присутствие в нем скрытых периодических составляющих.

Функция взаимной корреляции - выражает зависимость взаимосвязи между двумя сигналами от значения сдвига одного сигнала относительно другого по аргументу:

(3)

Если сигналы представлены в виде дискретной выборки, то корреляционная функция выражается последовательностью

(4)
Радиус корреляции – значение на котором значения процесса можно считать некоррелированными:
. (5)

Любая функция может быть представлена в функциональном пространстве через ортогональный базис. Так как функции sin и cos, а также их гармоники ортогональны, через их систему можно представить любую функцию. Верно и обратное, зная коэффициенты и функции составляющие ортогональный базис можно восстановить любую функцию. Разложение периодической функции на сумму тригонометрических функций называется разложение Фурье:
(6)

По формуле Эйлера выражение можно выразить через комплексное выражение , где -мнимая единица. Тогда разложение Фурье принимает вид:

(7)

Дискретное преобразование Фурье – один из видов разложения функции в ряд Фурье. Сигнал представлен в виде цифровой последовательности размером N с интервалом дискретизации и длительностью :

(8)
Длительность сигнала принимаем его периодом. Тогда S – вектор в N-мерном функциональном пространстве. Его можно выразить через N – мерный ортонормированный базис функций , где -мнимая единица, k = (0,1,2, …, N - 1). Комплексные коэффициенты Фурье определяются как скалярное произведение сигнала S на соответствующую базисную функцию:

(9)

Энергия сигнала по теореме Парсеваля:

(10)
Фазой частотной составляющей является аргумент комплексного коэффициента Фурье.

Основная часть

На языке Python генерируем последовательности случайных величин с нормальным распределением и в количестве 200 значений в каждой с помощью генератора случайных чисел с равномерным распределением на интервале [0,1]. Результат представлен на Рис.1.




Рис. 1. Гистограммы случайных последовательностей X и Y
Оценка среднего и дисперсии для выборок:



Среднее выборки X: -0.1625659738371587

Стандартное отклонение выборки X: 1.0415953865688774

Среднее выборки Y: 0.8707756490414005

Стандартное отклонение выборки Y: 0.9885475325426426

Рис. 2.Оценка среднего и дисперсии для выборок X и Y

По формуле (4) вычисляем автокорреляционные функции для последовательностей X и Y и их функцию взаимной корреляции (Рис.3).






Рис. 3. Функции автокорреляций и взаимной корреляции последовательностей X и Y

Так как последовательности конечные, при сдвиге наблюдается краевой эффект, когда количество парных произведений уменьшается. В этом случае предполагается, что за пределами последовательностей сигнал нулевой. Либо можно увеличить одну последовательность в два раза, обеспечив при этом адекватное сопряжение двух частей (Рис 4).





Рис. 4. Функции автокорреляций и взаимной корреляции последовательностей X и Y без краевых эффектов
Так как сигнал Y не центрированный, то есть в нем присутствует постоянная составляющая, то для сравнения автокорреляционных функций сигналов и определения радиуса корреляции и дисперсии необходимо из функции автокорреляции вычесть квадрат постоянной составляющей (Рис.5).






Рис. 5. Центрированные функции автокорреляции

По Рис. 5 можно оценить дисперсии сигналов X и Y. Дисперсия равна значению центрированной функции автокорреляции в точке 0 (Рис. 6).
D(X) = 0.8833304666848637

D(Y) = 0.8617546258778195

Рис. 6. Оценка дисперсии сигналов X и Y
Радиус корреляции определяем по формуле (5). Так как процесс центрированный, интеграл равен нулю. Дисперсии сигналов равны значениям их функций автокорреляций в точке 0. Получаем:

=1.1320791455920192
=1.1604231297062757





Рис. 7.Оценка радиусов корреляции сигналов X и Y

На Рис.7 приведены оценки радиусов корреляции сигналов X (зеленая линия) и Y (желтая линия).
На Рис. 8 приведен местоположение максимума функции взаимной корреляции сигналов X и Y. Так как максимум функции имеет отрицательное значение, то в этой точке сигналы X и Y имеют минимальное сходство.



Рис. 8.Максимум функции взаимной корреляции

При помощи дискретного преобразования Фурье строим спектральные плотности автокорреляционных функций сигналов X и Y (Рис. 9, Рис. 10)





Рис. 9.Спектральная плотность автокорреляционной функции сигнала X


Рис. 10. Спектральная плотность автокорреляционной функции сигнала Y
Каждая линия на графиках Рис 9, Рис 10 представляет составляющую частоту, присутствующую в сигнале, высота линии – амплитуду соответствующей частотной составляющей.


Энергия сигнала по (10):




Энергия автокорреляции X: 158.64839015981255

Энергия автокорреляции Y: 182.24450407102864

При помощи дискретного преобразования Фурье строим частотный и фазовый спектр функции взаимной корреляции сигналов X и Y (Рис. 11, Рис. 12)



Рис. 11. Спектральная плотность функции взаимной корреляции сигналов X и Y


Рис. 12. Фазовый спектр функции взаимной корреляции сигналов X и Y
Каждая линия на графике Рис 11 представляет составляющую частоту, присутствующую в сигнале, высота линии – амплитуду соответствующей частотной составляющей. Видно, что преобладает постоянная составляющая (f = 0).

Каждая линия на графике Рис 12 представляет фазовый сдвиг соответствующей частотной составляющей, присутствующей в сигнале, высота линии – значение сдвига в радианах.

Заключение

В работе проведено исследование автокорреляционных функций сигналов и функции их взаимной корреляции. При помощи дискретного преобразования Фурье построены частотные и фазовые спектры сигналов. Приведены теоретические сведения, программный код, рисунки с результатами работы. Работа выполнена на языке Python в среде Jupyter Lab.

Приложение

Кодзадания
import random

import math

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import scipy

import statistics
from scipy.stats import normaltest
def normRandom(N):

sumR = 0.

for i in range(1, N):

sumR = sumR + random.random()

x = math.sqrt(12/N)*(sumR - N/2)

return x
X = np.array([])

for i in range(200):

X = np.append(X, normRandom(100))

print(X)
Y = np.array([])

for i in range(200):

Y = np.append(Y, normRandom(100) + 1)

print(X)
n, bins, patches = plt.hist(X, bins = 25)

plt.show()

print(n)

print(bins)
Yn, Ybins, Ypatches = plt.hist(Y, bins = 25)

plt.show()

print(Yn)

print(Ybins)
print("Среднее выборки X:", statistics.mean(X))

print("Стандартное отклонение выборки X:", statistics.stdev(X))
print("Среднее выборки Y:", statistics.mean(Y))

print("Стандартное отклонение выборки Y:", statistics.stdev(Y))
k2, p = normaltest(X)

alpha = 5e-2

print("p = {:g}".format(p))

if p < alpha:

print("Нулевая гипотеза отвергается")

else:

print("Нулевая гипотеза не может быть отвергнута")
def kf(S1, S2):

print(len(S1), len(S2) )

n = len(S1)

KF = []

for j in range(n-1):

_sum = 0.
for i in range(n-1):

k = i+j

if(k >= len(S2)):

break
_sum = _sum + S1[i]*S2[k]
# load sum

KF.append(_sum / n)
return KF

YL = np.append(Y, Y)

XL = np.append(X, X)
autoCorrX = kf(X, XL)

autoCorrY = kf(Y, YL)

CorrXY = kf(X, YL)

CorrYX = kf(Y, X)
plt.figure(figsize=(12, 8))

plt.plot(autoCorrX)

plt.plot(autoCorrY)

plt.plot(CorrXY)
plt.legend(['X', 'Y', 'XY'])
autoCorrXnorm = (autoCorrX - (statistics.mean(X))**2) # / autoCorrX[0]

autoCorrYnorm = (autoCorrY - (statistics.mean(Y))**2) #/ autoCorrY[0]
plt.figure(figsize=(12, 8))

plt.plot(autoCorrXnorm[:50])

plt.plot(autoCorrYnorm[:50])

#plt.plot(CorrXY)

print("D(X) = ", autoCorrXnorm[0])

print("D(Y) = ", autoCorrYnorm[0])
tauKX = 1 / autoCorrXnorm[0]

tauKY = 1 / autoCorrYnorm[0]
plt.figure(figsize=(12, 8))

plt.plot(autoCorrXnorm[:5])

plt.plot(autoCorrYnorm[:5])

plt.axhline(y=0.0, color='r')

plt.axvline(x=tauKX, color='g')

plt.axvline(x=tauKY, color='y')
print('tau X', tauKX)

print('tau Y', tauKY)
plt.figure(figsize=(12, 8))

plt.plot(CorrXY[:50])

plt.axvline(x=CorrXY.index(max(CorrXY)), color='r')
from scipy.fft import fft, fftfreq, rfft

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

from matplotlib import collections as matcoll
def speDencityPlt(X, T=1, color='b'):

yf = fft(X)

xf = fftfreq(len(X), T/len(X))
plt.figure(figsize=(12, 8))

for i in range(len(yf)):

plt.vlines(xf[i], 0, abs(yf[i]), linestyles ="solid", colors ="b")

plt.show()

return yf, xf

fAutoX, xfX = speDencityPlt(autoCorrXnorm)

fAutoY, xfY = speDencityPlt(autoCorrYnorm)
EnAutoX = 0

EnAutoY = 0
for c in fAutoX:

EnAutoX = EnAutoX + abs(c)**2

EnAutoX = EnAutoX / 2
for c in fAutoY:

EnAutoY = EnAutoY + abs(c)**2

EnAutoY = EnAutoY / 2

print("Энергия автокорреляции X:", EnAutoX)

print("Энергия автокорреляции Y:", EnAutoY)
import cmath

fCorrXY, xfXY = speDencityPlt(CorrXY)
phaseXY = []

for c in fCorrXY:

phaseXY.append(cmath.phase(c))

plt.figure(figsize=(12, 8))

for i in range(len(phaseXY)):

plt.vlines(xfXY[i], 0, abs(phaseXY[i]), linestyles ="solid", colors ="b")
plt.show()