Ррппрр. Лекция 5. Поверхности Точки и линии на поверхностях
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
Поверхности Точки и линии на поверхностях Точки, принадлежащие гранным поверхностям, определяются по условию принадлежности точки плоскости, так как грани поверхности представляют собой плоскости. Прямая призма является проецирующей поверхностью. Поэтому все точки, принадлежащие ее боковой поверхности, расположены на очерке горизонтальной проекции. Данные проекции точек будут невидимы (рис. 5.8). Точки 1 и 2 принадлежат боковым граням призмы, а точка 3 – верхнему основанию. Для построения проекций точек на профильной проекции необходимо измерить расстояние от базовой плоскости (Ф1) до горизонтальных проекций точек и отложить его от базовой плоскости (Ф3) вправо на профильной проекции.  Рис. 5.8. Точки на поверхности призмы На рис. 5.9 изображена трехгранная пирамида. Точка 1 задана на фронтальной проекции пирамиды и принадлежит боковому ребру. Положение проекции точки определяется по линии связи на горизонтальной проекции этого ребра. Точка 2 расположена на основании пирамиды, и ее горизонтальная проекция строится также по линии связи. Так как точка 2 является видимой на фронтальной проекции, следовательно, она расположена на ближней стороне основания. Точка 3 находится внутри грани. Для того чтобы построить горизонтальную проекцию, необходимо провести вспомогательную прямую (образующую) через вершину пирамиды и фронтальную проекцию точки 3, и построить сначала горизонтальную проекцию этой прямой, а затем по линии связи на ней найти горизонтальную проекцию точку 3. Такой способ построения точек носит название способ образующей.  Рис. 5.9. Точки на поверхности пирамиды Для того чтобы определить горизонтальную проекцию точки 4 необходимо ввести вспомогательную секущую плоскость параллельно основанию пирамиды. Это горизонтальная плоскость уровня. Она пересекает пирамиду по треугольнику подобному основанию. Построив его на горизонтальной проекции, найдем горизонтальную проекцию точки 4. Этот способ называется способом вспомогательных секущих плоскостей. Для построения проекций точек на профильной плоскости проекции необходимо измерить расстояние от проекции точек до базовой плоскости (Ф1) на горизонтальной плоскости проекции, а затем провести линии связи из фронтальной проекции в профильную и отложить от базовой плоскости (Ф3) данное расстояние (рис. 5.9). Прямой цилиндр аналогичен прямой призме. Поэтому точки, принадлежащие боковой поверхности прямого цилиндра будут расположены на очерке его горизонтальной проекции. На рис. 5.10 показано построение проекции точек А, В и С. Точка А на фронтальной проекции видима, поэтому на горизонтальной проекции принадлежит ближней половине окружности. Для построения точка А на профильной проекции необходимо измерить расстояние от базовой плоскости (Ф1) до горизонтальной проекции точки, затем провести линию связи из фронтальной проекции и отложить от базовой плоскости (Ф3) вправо данное расстояние (рис. 5.10). Точка В расположена на верхнем основании цилиндра, так как на горизонтальной проекции она видима. Профильная проекция точки В строится аналогично проекции точки А. Точка С принадлежит правой очерковой образующей цилиндра. Горизонтальную проекцию точки С строим по линии связи на очерке окружности, а профильная проекция расположена на оси цилиндра. Профильная проекция точки С невидима, так как точка расположена на правой половине окружности.  Рис. 5.10. Точки на поверхности цилиндра Проекции точек, расположенных на боковой поверхности конуса, изображены на рис. 5.11. Точка 1 расположена на левой очерковой образующей конуса, следовательно ее горизонтальную проекцию определяем по линии связи на пересечении с осевой линией. Профильную проекцию точки 1 также строим по линии связи на соответствующей образующей. На профильной проекции точка 1 видима, так как принадлежит левой половине конуса. Точка 2 расположена на основании конуса и она видима на фронтальной проекции, поэтому находим ее горизонтальную проекцию по линии связи на ближней половине окружности основания. Для построения профильной проекции точки 2 необходимо измерить расстояние от оси конуса до горизонтальной проекции точки и отложить его на профильной проекции от оси вправо. Точка 3 построена способом образующей. Для этого через вершину и заданную проекцию точки проводим вспомогательную линию (образующую) до пересечения с основанием конуса. Строим горизонтальную проекцию этой образующей и на ней находим искомую проекцию точки. Профильную проекцию точки 3 находим замеряя расстояние от базовой плоскости Ф1 до 31 и откладывая его от Ф3 по горизонтальной линии связи, проведенной из 32. Проекции точки 4 построена способом вспомогательных секущих плоскостей. Через фронтальную проекцию точки 4 проводится горизонтальная плоскость уровня параллельно основанию конуса. В сечении этой плоскостью образуется окружность, радиус которой равен расстоянию от оси конуса до очерка. Затем на горизонтальной проекции проводится окружность данного радиуса и на ней строится горизонтальная проекция точка 4. На фронтальной проекции точка 4 невидима, поэтому на горизонтальной проекции она расположена на дальней половине конуса. Профильная проекция точки 4 строится по линии связи на левой очерковой образующей конуса.  Рис. 5.11. Точки на поверхности конуса На рис. 5.12 представлен пример построения проекций точек на поверхности сферы. Для построения точек, принадлежащих поверхности сферы, необходимо ввести вспомогательные секущие плоскости уровня. Точки А, В и С расположены на одной линии, поэтому для построения их горизонтальных проекций целесообразно выбрать в качестве вспомогательной секущей плоскости горизонтальную плоскость уровня. Она рассекает сферу по окружности, радиус которой равен расстоянию от оси сферы до очерка ее фронтальной проекции. На рис. 5.12 этот радиус обозначен буквой R. Горизонтальные проекции точек расположены на окружности соответствующего радиуса. Точка А принадлежит очерку фронтальной проекции, поэтому на горизонтальной и профильной плоскости она расположена на осевой линии. Точка В на фронтальной проекции находится на оси, следовательно ее профильная проекция расположена на очерке сферы. Для построения профильной проекции точки С необходимо измерить расстояние от базовой плоскости (Ф1) до горизонтальной проекции точки С, и затем отложить его на профильной проекции от базовой плоскости (Ф3) вправо.  Рис. 5.12.Точки на поверхности сферы Гранные поверхности и их свойства. Сечение гранных поверхностей плоскостью частного положения Гранные поверхности: призма, пирамида Гранные поверхности представляют собой совокупность пересекающихся плоскостей – граней. Линии пересечения граней – ребра. Точки пересечения ребер – вершины. Наиболее широко в технике и архитектуре используются поверхности призмы и пирамиды. Призма – геометрическое тело, образующееся при ограничении призматической поверхности двумя параллельными плоскостями (основаниями). В основаниях призмы расположены многоугольники, боковые грани – параллелограммы. Если плоскости основания перпендикулярны боковым граням, то призма называется прямой, если нет то наклонной. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной. На рис. 6.1 изображены прямая и наклонная шестигранные призмы.  Рис. 6.1. Изображения призмы Пирамида – геометрическое тело, образованное при ограничении пирамидальной поверхности плоскостью. В основании пирамиды расположен многоугольник. Боковые ребра пересекаются в одной точке, которая называется вершиной пирамиды. Боковые грани представляют собой треугольники. Пирамида будет называться правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины, попадает в центр основания. На рис. 6.2 приведены примеры четырехгранной наклонной пирамиды и правильной шестигранной пирамиды.  Рис. 6.2. Изображение пирамиды 6.2. Построение сечений призмы В сечении гранных поверхностей образуются многоугольники, число вершин которых определяется по числу точек пересечения секущей плоскости с ребрами и гранями поверхности. Рассмотрим следующую задачу: построить три проекции сечения призмы плоскостью и определить натуральную величину сечения. На рис. 6.3. представлена треугольная прямая призма, которая рассекается фронтально-проецирующей плоскостью . Определим опорные точки - точки пересечения секущей плоскости с ребрами и гранями призмы. При пересечении призмы с плоскостью в данном случае получается четырехугольник, вершинами которого являются точки пересечения плоскости с ребрами А, В и верхним основанием. Проекции точек на горизонтальной и профильной проекциях строим по принадлежности ребрам и сторонам верхнего основания. Точка 1 расположена на ребре А, точка 2 – на ребре В, точки 3 и 4 принадлежат верхнему основанию. Находим недостающие проекции точек, используя свойства поверхности и методы нахождения точек на них. Соединяем полученные точки между собой последовательно и с учетом видимости (рис.6.3). Далее определяем натуральную величину фигуры сечения способом вращения. Ось вращения – фронтально-проецирующая прямая проходит через точку 1. Плоскость ∑ поворачивается вокруг оси i до положения параллельного горизонтальной плоскости проекций. Из полученных вращением проекций точек 2 и 3 проводятся вниз линии связи, а из горизонтальных проекций этих точек – линии перпендикулярные оси вращения. Точка 1 остается на своем месте. Соединив точки на горизонтальной проекции, получим натуральную величину фигуры сечения.  Рис. 6.3. Построение сечения призмы с натуральной величиной сечения Сечение пирамиды Рассмотрим следующую задачу: построить три проекции сечения пирамиды плоскостью, определить натуральную величину сечения. В сечении треугольной пирамиды плоскостью (рис. 6.4) образуется четырехугольник. Обозначаем точки пересечения плоскости с ребрами и гранями пирамиды. Точки 1 и 2 расположены на основании, точка 3 – на ребре SВ, точка 4 – на ребре SС. Находим недостающие проекции точек, используя свойства поверхности и методы нахождения точек на них. Соединяем полученные точки между собой последовательно и с учетом видимости (рис.6.4). Далее определяем натуральную величину фигуры сечения способом вращения вокруг проецирующей оси. Сначала выбирается ось вращения i – фронтально-проецирующая прямая, проходящая через точку 1. Затем плоскость вращается вокруг оси до положения, параллельного плоскости П1. Траектории движения точек 3 и 4 во фронтальной плоскости – окружности, а в горизонтальной плоскости – линии перпендикулярные оси вращения. Точки 1 и 2 остаются на своем месте, так как они расположены на оси вращения. Соединив новые проекции точек 3, 4 с 1 и 2 на горизонтальной проекции, получим натуральную величину фигуры сечения пирамиды.  Рис. 6.4. Построение сечения пирамиды и натуральная величина сечения Поверхности вращения и их свойства. Сечение поверхностей вращения плоскостью частного положения. Поверхность вращения общего вида Поверхность вращения общего вида образуется при вращении произвольной кривой линии (образующей) вокруг оси. Поверхность вращения имеет особые линии (рис. 7.1). В сечении поверхности плоскостью параллельной оси образуются линии, которые носят название меридианы. Если рассекать поверхность вращения плоскостью перпендикулярной оси, то в сечении образуются окружности, которые называются параллелями. Самая широкая из них – экватор, самая узкая – горло.  Рис. 7.1. Поверхность вращения общего вида Цилиндрическая поверхность образуется при вращении прямой линии вокруг оси, которая ей параллельна. Цилиндром называется геометрическое тело, образующееся при ограничении цилиндрической поверхности двумя параллельными плоскостями (основаниями). В основании цилиндра расположены окружности. Если основание перпендикулярно оси или очерковой образующей, то цилиндр называется прямым. Если нет – то наклонным. На рис. 7.2 представлены примеры изображений прямого кругового и наклонного кругового цилиндра.  Рис. 7.2. Прямой и наклонный цилиндр Коническая поверхность образуется при вращении прямой линии вокруг оси, которая ей не параллельна. Конусом называется геометрическое тело, образующееся при ограничении конической поверхности плоскостью. В основании конуса расположена окружность. Конус называется прямым, если высота, опущенная из вершины, попадает в центр основания. На рис. 7.3 представлены изображения прямого кругового и наклонного конуса.  Рис. 7.3. Прямой и наклонный конус Сечение поверхностей вращения Сечение прямого кругового цилиндра В сечении поверхностей вращения образуются плоские кривые, такие как окружность, эллипс, парабола, гипербола. Фигура сечения прямого кругового цилиндра плоскостью параллельной его основанию – окружность. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то в сечении образуется прямоугольник, если секущая плоскость расположена под углом к оси, не равным 0 или 90 градусов, то в сечении образуется эллипс. На рис. 7.4 изображено расположение секущих плоскостей и фигуры сечения прямого кругового цилиндра.  Рис.7.4. Сечения цилиндра 1- если секущая плоскость перпендикулярно оси цилиндра, то фигура сечения окружность; 2 - если секущая плоскость расположена к оси под углом к оси вращения, то фигура сечения эллипс; 3 – если секущая плоскость параллельна образующей конуса, то фигура сечения прямоугольник; Сечение прямого кругового конуса Конус является универсальной поверхностью, в сечении которой образуются все виды плоских кривых: окружность, эллипс, парабола и гипербола. На рис. 7.5 представлено расположение секущих плоскостей поверхности прямого кругового конуса и соответственные фигуры сечения.  Рис. 7.5. Сечение конуса 1- если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то фигура сечения окружность; 2 - если секущая плоскость расположена под углом к оси вращения (большим чем угол раствора конуса), то фигура сечения эллипс; 3 - если же угол наклона секущей плоскости меньше угла раствора конуса, то в сечении образуется парабола; 4 – если секущая плоскость параллельна образующей конуса, то в сечении образуется гипербола. 5 - если секущая плоскость проходит через вершину, то фигура сечения – треугольник. Сечение цилиндра плоскостью, построение развертки Рассмотрим задачу на построение проекций сечения прямого кругового цилиндра плоскостью частного положения, определение натуральной величины сечения и построения развертки усеченной части. Условие задачи дано на рис. 7.6. При таком расположении секущей плоскости в сечении образуется эллипс. Для построения фигуры сечения обозначаем опорные и промежуточные точки. Опорные точки расположены на осевых и очерковых образующих цилиндра, обозначаются цифрами. Для определения промежуточных точек делим окружность основания на 12 равных частей, проводим соответствующие образующие на фронтальной проекции, и на пересечении их с секущей плоскостью определяем промежуточные точки (рис. 7.6). Горизонтальной проекцией фигуры сечения является окружность, совпадающая с очерком горизонтальной проекции цилиндра. Для построения профильной проекции фигуры сечения проводим линии связи на профильную проекцию и определяем сначала опорные точки, а потом промежуточные. Точки 1 и 4 расположены на очерковых образующих цилиндра. Профильные проекции этих точек будут находиться на осевых образующих. Точка 4 невидима, так как она расположена на правой половине цилиндра.  Рис. 7.6. Сечение цилиндра плоскостью Промежуточные точки строятся по линиям связи, проведенным из фронтальной проекции цилиндра вправо. По линиям связи вправо и влево от осевой откладываются расстояния, равные расстояниям от горизонтальных проекций точек до оси цилиндра. Фигура сечения представляет собой эллипс, верхняя половина которого невидима, так как она расположена на правой половине цилиндра. Следующим этапом решения задачи является определение натуральной величины сечения. Применим метод вращения вокруг фронтально-проецирующей прямой. Проводим ось вращения через точку 1. На рис. 7.7 показано построение натуральной величины фигуры сечения.  Рис. 7.7. Определение натуральной величины фигуры сечения Сечение конуса Рассмотрим построение сечения прямого кругового конуса плоскостью частного положения, определение натуральной величины сечения и построения развертки усеченной части рис. 7.8 -7.9. Секущая плоскость расположена под углом к оси вращения, в сечении получаем эллипс. Аналогично предыдущей задаче окружность основания конуса делится на 12 равных частей, затем проводятся образующие конуса на горизонтальной и фронтальной проекции. Затем по образующим отмечаются опорные и промежуточные точки, строятся их горизонтальные и профильные проекции. Точки соединяются между собой плавной кривой линией. На рис. 7.8 приведены три проекции сечения конуса. На профильной проекции верхняя часть сечения конуса невидима, так как она принадлежит правой половине конуса.  Рис. 7.8. Проекции сечения конуса Далее определяем натуральную величину сечения способом вращения, так же как в предыдущей задаче. Ось вращения – фронтально-проецирующая прямая проходит через точку 1. Полученная фигура натуральной величины сечения изображена на рис. 7.9.  Рис. 7.9. Натуральная величина фигуры сечения конуса |