конспект неравенства. опорный конспект по теме показательные и логарифмические уравнен. Показательные ( 0 1) (логарифмирование уравнения) , log 2
 Скачать 311.37 Kb.
|
|
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства I. Базовые уравнения Показательные (𝒂 > 0; 𝑎 ≠ 1) (логарифмирование уравнения) 1. 𝑎 𝒙 = 𝑏, ⟺ 𝑥 = log 𝑎 𝑏 2. 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) Логарифмические (𝒂 > 0; 𝑎 ≠ 1) (потенцирование уравнения) 1. log 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑎 𝑏 2. log 𝑎 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) при условии 𝒇(𝒙) > 0 и 𝒈(𝒙) > 0 переход к системе { 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) > 0 или { 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0 II. Виды уравнений, основная идея и способ решения 1. Метод замены переменной Идея решения:свести трансцендентное уравнение к алгебраическому уравнению. 2. Однородное уравнение относительно 𝒂 𝒕 и 𝒃 𝒕 Идея решения:свести к уравнению относительно степени ( 𝑎 𝑏 ) 𝑡 3. Применение свойств степени и логарифма Идея решения:свести к базовому уравнению Внимание! ➢ При решении логарифмического уравнения делают проверку или учитывают ОДЗ. ➢ Нельзя применять формулы, сужающие ОДЗ, - возможна потеря корней III. Графики показательной и логарифмической функций Функции возрастающие Функции убывающие Графическое решение базовых уравнений Уравнение 𝑎 𝑥 = 𝑏 имеет не более 1 корня в силу монотонности и ограниченности снизу функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 : 𝐸(𝑎 𝑥 ) = (0; +∞). Уравнение log 𝑎 𝑥 = 𝑏 имеет всегда 1 корень в силу монотонности и неограниченности функции у = log 𝑎 𝑥: 𝐸(log 𝑎 𝑥) = 𝑅 IV.Решение неравенств Если 𝒂 > 1, то 𝑎 𝑓(𝑥) > < 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) > < 𝑔(𝑥) log 𝑎 𝑓(𝑥) > < log 𝑎 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) > < 𝑔(𝑥) Если 𝟎 < 𝑎 < 1, то 𝑎 𝑓(𝑥) > < 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) < > 𝑔(𝑥) log 𝑎 𝑓(𝑥) > < log 𝑎 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) < > 𝑔(𝑥) Внимание! ➢ При решении показательного неравенства и логарифмического неравенства учитываем возрастание функции (при a> 1) или убывание (при 0 < 𝑎 < 1). ➢ При решении логарифмического неравенства необходимо учитывать ОДЗ. Алгоритм решения при 0 < 𝑎 < 1 log 𝑎 𝑓(𝑥) > log 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ { 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥). Пример исполнения алгоритма log 0,6 (𝑥 2 − 3) > log 0.6 2x ⇔ { x 2 − 3 > 0; 2𝑥 > 0 x 2 − 3 < 2𝑥 Алгоритм решения при 𝑎 > 1 log 𝑎 𝑓(𝑥) > log 𝑎 𝑔(𝑥) ⇔ { 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0. Пример исполнения алгоритма log 6 (𝑥 2 − 3) > log 6 2x ⇔ { x 2 − 3 > 0; 2𝑥 > 0 x 2 − 3 > 2𝑥 |