По заданному варианту выборочной совокупности независимых измерений случайной величины
![]()
|
ЗаданиеПо заданному варианту выборочной совокупности независимых измерений случайной величины Х (СВ Х) (предварительно удалив резко выделяющиеся наблюдения): Составить интервальный статистический ряд распределения относительных частот, построить гистограмму и полигон относительных частот. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса. Исходя из общих представлений о механизме образования СВ Х, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и вычисленным числовым характеристикам, выдвинуть гипотезу и виде закона распределения СВ Х; записать плотность распределения вероятностей и функцию распределения для выдвинутого гипотетического закона, заменяя параметры закона вычисленными для них оценками. Вычислить интервальные оценки для математического ожидания и среднеквадратического отклонения, соответствующие доверительным вероятностям ![]() ![]() Исходные данные В таблице приведены результаты испытания крепости в граммах нитей.
Решение: Нанесем данные на координатную плоскость: ![]() Из рисунка видно, что резко выделяющиеся наблюдения отсутствуют. Изучение непрерывных случайных величин начинается с группировки статистического материала, т. е. разбиения интервала наблюдаемых значений СВ Х на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания наблюдаемых значений СВ Х в частичные интервалы. Количество находим по формуле Стэрджесса: ![]() Разобьем весь диапазон значений на 7 интервалов (разрядов). Длину частичного интервала определим по формуле: ![]() Шкала интервалов и группировка исходных статистических данных сведены в таблицу. В результате получили статистический ряд распределения частот ![]()
Для получения статистического ряда частостей разделим частоты mi на объем выборки n. В результате получим интервальный статистический ряд распределений частостей ![]()
Для построения гистограммы частостей на оси Ox откладываются частичные интервалы, на каждом из них строится прямоугольник, площадь которого равна частости данного частичного интервала. Если частости отнести к серединам частичных интервалов, то полученная замкнутая линия образует полигон частостей. На рисунке 1 изображена гистограмма и полигон частостей. ![]() Рисунок 1 Значения эмпирической функции распределения выписаны в последней строке статистического ряда распределения частостей. Запишем значения эмпирической функции распределения в аналитическом виде: ![]() График эмпирической функции изображен на рисунке 2. ![]() Рисунок 2 В тех случаях, когда наблюдаемые значения случайной величины задаются многозначными числами и объем выборки достаточно велик ![]() ![]()
Следовательно: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для предварительного выбора закона распределения вычислим вначале средние квадратические ошибки определения асимметрии ![]() ![]() Критерием «нормальности» распределения крепости нити является равенство нулю асимметрии и эксцесса. Из приведенных расчетов видно, что выборочные коэффициенты асимметрии ![]() Можно предположить, прочность бетона на сжатие (СВ Х) изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе. Поэтому, исходя из «технологии» образования СВ Х, т. е. механизма образования отклонений прочности от некоторого номинального значения, можно предположить, что распределение прочности бетона на сжатие является нормальным. Плотность вероятности нормального распределения имеет вид ![]() Найдём точечные оценки параметров aи σ нормального распределения методом моментов: ![]() ![]() Следовательно, плотность вероятности предполагаемого нормального распределения имеет вид: ![]() Функция распределения предполагаемого нормального распределения имеет вид ![]() Используя нормированную функцию Лапласа ![]() ![]() Проверку гипотезы о нормальном распределении СВ Х проведем с помощью критерия согласия ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Далее вычисляют вероятности попадания СВ Х, имеющей нормальное распределение, с параметрами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() После этого вычисляют теоретические (модельные) частоты нормального распределения ![]() ![]() ![]() Затем по таблицам квантилей распределения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() В противном случае, т. е. если ![]() Вычисления, необходимые для определения наблюдаемого значения выборочной статистики ![]() Теоретическая (ожидаемая) частота равна ![]() ![]() Вероятность попадания в i-й интервал: ![]()
В результате вычислений получили ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() Построим нормальную кривую. Для этого из середин частичных интервалов восстании перпендикуляры высотой ![]() ![]() Рисунок 3 Найдем интервальные оценки параметров нормального распределения. Для вычисления доверительного интервала накрывающего математическое ожидание (СВ Х), найдем по таблицам квантилей распределения Стьюдента по заданной доверительной вероятности ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим предельную погрешность интервального оценивания: ![]() Искомый доверительный интервал для математического ожидания: ![]() ![]() ![]() Находим интервальную оценку при доверительной вероятности 0,99: Для вычисления доверительного интервала накрывающего математическое ожидание (СВ Х), найдем по таблицам квантилей распределения Стьюдента по заданной доверительной вероятности ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим предельную погрешность интервального оценивания: ![]() Искомый доверительный интервал для математического ожидания: ![]() ![]() ![]() Смысл полученного результата: если будет произведено достаточно большое число выборок по 100 исследований крепости нити, то в 99% из них доверительный интервал накроет математическое ожидание и только в 1% случаев математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала. Найдём доверительный интервал, накрывающий дисперсию при доверительной вероятности 0,95. Для количества степеней свободы ![]() ![]() Случайная ошибка дисперсии нижней границы: ![]() Вероятность выхода за верхнюю границу равна ![]() Для количества степеней свободы ![]() ![]() Случайная ошибка дисперсии верхней границы: ![]() Таким образом, интервал (636,3;1110,71) покрывает параметр s2 с надежностью ![]() Найдём доверительный интервал, накрывающий дисперсию при доверительной вероятности 0,99. Для количества степеней свободы ![]() ![]() Случайная ошибка дисперсии нижней границы: ![]() Вероятность выхода за верхнюю границу равна ![]() Для количества степеней свободы ![]() ![]() Случайная ошибка дисперсии верхней границы: ![]() Таким образом, интервал (588,14;1224,45) покрывает параметр s2 с надежностью ![]() |