Эффект Холла. Отчет по лабораторной работе д вижение носителей заряда в
 Скачать 0.74 Mb.
|
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Радиофизический факультет Кафедра электроники Отчет по лабораторной работе: Д ВИЖЕНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ Э ФФЕКТ Х ОЛЛА Выполнил: студент 430 группы Зайцев Юрий 4 апреля 2007 г. Проверил: Оболенский Сергей Владимирович Нижний Новгород 2007 год Содержание 1 Введение 3 2 Теоретическая часть 3 2.1 Движение электронов в полупроводниках 3 2.1.1 Полупроводники с идеальной кристаллической решеткой . . . . . . 3 2.1.2 Полуклассическая модель движения электрона . . . . . . . . . . . 4 2.2 Эффект Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Практическая часть 7 3.1 Результаты эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Расчет погрешностей измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Вывод 10 2 1 Введение Цель работы Измерить эффект Холла в образце и определить его основные характеристики (по- стоянную Холла R, концентрацию основных носителей n и их подвижность µ). Оборудование Рис. 1: Схема экспериментальной установки На Рис. 1 приведена схема установки для определения постоянной Холла. Перемен- ное напряжение подается со звукового генератора I на трансформатор Тр, регулировоч- ный потенциометр R1, который выведен на переднюю панель установки и миллиам- перметр II подается на образец. Величина тока через образец устанавливается потен- циометром R1. На одной из боковых поверхностей образца вместо одного Холловского контакта установлены два (4, 5), потенциал одного из которых заведомо выше, а у другого заведомо ниже потенциала контакта 3, расположенного на противоположной поверхности. Установка двух контактов нужна для точной балансировки. 2 Теоретическая часть 2.1 Движение электронов в полупроводниках 2.1.1 Полупроводники с идеальной кристаллической решеткой Идеальная кристаллическая решетка представляет собой совокупность атомов, пе- риодически (с периодом, равным периоду кристаллической решетки a) расположенных в пространстве. Потенциальная энергия электрона V (r) в идеальной кристаллической 3 Тогда при известной зависимости энергии электрона в разрешенной зоне W (k) со- стояние электрона описывается его квазиволновым вектором k, а также координатой r. Считается, что в присутствии внешних электрических и магнитных полей E и B 1. номер зоны электрона не меняется (т.е. в модели пренебрегается возможностью межзонных переходов); 2. изменения квазиволнового вектора и координаты электрона определяются урав- нениями движения d r dt = v g (k) = 1 ¯ h ∂W (k) ∂k , (4) ¯ h dk dt = −e E + h v g , B i (5) Вблизи точки экстремума k 0 функцию W = W (k) можно разложить в ряд Тейлора, используя выражение W (k) = W (k 0 ) + 1 2 z X i=x z X j=x 1 m ∗ ij ¯ h 2 (k i − k i0 )(k j − k j0 ), (6) где m ∗ ij – компоненты тензора эффективной массы носителей заряда, определяю- щиеся соотношением 1 m ∗ ij = 1 ¯ h 2 ∂ 2 W (k) ∂k i ∂k j k= k 0 (7) Преобразовав тензор к диагональному виду можно получить уравнение движения электрона в виде m ∗ a = −e E + h v g , B i , (8) где a – ускорение электрона. 2.2 Эффект Холла Эффект Холла представляет собой поперечный гальваномагнитный эффект, суть которого заключается в следующем: если поместить полупроводниковую пластину во внешнее магнитное поле B и пропустить вдоль неё ток, то вследствие смещения дви- жущихся зарядов к одной из граней пластины возникает поперечная разность потен- циалов, называемая ЭДС Холла. При этом, носители различных знаков смещаются к одной и той же боковой грани полупроводника, поэтому с изменением типа электро- проводности меняется и знак ЭДС. 5 Рис. 2: Возникновение эффекта Холла в электронном полупроводнике На Рис. 2 показан полупроводник, две плоскости которого подключены через оми- ческие контакты к внешней батарее. Обозначим j плотность тока в направлении Ox. Магнитное поле B приложено в направлении оси Oy. Рассмотрим электрон, двигаю- щийся в отрицательном направлении оси Ox со средней скоростью v. На движущийся в магнитном поле электрон действует магнитная составляющая силы Лоренца: F = −e h v, B i (9) В результате действия этой силы траектория электрона будет искривляться в на- правлении оси Oz, и, поскольку в этом направлении ток протекать не может, электроны будут накапливаться на боковой поверхности до тех пор, пока не установится электри- ческое поле E H , достаточное для создания силы, равной магнитной составляющей силы Лоренца, но направленной противоположно: E H = h v, B i (10) Воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме: j = σ · E, (11) где σ = e·n·µ n – удельная проводимость образца, µ n = v E – подвижность носителей. j = e · n · µ n · E = −e · n · v (12) Исключая v из соотношения (10), получим: E H = − 1 en · h j, B i = R · h j, B i (13) Учитывая, что полный ток через образец I = jab, а поперечная ЭДС U H = E H a , получим соотношение, связывающее ЭДС Холла с величиной электрического тока: U H = R · I · B b (14) Величина R называется постоянной Холла. 6 3 Практическая часть 3.1 Результаты эксперимента 1. Определение типа носителей в образце. Рис. 3: К эксперименту по определению типа носителей в полупроводнике На Рис. 3 показан снимок с экрана осциллографа после внесения сбалансирован- ного образца в магнитное поле. Так как магнитное поле направлено вниз, можно сделать вывод о том, что это полупроводник n-типа (электронный полупровод- ник). 2. Снятие зависимости ЭДС Холла от величины магнитного поля. Зависимость была снята для трёх величин тока через образец: 3, 5 и 7 мА. 3. Снятие зависимости ЭДС Холла от величины тока через образец. Зависимость была снята для 420, 490 и 620 Гс (4.2·10 −2 , 4.9·10 −2 и 6.2·10 −2 Тл соответственно). 4. Для 10 точек была вычислена постоянная Холла R, концентрация основных но- сителей n и их подвижность µ. R = U H · b I · B , µ = R · σ, n = A R · e где A = 3π 8 , σ = 0, 1 1 Ом·см , b = 0, 5 мм. 7 Рис. 5: Зависимость ЭДС Холла от величины тока через образец 9 U H , мВ I, мА B, Гс R, м 3 Кл µ, м 2 Кл·Ом n, 1 м 3 1,6 1 490 0,016 0,16 4,5 · 10 20 5,8 3 490 0,020 0,20 3,7· 10 20 6,1 3 500 0,020 0,20 3,6· 10 20 10,3 5 530 0,019 0,19 3,8· 10 20 10 5 520 0,019 0,19 3,8· 10 20 13,2 7 620 0,015 0,15 4,8· 10 20 8,7 7 500 0,012 0,12 5,9· 10 20 6 7 420 0,010 0,10 7,2· 10 20 9,8 6 490 0,017 0,17 4,4· 10 20 6,9 7 450 0,011 0,11 6,7· 10 20 3.2 Расчет погрешностей измерений ∆B 0 = 5Гс ⇒ ∆B = 5 · 10 −4 Тл ∆R = (∆U · b + ∆b · U ) − (∆I · B + ∆B · I) (I · B) 2 = 2 · 10 −3 м 3 Кл ∆µ H = ∆R · σ = 2 · 10 −2 м 2 Кл · Ом ∆n = A e ∆R R 2 = 5 · 10 19 1 м 3 4 Вывод Полученные результаты для постоянной Холла, холловской подвижности и концен- трации несколько выходят за рамки вычисленной погрешности измерений для больших величин тока через образец и магнитного поля. Однако измеренные зависимости ка- чественно хорошо согласуются с теоретическими данными, в частности, зависимость ЭДС Холла от величины приложенного к образцу магнитного поля для разных то- ков ложится на линейную зависимость с очень высоким коэффициентом корелляции (ρ & 0.99). Изменение R в разных опытах предположительно может быть вызвано тем- пературными флуктуациями в образце при пропускании через него довольно высоких токов. В целом, поэтому, работу можно считать выполненной успешно. 10 |
Теорема Блоха утверждает, что собственные функции электрона, движущегося в таком периодическом поле, представляют собой модулированные плоские волны вида
ψ
k
(
r) = e i(
k,
r)
U
k
(
r),
(1)
где U
k
(
r)
– периодическая функция координат с периодом прямой решетки, k –
вектор, характеризующий квантовое состояние электрона в кристалле, имеющий раз- мерность волнового вектора и поэтому названный квазиволновым вектором. Функ- ции ψ
k
(
r)
называют блоховскими функциями. Можно ввести понятие квазиимпульса
электрона с помощью соотношения
p = ¯
hk
. При заданном значении k имеется много решений уравнения Шредингера, и описание энергетических уровней электрона с пери- одическом потенциале осуществляется посредством семейства непрерывных функций
W
n
(k)
. Совокупность всех электронных уровней, описываемых функцией W
n
(k)
при фиксированном n, называют разрешенной энергетической зоной с номером n. Энер- гия электрона W (k) в разрешенной зоне является периодической и четной функцией в пространстве обратной решетки.
На уровне, заданном номером зоны n и квазиволновым вектором k электрон имеет отличную от нуля среднюю скорость
v(k) =
1
¯
h
∇
k
W (k).
(2)
Согласно этому соотношению, электрон в периодическом потенциале имеет стацио- нарные уровни, находясь на которых он, несмотря на взаимодействие с периодической последовательностью ионов продолжает двигаться бесконечно долго, не теряя своей средней скорости.
В общем случае состояние электрона описывается с помощью волнового пакета,
состоящего из блоховских функций. Если ширина пакета по квазиволновым векторам мала по сравнению с зоной Бриллюэна и W (k) мало меняется для уровней, входящих в волновой пакет, то скорость движения электрона есть ни что иное, как групповая скорость движения центра волнового пакета
v g
(k) =
1
¯
h
∇
k
W (k).
(3)
2.1.2
Полуклассическая модель движения электрона
Если полупроводник находится во внешнем электрическом или магнитном поле, то для описания изменения квазиволнового вектора k электрона и его координаты r можно воспользоваться полуклассической моделью. Она справедлива в случае, когда внешние электрические и магнитные поля медленно меняются в координатном пространстве на расстояниях порядка размера элементарной ячейки.
4