Ответы к экзамену по вышке
![]()
|
Ответы к экзамену по вышке Определитель первого порядка имеет вид det A = a1 Определитель второго порядка имеет вид det A = ![]() Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. Определитель, имеющий два одинаковых ряда равен нулю. Общий множитель элементов какого-нибудь ряда определителя можно вынести за знак определителя. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на суму двух соответствующих определителей. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число. Определитель равен суме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида ![]() где числа aij, i= ![]() ![]() Такую систему можно записать в метрической форме А · Х = В Здесь А ― матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей. Х ― вектор-столбец из неизвестных xj. В ― вектор-столбец из свободных членов bi. ![]() ![]() ![]() ![]() Формула Крамера ![]() Вектор ― это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление. Если А ― начало вектора, а В ― его конец, то вектор обозначается символом ![]() ![]() ![]() Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. Сложение и вычитание векторов происходит по правилам треугольника и параллелограмма. Произведение вектора на число называется вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц. Квадратной матрицей называется матрица, у которой одинаковое число столбцов и строк. Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме главной диагонали. Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой каждый элементы главной диагонали равен единицы. Над матрицами можно совершать такие действия как сложение, умножение матрицы на число, умножать матрицу на матрицу, а также совершать элементарные преобразования ( перестановка местами двух параллельных рядов матрицы, умножение всех элементов ряда на число отличное от нуля, прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число). Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Формула для нахождения обратной матрицы ![]() Свойства обратной матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1.1 найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если ![]() ![]() ![]() 1.4 предавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом, можно найти частные решения исходной системы уравнений. Несобственный интеграл второго рода ![]() Если придел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится, а если же указанный придел не существует или бесконечен, то интеграл расходится (в точке х=b) В точке х=b ![]() Если функция имеет разрыв внутри отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой ![]() Интеграл ![]() Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ран расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы. Угол между прямыми ![]() ![]() Если прямые перпендикулярны, то в этом и только в этом случае ![]() Если прямые параллельны, то параллельны их направляющие векторы. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т.е. ![]() Прямые лежат в одной плоскости, если векторы ![]() ![]() ![]() Несобственный интеграл первого рода ![]() Если существует конечный придел, то интеграл сходится, а если такой придел не существует или он бесконечен, то интеграл не сходится. Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке [- ![]() Формула Ньютона-Лейбница ![]() Скалярное произведение двух нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. ![]() Свойства скалярного произведения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Выражение через координаты
![]() Векторным произведением вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства векторного произведения ![]() ![]() ![]() ![]() Выражение векторного произведения через координаты
Смешанным произведение векторов называется произведение, в котором два первые вектора перемножаются векторно, а третий скалярно на их результат. Свойства смешанного произведения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема Коши: если функция ![]() ![]() Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования ![]() Определённый интеграл с одинаковыми приделами интегрирования равен нулю ![]() Для любого действительного числа c: ![]() ![]() Угол между прямыми ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Неопределённым интегралом от функции ![]() ![]() ![]() ![]() Комплексным числом ![]() ![]() ![]() ![]() Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, больше чем расстояние между фокусами. Вывод канонического уравнения эллипса Согласно определению эллипса ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() Тогда последние уравнение примет вид ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Прямые лежат в одной плоскости, если векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Полярная система координат ― это система координат которая задаётся точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Всякое комплексное число ![]() ![]() График дифференцируемой функции у=f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой касательной на это интервале. График функции у=f(x) называется выпуклым вверх на интервале ![]() ![]() ![]() Нахождение площади ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() придел справа ![]() или коротко ![]() Приделы функции слева и справа называются односторонними приделами. Если существует лимит ![]() ![]() Функции ![]() ![]() ![]() Алгебраическая сума конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция. Так как любая бесконечно малая функция ограничена, то произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Произведение бесконечно малой функции на число есть бесконечно малая функция. Частное от деления бесконечно малой функции от функции, имеющий отличный от нуля придел, есть бесконечно малая функция. Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если функция имеет придел, равный числу А, то её можно представить как суму числа А и бесконечно малой функции, т.е. ![]() Если функцию можно представить в виде сумы числа А и бесконечно малой функции, то число А является её приделом, т.е. если ![]() Придел сумы (разности) двух функций равен сумме (разности) их приделов ![]() Функция может иметь только один предел при ![]() Предел произведения двух функций равен произведения их приделов ![]() Постоянный множитель можно выносить за знак придела ![]() Предел степени с натуральным показателем равен той же степени придела ![]() Придел дроби равен приделу числителя делённого на придел знаменателя, если придел знаменателя не равен нулю ![]() Первый замечательный придел это придел отношения синуса к его аргументу равному единице, когда аргумент стремится к нулю ![]() ![]() ![]() Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва делятся на два вида: на точки разрыва первого рода и на точки разрыва второго рода. Точки разрыва первого рода это точки в которых существуют конечные односторонние приделы функции, а точки второго рода это точки в которых не существует один односторонний придел функции или он бесконечен. ![]() Если D =0 , то оно принимает вид ![]() Если С=0 , то оно имеет вид ![]() Если С=D=0, то оно проходит через О(0;0;0) Если A=B=0, то оно имеет вид Cz+D=0 Если A=B=D, то оно имеет вид ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Функция называется не прерывной в точке, если существует придел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке т.е. ![]() Равенство означает выполнение трёх условий Функция ![]() ![]() Функция ![]() ![]() Придел функции в точке ![]() Функция ![]() Производной функции ![]() ![]() Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна х. ― геометрический смысл производной. Дифференциалом функции ![]() и обозначается ![]() ![]() Дифференциал функции равен произведению этой функции на дифференциал независимой переменной. ![]() Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента. ![]() ![]() ![]() ![]() Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если функция ![]() ![]() ![]() Пусть функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Придел ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Главная часть приращения функции ![]() ![]() Если функция дифференцируема в точке, то она не прерывна в этой точке и имеет в ней частные производные ![]() ![]() ![]() ![]() Если функция имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой ![]() ![]() Точка называется точкой максимума функции, если существует окрестность точки ![]() ![]() ![]() ![]() Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю: ![]() Пусть в стационарной точке и некоторой её окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, тогда Если ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() |