Пирамида Пирамида

• Название: Пирамида Пирамида
• Дата: 13.03.2022
• Размер: 448.29 Kb.
• Имя файла: 1398144498486.docx
• Тип: Документы; #394551

Пирамида

Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған п жағы төбелері ортақ үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.

S A-бүйір қыры, SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі( апофемасы)

V- көлемі

S_т.б-толық бетінің ауданы

S_таб-табанының ауданы

S_б.б-бүйір бетінің ауданы

Кез келген пирамида үшін: V= S_таб H

S_т.б= S_б.б+ S_таб

Дұрыс пирамида үшін: S_б.б= PA



P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі

А-апофемасы

Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель қима жазықтық арасындағы бөлігі аталады.

Р₁, Р₂-табандарының периметрі

S_1, S₂-табандарының аудандары

V= H(S₁+S₂+ )

S _б.б= (P₁+P₂) A

№1

Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш қабырғасы 2 см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SH=3 см

AB= 2 см

SO=?

Шешуі: OH – дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

r= ;

OH=

SO²=SH²-OH²

SO= =2

Жауабы:2 см

№2. Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі?

ИО=3x, ОН=2x

S_КМР=S₁; S_ABC= S₂

S₁=9y; S₂= 25y

V_ИКМР= ИО* S₁= *3x*9у=9 ху

V_{қиық пир}= ОИ (S₁+S₂+ )= *2x (9y+25y+ )= *98 xy

= =

№3 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см –ге тең, ал табанының қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.

SH=2, AB= 4. SA= ?

АC=

A H=2

SA= =

Жауабы: см.


№4.

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см болса, көлемі неге тең?

S H=9 см , SA= 12 см , V=?

НС= =3

AC=6

AB²+BC²=252

S=AB²= 126

V= S H

V= *126 *9=378см³Жауабы:378см³
№5

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см. Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын табыңыз.


SH=80 cм,

AB=120 cм

S_KFNM-?

AC=

AH=60

SA= =20

КМ=SA:2=20 :2=10

MN=BC=120

MO=(MN-KF):2=(120-60):2=30

KO= =50

S_KFNM= 4500cм²

№6. Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі жақты бұрышы 120⁰. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.



0

AC²=AB²+BC²

1) ABC

AC= =20

2) AFC



FC=(20 . ): =20

3) FBC

BF= =

SC²=SF²+FC²

SC=x,

SF= x-

X²=( x- )²+(20 )²

X²=X²-2X +( )²+

X=

X=10

SC=10

SK²=SC²-KC²=(10 )²-10²=200

SK=10

S_б.б= P_ABCDSK= *80* 10 = 400

№7

Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6 см тең. Көлемі неге тең?



SB-биіктік,

AB=4 cм , BC= 5 cм, SB=6 cм

S_ABC= AB*BC= *4*5=10

V= S_ABC.SB= *10*6=20 cм³

№ 8 Пирамиданың табаны – бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰-қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тең бүйірлі,AC=CB=10 cм, AB=12 cм.

0, SO-?

S=r p

KO=r=S:p

p=(10+10+12):2=16

S= =48

=tg60⁰

r=КО=48:16=3

SO=3 cм


№9 Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.

A H= r- ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы

AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы.

SH-пирамиданың биіктігі.

R=

AS= = =

AS=L

L²=2RH

R= =6,35

№10 Пирамиданың табаны –ромб, оның сүйір бұрышы 60⁰,қабырғасы 14 см. Пирамида табанындағы екі жақты бұрыштары 45⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

ABCD-ромб, 0 0, V-?

S _ромб=a²sin 60⁰=14² * =98

AHD

DH = sin60⁰

AD

DH=14 * =7

OK=DH:2=

SO=OK

SOK, 0.

0

V= S_ромб SO= *98 * =343 cм ²

№11 Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңыз.

S A=3 cм, AB=4 cм, V-?

AC= =4

HC=AC:2=4 :2=2

SH= =1

V= AB² SH= *16*1=5 cм³
№12 Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см. Пирамиданың көлемі неге тең?

SA=5 cм, SH=4 cм.

V -?

HC= =3

AC=2HC=6

AB²+BC²=AC²

AB²=6:2=3

V= AB²SH= *3*4=4 cм³

№13 Берілген нүктеден шаршының барлық төбелеріне дейінгі қашықтық 4 см-ге тең. Ал шаршының қабырғасы 2 см-ге тең болса, берілген нүктеден шаршының жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SA=SB=SC=SD=4 cм,

AB=2, SH-?

AB²+BC²=AC²

AC= =2

HC=

SH= = cм.

№14 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы 2 см-ге,

табанының қабырғасы 2 см-ге тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_б.б=2 cм,

AB=2cм.

V-?

S_б.б= P_ABCD.SM,

SM- бүйір жағының апофемасы

SM=2S_ABCD:P=4 :8=

SH=

V= *4* =2 cм³

№15

Т өртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрыш , диогональдық қимасының ауданы S. Пирамиданың көлемі неге тең?



S_ASC=S, V-?

=ctg

SH=h

AH=hctg

AC=2hctg

AB²+BC²=AC²

2AB²=(2hctg )²

AB²=2h²ctg²

S_ASC= AC* SH= *2hctg *h=h²ctg

h=

AB=

S_ABCD=( )²=2Sctg V= 2Sctg =

№16 Пирамиданың табаны квадрат. Биіктігі табанының бір төбесі арқылы өтеді. Егер табанының қабырғасы 20 дм, биіктігі 21 дм болса, онда пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, АB=20 дм,SD=21 дм. S_б.б-?

S_ASD= AD SD= *20*21=210

S_ABS= AB AS= *20*29=290

S_б.б=2 (S_ASD+ S_ABS)=(210+290)*2=1000 дм²=10м²


№17 Жазықтықта тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузасы 12 см. Кеңістікте берілген бір нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық 10 см-ден. Үшбұрыш жазықтығынан кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш, АВ=12 cм,

SA=10cм

SH-?

AH=R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R= 6

SH=

№18 Пирамиданың табаны диогональдары 4 см және 2 см арасындағы бұрышы 30⁰-қа тең параллелограмм. Пирамиданың биіктігі табанының кіші қабырғасына тең болса, онда көлемі неге тең?

A BCD-параллелограмм, AC=4cм, BD=2 cм, 0

SH=AB, V-?

S= AC* BD *sin30⁰= *4*2 * =2 cм²

AB=

V= *2 *1= cм³

№19

ABCD тік төртбұрышының D төбесі арқылы тік төртбұрыш жазықтығына перпендикуляр DS түзуі жүргізілген. S нүктесінен тік төртбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтар

12 м, 14 м , 18 м. DS кесіндісінің ұзындығы неге тең?

S A=12 м, SB=14 м, SC=18м

SD=?

AB=x, BC=y, SD=z

X²+z²=144

Y²+z²=196

X²+y²+z²=324

144-z²+196-z²+z²=324

Z²=16

Z=4м

Жауабы: SD=4м

№20

Үшбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығы см-ге тең. Бүйір қыры табан жазықтығымен 60⁰ бұрыш жасаса, онда пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз.

S A= см

0

AO=R- пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы

=cos60⁰

AH= .

SH= =

SA²=2R*SH

R= = см

№21 Дұрыс тетраэдрдің биіктігі h-қа тең. Толық бетінің ауданын табыңыз.

AB=x

SH=h

R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R =

AS²=SH²+AH²

X²=( )²+h²

X²- =h²

X²= h² S_ABC=

S_т.б=4

№22 Көлемі 4 см³, ал табанының қабырғасы 2 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығын табыңыз.

V=4cм³

AB=2 см

S_ABCD=2²=4см²

V= S_ABCD*SH

SH=3V: S_ABCD

SH=12:4=3

АС=2 , HC=

SC=

№23 Пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең шаршы. Іргелес екі бүйір жағы табынына перпендикуляр, ал басқа екі бүйір жағы табанымен 60⁰ бұрыш жасайды. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.



ABCB-шаршы, AB=a

0

S_т.б=S_таб+2(S_ASD+S_SAB)

S_таб=a²

SD= tg60⁰

AD

SA= a

S_ASB= AS*AB= *a*2a=a²

S_SAD= AD*SA= *a* a= a²

S_т.б=a²+2(a²+ a²)²=a²(3+ )

№24 Пирамиданың табанына параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай бөледі. Қима ауданы 2 м² болса, табан ауданы неге тең?

SH₁=2SH S₁=2 м²



=( )²



S₁=8 м²

№25 MABCD дұрыс төртбұрышты пирамиданың МО биіктігі 7 см-ге тең, ал бүйір қыры 14 см- ге тең болса, онда скаляр көбейтіндісін табыңыз.



MO=7, MA=14.

AO²= MA²-MO²

AO=

M(0;0;7), O(0;0;0), C(-7 ;0;0)

MO(0;0;7)

MC(-7 ;0;7)

=0+0+49=49

№26

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең, бүйір қырындағы екі жақты бұрыштары 120⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

S _таб=

ABC:

CB²=CE² +EB²-2CE *CB cos120⁰

CE=x

a²=3x²

x=

SAC:

AE²=AC²-CE²

AE= =a

AS=CS=y

ES²+EC²=SC²

ES=AS-ES
(y- a )²+ =y²

y²-2ax +2 + = y²

y=

AS=

SAH: AH=

SH²=AS²-AH²

SH=

V= S_таб SH= * * =

№27

Пирамиданың табаны тік бұрышты үшбұрыш, 30⁰ төбесіне қарсы жатқан катеті 30 см. Бүйір қырлары табан жазықтығына 60⁰бұрыш жасаса, пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш

0, BC=30, 0

SH=?

AB=60

AC=

R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R=AH

R= =30

tg60⁰

SH=30

№28

SABC пирамидасының SB қыры биіктігі болады. BС=18 см, AB= 12 см ,

SB=5 см 0болса, пирамиданың төбесінен табанының медианаларының қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

B С=18 см, AB= 12 см ,SB=5 см 0 SO-?

AC=

m- ABC-ның АС-ға жүргізілген медианасы

m=

BO- АВС-ның медианаларының қиылысу нүктесі

BO= =4

SO²=SB²+BO²

SO=
№29 П ирамиданың табаны-параллелограмм, оның қабырғасы 3 см және 7 см, ал диогональдарының бірі 6 см. Пирамиданың биіктігі диогональдарының қиылысу нүктесінен өтеді, ол 4 см-ге тең. Бүйір қырын табыңыз.

AB=3, BC=7, AC=6, SH=4

SA-?

AC²+BD²=2(AB²+BC²)

BD²=2(9+49)-36

BD²=80

BD=4

BH=BD:2=2

SB²=SH²+BH²

SB²=16+20=36

SB=6

SA²=9+16=25

SA=5

№30 М нүктесі тең түйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB= 12 см , DC= 8 см, AD=6см болса, М нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

R_ABCD=R_ABD



AK=(AB-DC):2=(12-8):2=2

DK²=AD²-AK²

DK²=36-4=32

DK=4

DB²=DK²+KB²
KB=AB-AK=12-2=10

DB²=32+100=132

DB=2

P_ABD=(12+2 +6):2=9+

S_ABD=

R_ABD=

MO=

№31 Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанының диогоналі 4 см, бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰ жасайды. Пирамидаға іштей сызылған сфераның бетінің ауданын табыңыз.

AC=4

0

r _cфера-?

AB²+BC²=AC²

2 AB²=96

AB²=48

AB=4

OH=2

0

r_cфера=r tg30⁰=2 * =2
S=4 r_cфера²=4 *2²=16

№32 Үшбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 30⁰-қа тең. Пирамидаға іштей сызылған шардың радиусы 1 см-ге тең болса, табан қабырғасының ұзындығын табыңыз.

< OSK=30⁰

r_ABC=

SK=2OK=2 =

SO=

r_cфера=

a=6

AB=3

№33 Пирамиданың табанында катеттері 6 см және 8 см болып келетін тік бұрышты үшбұрыш жатады. Пирамиданың табанындағы барлық екі жақты бұрыштар 60⁰-қа тең. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

A C=6, BC=8, AC=10

OK=(6+8-10)/2=2

0

SK=2OK=4

SO²=SK²-OK²

SO²=16-4=12

SO=2

№34 Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр және олардың аудандары P мен Q –ға тең, ал ортақ қырының ұзындығы а-ға тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_ASB=P, S_BSC=Q, SB=a V-?

AB=x, BC=y

S _ASB= AB SB

x=2P:a

S_BSC= BC* SB

y=2Q:a

S_ABC= AB* BC=

V=

№35 МАВС пирамидасының барлық қырлары 6 см-ге тең, ВМ кесіндісінің ортасы К және А нүктелері арқылы және ВС қырына параллель өтетін қиманың периметрін табыңыз.

AK²=AB²-BK²

AK²=36-9=27

AK=3

KN=3

AN=3

P=3+3 +3 =3(2 +1)
№36

Д ұрыс төртбұрышты пирамиданың диогональдық қимасы табанымен тең шамалы. Егер бүйір қыры 5 см-ге тең болса, пирамиданың табанының ауданын табыңыз.

S_ASC=S_таб

AS=5 , S_таб-?

SH=h

AB=x

AH²=AS²-SH²=25-h²

AC=

AC²=2AB²

AB²=2 (25-h²)

S_ASC= AC *SH S_таб= AB²

h=2 (25-h²)

h=

h²=4(25-h²)

5h²=100

h²=20

h=2

AB²=2(25-20)=10

S_таб=10

№37 Т абанының қабырғалары 3 м және 2 м болатын, ал бүйір бетінің ауданы табандарының қосындысымен тең шамалы болатын дұрыс қиық пирамиданың көлемін табыңыз.

AB=AC=BC=3

MN=NK=MK=2

S_б.б= S_ABC+ S_MNK

V-?

R_ABC=

S_таб=

S_ABC=
S_MNK=

S_б.б= (P_ABC+P_MNK) m, m-бүйір жағының апофемасы

S_б.б=



m=

R_ABC-R_MNK=

H_пир=

V=

№38

Табандарының ауданы 16 см² және 4см², ал биіктігі 3 см-гетең қиық пирамиданың көлемін табыңыз.

S_ABC=16 см²

S_MNK=4см²

H=3 см

V-?

V= 3 (16+4+ )=28 см³

№39 Үшбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 10 м-ге тең, ал табандарының қабырғалары 27 м, 29 м, 52 м-ге тең және екінші табанының периметрі 72 м-ге тең.Пирамиданың көлемін табыңыз.

H =10 м, AC=27, BC=29, AB=52

P_MNK=72, V-?

P_ABC=24+29+52=108

S_ABC=



S_MNK=120

V= *10 *(270+120+ )=1900м²

ІІІ бөлім Параллелепипед.