РГР оп матану 3 вариант. Первое высшее техническое учебное заведение россии министерство науки и высшего образования российской
 Скачать 328.54 Kb.
|
|
ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Расчётно-графическая работа №1 Вариант №3 Выполнил: студент гр. ГС-20-1 _____________ Бутасов Г.Д. (подпись) Проверил: доцент кафедры _____________ Брылевская Л.И. (подпись) Санкт-Петербург 2020 Задание №1 Написать уравнение такой окружности, чтобы ее диаметр оказался отрезок прямой x + y = 4, заключенный между осями координат. Найдём точки пересечения с осями координат: при x = 0, y = 4 при y = 0, x = 4 Тогда точками пересечения прямой с осями являются точки А(4, 0) и В(0, 4), и выберем необходимый отрезок: Из графика заметим, что отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АОВ. Тогда можем найти её длину через теорему Пифагора: |АВ| = √АО 2 + ВО 2 = √(4 − 0) 2 + (0 − 4) 2 = √32 Далее найдём координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, то есть найдём координаты середины отрезка: 𝑥 0 = 4 − 0 2 = 2 𝑦 0 = 4 − 0 2 = 2 Напишем уравнение окружности: (𝑥 − 𝑥 0 ) 2 + (𝑦 − 𝑦 0 ) 2 = 𝑅 2 Где R – радиус, а x 0 и y 0 – координаты центра данной окружности. Тогда искомое уравнение будет выглядеть таким образом: ( 𝑥 − 2) 2 + ( 𝑦 − 2) 2 = ( √32 2 ) 2 Построим получившуюся окружность: Задание №2 Привести к каноническому виду уравнение 3𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 4𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 кривой второго порядка, выполнив последовательный поворот, а затем параллельный перенос координатных осей. Это уравнение имеет вид: 𝑎 11 𝑥 2 + 2𝑎 12 𝑥𝑦 + 𝑎 22 𝑦 2 + 2𝑎 13 𝑥 + 2𝑎 23 𝑦 + 𝑎 33 = 0, где 𝑎 11 = 3, 𝑎 12 = −2, 𝑎 13 = 2, 𝑎 22 = 3, 𝑎 23 = 2, 𝑎 33 = 1 Вычислим определитель ∆= | 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 12 𝑎 22 | и подставим значения: ∆= | 3 −2 −2 3 | = 5 Так как определитель не равен нулю, то найдём центр канонической системы координат. Для этого решим систему уравнений: { 𝑎 11 𝑥 0 + 𝑎 12 𝑦 0 + 𝑎 13 = 0 𝑎 12 𝑥 0 + 𝑎 22 𝑦 0 + 𝑎 23 = 0 , и подставив значения: { 3𝑥 0 − 2𝑦 0 + 2 = 0 −2𝑥 0 + 3𝑦 0 + 2 = 0 , получим, что центром новой системы является точка О(-2,-2). Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O’X’Y’: 𝑎 11 𝑥′ 2 + 2𝑎 12 𝑥′𝑦′ + 𝑎 22 𝑦′ 2 + 𝑎′ 33 = 0, где 𝑎′ 33 = 𝑎 13 𝑥 0 + 𝑎 23 𝑦 0 + 𝑎 33 или 𝑎′ 33 = 2𝑥 0 + 2𝑦 0 + 1 => 𝑎′ 33 = −7, тогда уравнение превратится в такое: 3𝑥′ 2 − 4𝑥 ′ 𝑦 ′ + 3𝑦 ′2 − 7 = 0 Теперь поворачиваем полученную систему координат на угол 𝜑: { 𝑥 ′ = 𝑥̃ cos 𝜑 − 𝑦̃ sin 𝜑 𝑦 ′ = 𝑥̃ cos 𝜑 + 𝑦̃ sin 𝜑 Находим 𝜑: cot 2𝜑 = 𝑎 11 − 𝑎 22 2𝑎 12 => cot 2𝜑 = 0 Тогда 𝜑 = 𝜋 4 sin 2𝜑 = 1 => sin 𝜑 = √2 2 cos 2𝜑 = 0 => cos 𝜑 = √2 2 Подставим коэффициенты: { 𝑥 ′ = 𝑥̃√2 2 − 𝑦̃√2 2 𝑦 ′ = 𝑥̃√2 2 + 𝑦̃√2 2 Уравнение будет таким: 3 ( 𝑥̃√2 2 − 𝑦̃√2 2 ) 2 − 4 ( 𝑥̃√2 2 − 𝑦̃√2 2 ) ( 𝑥̃√2 2 + 𝑦̃√2 2 ) + 3 ( 𝑥̃√2 2 + 𝑦̃√2 2 ) 2 − 7 = 0 И после упрощения: 𝑥̃ 2 + 5𝑦̃ 2 − 7 = 0 Данное уравнение является уравнением эллипса: 𝑥̃ 2 7 + 5𝑦̃ 2 7 = 1 Построим получившийся эллипс: |