По заданному варианту выборочной совокупности независимых измерений случайной величины

• Название: По заданному варианту выборочной совокупности независимых измерений случайной величины
• Дата: 23.11.2021
• Размер: 230.48 Kb.
• Имя файла: 2792182.docx
• Тип: Документы; #279827

Задание

По заданному варианту выборочной совокупности независимых измерений случайной величины Х (СВ Х) (предварительно удалив резко выделяющиеся наблюдения):

1. 
   Составить интервальный статистический ряд распределения относительных частот, построить гистограмму и полигон относительных частот.
   
2. 
   Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
   
3. 
   Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса.
   
4. 
   Исходя из общих представлений о механизме образования СВ Х, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и вычисленным числовым характеристикам, выдвинуть гипотезу и виде закона распределения СВ Х; записать плотность распределения вероятностей и функцию распределения для выдвинутого гипотетического закона, заменяя параметры закона вычисленными для них оценками.
   
5. 
   Вычислить интервальные оценки для математического ожидания и среднеквадратического отклонения, соответствующие доверительным вероятностям и .
   

Исходные данные

В таблице приведены результаты испытания крепости в граммах нитей.

325	341	285	302	275	284	281	295	220	303	330	286
248	286	247	347	307	286	285	319	299	293	310	331
261	304	337	305	318	270	285	317	247	301	277	281
263	280	333	359	325	318	280	271	318	324	287	272
278	337	348	305	265	287	328	317	232	255	308	275
270	301	317	325	305	333	268	319	274	339	324	355
291	350	307	290	308	259	315	273	308	330	315	273
293	272	292	321	291	297	380	312	325	296	263	305
328	307	295	271

Решение:

Нанесем данные на координатную плоскость:



Из рисунка видно, что резко выделяющиеся наблюдения отсутствуют.

Изучение непрерывных случайных величин начинается с группировки статистического материала, т. е. разбиения интервала наблюдаемых значений СВ Х на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания наблюдаемых значений СВ Х в частичные интервалы. Количество находим по формуле Стэрджесса:



Разобьем весь диапазон значений на 7 интервалов (разрядов). Длину частичного интервала определим по формуле:

;

Шкала интервалов и группировка исходных статистических данных сведены в таблицу. В результате получили статистический ряд распределения частот

Интервалы наблюдаемых значений СВ Х, грамм
220 − 243	2
243 − 266	9
266 − 289	27
289 − 312	27
312 − 335	25
335 − 358	8
358 − 381	2

Для получения статистического ряда частостей разделим частоты m_i на объем выборки n. В результате получим интервальный статистический ряд распределений частостей :

Интервалы наблюдаемых значений СВ Х, грамм		Частости	(накопленные частости)
220 − 243	2	0,02	0,02
243 − 266	9	0,09	0,11
266 − 289	27	0,27	0,38
289 − 312	27	0,27	0,65
312 − 335	25	0,25	0,9
335 − 358	8	0,08	0,98
358 − 381	2	0,02	1

Для построения гистограммы частостей на оси Ox откладываются частичные интервалы, на каждом из них строится прямоугольник, площадь которого равна частости данного частичного интервала. Если частости отнести к серединам частичных интервалов, то полученная замкнутая линия образует полигон частостей. На рисунке 1 изображена гистограмма и полигон частостей.



Рисунок 1

Значения эмпирической функции распределения выписаны в последней строке статистического ряда распределения частостей. Запишем значения эмпирической функции распределения в аналитическом виде:


График эмпирической функции изображен на рисунке 2.



Рисунок 2

В тех случаях, когда наблюдаемые значения случайной величины задаются многозначными числами и объем выборки достаточно велик , вначале целесообразно найти среднюю арифметическую по формуле а за тем перейти к вычислению центральных моментов порядка k (k = 2, 3, 4):

Интервалы	Середины интервалов
220 − 243	231,5	2	9269,773	-631086,13	42964343,88
243 − 266	254,5	9	18289,858	-824506,78	37168765,67
266 − 289	277,5	27	13163,213	-290643,74	6417413,75
289 − 312	300,5	27	22,853	21,02	19,34
312 − 335	323,5	25	14304,16	342155,51	8184359,73
335 − 358	346,5	8	17611,891	826349,94	38772338,96
358 − 381	369,5	2	9777,613	683650,69	47800856,03
Итого		100	687,61	82439,36	105940,50

Следовательно:











Для предварительного выбора закона распределения вычислим вначале средние квадратические ошибки определения асимметрии



Критерием «нормальности» распределения крепости нити является равенство нулю асимметрии и эксцесса. Из приведенных расчетов видно, что выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса Е отличаются от нуля не более чем на удвоенные средние квадратические ошибки их определения, что соответствует нормальному распределению. Вид полигона и гистограммы частостей также напоминает нормальную кривую (кривую Гаусса).

Можно предположить, прочность бетона на сжатие (СВ Х) изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе. Поэтому, исходя из «технологии» образования СВ Х, т. е. механизма образования отклонений прочности от некоторого номинального значения, можно предположить, что распределение прочности бетона на сжатие является нормальным.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид



Найдём точечные оценки параметров aи σ нормального распределения методом моментов:





Следовательно, плотность вероятности предполагаемого нормального распределения имеет вид:



Функция распределения предполагаемого нормального распределения имеет вид



Используя нормированную функцию Лапласа , функцию нормального распределения можно записать в виде



Проверку гипотезы о нормальном распределении СВ Х проведем с помощью критерия согласия для этого интервалы наблюдаемых значений нормируют, т.е. выражают их в единицах среднего квадратического отклонения причем наименьшее значение полагают равным , наибольшее .

Далее вычисляют вероятности попадания СВ Х, имеющей нормальное распределение, с параметрами , в частичные интервалы по формуле:





После этого вычисляют теоретические (модельные) частоты нормального распределения и наблюдаемое значение критерия



Затем по таблицам квантилей распределения по уровню математической значимости и числу степеней свободы‚ ( - число интервалов; – число параметров предполагаемого распределения СВ Х) находят критическое значение .

Если , то считают, что нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении значений концентрации примесей в органическом веществе.

В противном случае, т. е. если , считается, что гипотеза нормального распределения значений концентрации примесей в органическом веществе согласуется с экспериментальными данными.

Вычисления, необходимые для определения наблюдаемого значения выборочной статистики приведем в таблице.

Теоретическая (ожидаемая) частота равна , где
Вероятность попадания в i-й интервал:

Интервал
220 - 243	2	-2,7577	-1,9607	-0,4971	-0,4756	0,0215	2,15	0,0104
243 - 266	9	-1,9607	-1,1637	-0,4756	-0,379	0,0966	9,66	0,045
266 - 289	27	-1,1637	-0,3666	-0,379	-0,1443	0,2347	23,47	0,5309
289 - 312	27	-0,3666	0,4304	-0,1443	0,17	0,3143	31,43	0,6244
312 - 335	25	0,4304	1,2274	0,17	0,3907	0,2207	22,07	0,3889
335 - 358	8	1,2274	2,0245	0,3907	0,4793	0,0886	8,86	0,0834
358 - 381	2	2,0245	2,8215	0,4793	0,4977	0,0184	1,84	0,0139
	100							1,6969

В результате вычислений получили . Найдем по таблице квантилей распределения по уровню значимости и числу степеней критическое значение .

Так как то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении крепости нити.

Построим нормальную кривую. Для этого из середин частичных интервалов восстании перпендикуляры высотой (p_i – вероятность попадания СВ Х в частичный интервал; h— длина интервала). На рисунке 3 концы этих перпендикуляров отмечены кружками. Полученные точки соединены плавной кривой. Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает, что нормальная кривая хорошо сглаживает гистограмму относительных частот.



Рисунок 3

Найдем интервальные оценки параметров нормального распределения.

Для вычисления доверительного интервала накрывающего математическое ожидание (СВ Х), найдем по таблицам квантилей распределения Стьюдента по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы квантиль .

Вычислим предельную погрешность интервального оценивания:



Искомый доверительный интервал для математического ожидания:







Находим интервальную оценку при доверительной вероятности 0,99:

Для вычисления доверительного интервала накрывающего математическое ожидание (СВ Х), найдем по таблицам квантилей распределения Стьюдента по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы квантиль .

Вычислим предельную погрешность интервального оценивания:



Искомый доверительный интервал для математического ожидания:







Смысл полученного результата: если будет произведено достаточно большое число выборок по 100 исследований крепости нити, то в 99% из них доверительный интервал накроет математическое ожидание и только в 1% случаев математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.

Найдём доверительный интервал, накрывающий дисперсию при доверительной вероятности 0,95. Для количества степеней свободы по таблице распределения χ² находим:

Случайная ошибка дисперсии нижней границы:



Вероятность выхода за верхнюю границу равна .

Для количества степеней свободы , по таблице распределения χ² находим:
.

Случайная ошибка дисперсии верхней границы:



Таким образом, интервал (636,3;1110,71) покрывает параметр s² с надежностью .

Найдём доверительный интервал, накрывающий дисперсию при доверительной вероятности 0,99. Для количества степеней свободы по таблице распределения χ² находим:

Случайная ошибка дисперсии нижней границы:



Вероятность выхода за верхнюю границу равна .

Для количества степеней свободы , по таблице распределения χ² находим:
.

Случайная ошибка дисперсии верхней границы:



Таким образом, интервал (588,14;1224,45) покрывает параметр s² с надежностью .