Практические занятия по ФинМат 19042018. Практическое занятие
 Скачать 1.07 Mb.
|
|
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 РАЗДЕЛ 1. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Для записи формулы наращения простых процентов (simpl interest) примем обозначения I— проценты завесь срок ссуды Р — первоначальная сумма долга S — наращенная сумма, те. сумма в конце срока i — ставка наращения процентов (десятичная дробь п — срок ссуды. Наращенная сумма, таким образом, находится как S= Р+ I= Р+ Р Р) Расчет процентов для краткосрочных ссуд срок ссуды K t n , где t — число дней ссуды, К — число дней в году, или временная база начисления процентов (time basis). Три варианта расчета простых процентов 1. Точные проценты сточным числом дней ссуды (Английская практика, обозначение ACT/ACT или 365/365) точное число дней ссуды, К – число дней в году – 365 2. Обыкновенные проценты сточным числом дней ссуды (Французская практика, обозначение ACT/360 или 365/360) точное число дней ссуды, К – число дней в году – 360 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. (Германская практика, обозначение 360/360) приближенное число дней ссуды, К – число дней в году - 360 Переменные ставки. t t t m m i n P i n i n i n P S 1 1 2 2 1 1 (1.2) Реинвестирование по простым ставкам 1 1 ... 1 ..., 11 2 2 S P n i n i n i t t (1.3) где i t — размер ставок, по которым производится реинвестирование. Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (1.6) имеем 1 m S P ni (1.4) где т — количество повторений реинвестирования. Наращение процентов в потребительском кредите Наращенная сумма долга равна 1 S P ni , а величина разового погасительного платежа составит S R nm (1.5) где п — срок кредита в годах, т — число платежей в году. Математическое дисконтирование 1 S P ni (1.6) Банковский учет (учет векселей. 1 P S Snd S nd , 1 P S nd (1.7) где п — срок от момента учета до даты погашения векселя. Определение срока ссуды и величины процентной ставки. Срок в годах / 1 S P S P n Pi i (1.8) 1 / S P S P n Sd d (1.9) Срок в днях (напомним, что п = К, где К — временная база S P t K Sd (1.10) S P t K Pi (1.11) Величина процентной ставки / 1 S P S P i Pn Pt (1.12) 1 / S P S P d Sn St (1.13) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 1.1. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 700 тыс.руб., срок 4 года, проценты простые поставке годовых (i= 0,2). ПРИМЕР 1.2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов Рассмотреть три варианта начисления процентов. ПРИМЕР 1.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов первый год 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Дано Р тыс.р. i= 20% = 0,2 n=4 Найти I, S Решение I = 700 х 4 х 0,2 = 560 тыс. руб S = 700 + 560 = 1260 тыс. руб. Ответ Процент I = 560 тыс. руб, а наращенная сумма S = 1260 тыс. руб. Дано Р i= 18% = 0,18 приближенное точное Найти S Решение 1. Точные проценты сточным числом дней ссуды (365/365): 1 258 1000000 1 0,18 1127233 365 S 2. Обыкновенные проценты сточным числом дней ссуды (360/365): 2 258 1000000 1 0,18 1129000 360 S 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360): 3 255 1000000 1 0,18 1127500 360 S Ответ S 1 = 1127233 руб, S 2 =1129000 руб, S 3 =1127500 руб. Дано i 1= 16% = 0,16 n 1 = 0,5 i 2= 17% = 0,17 n 2 = 0,5 i 3= 18% = 0,18 n 3 = 0,5 i 4= 19% = 0,19 n 4 = 0,5 Найти g Решение g= 1 1 1 0,16 0, 5 0,17 0, 5 0,18 0, 5 0,19 1, 43 n i t t Ответ множитель наращения g = 1,43 ПРИМЕР 1.4. 100 млн. руб. положены го января на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза ПРИМЕР 1.5. Кредит для покупки товара на сумму млн руб. открыт натри года, процентная ставка — 15% годовых. Определить выплаты в конце каждого месяца. ПРИМЕР 1.6. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням Дано Р = 100 млн. руб. i= 20% = 0,2 Найти S Решение Если начислять точные проценты (365/365), то 31 28 31 100 1 0, 2 1 0, 2 1 0, 2 105, 013 365 365 млн руб Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинвестировании дает 3 31 100 1 0, 2 105, 084 млн руб Ответ: наращенная сумма будет равна 105,013 млн. рубили млн. руб. Дано Р = 1 млн. руб. i= 15% = 0,15 n = 3 Найти R Решение Сумма долга с процентами 1 1 3 0,15 1, млн руб Ежемесячные платежи 1450 40, 278 3 тыс руб Ответ: ежемесячные платежи R = 40, 278 тыс. руб. Дано S = 310 тыс. руб. i= 16% = 0,16 t=180 Найти P Решение 310000 287328, 59 180 1 0,16 365 P руб Ответ: первоначальная сумма Р = 287328,59 руб. ПРИМЕР 1.7. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн руб. с уплатой 17.11.2000. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2000 по учетной ставке 20% (АСТ/360). Определить полученную сумму. ПРИМЕР 1.8. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб, вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты поставке годовых (АСТ/АСТ). ПРИМЕР 1.9. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 110 тыс. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 90 тыс. руб. (АСТ/360). Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде ставки процента. Дано S = 1000000 руб. i=20%=0,2 Найти Р, D Решение Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) равна 55 1000000 1 0, 2 969444, 4 Дисконт составит D=1000000 – 9694444,4=30555,6 руб. Ответ Полученная сумма составит 969 444,4 руб. Дано S = 1000000 руб. i=20%=0,2 Найти Р, D Дано S = 120 тыс. руб. i= 25% = 0,25 P=100 тыс. руб. Найти t Решение 110 90 360 0, 666(6) или 66,7% 90 Ответ доходность операции i = 66,7% Дано S = 120 тыс. руб. t=120 дней P=100 тыс. руб. Найти i Решение 120 100 365 292 100 0, 25 t дня Ответ: Продолжительность ссуды 292 дня. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2 РАЗДЕЛ СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Формула наращения. Для записи формулы наращения применим обозначения Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитана и т.д.), S — наращенная сумма наконец срока ссуды, п — срок, число лет наращения, i— уровень годовой ставки процентов, представленный деcятичной дробью. В конце го года наращенная сумма (1 ) n S P i (2.1) Проценты за этот же срок (1 ) 1 n I S P P i (2.2) Переменные ставки 2 1 1 1 ... 1 1 2 n n n k S P i i i k (2.3) i 1 , i 2 ,…i k — последовательные значения ставок n 1 , n 2,… n k - периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки Начисление процентов при дробном числе лет Смешанный метод (1 ) (1 ) a S P i bi (2.4) где n = а + b — срок ссуды, а - целое число лет, b— дробная часть года. Наращение процентов m – разв году. Номинальная ставка 1 N j S P m (2.5) где N — общее количество периодов начисления. Эффективная ставка 1 1 m j i m (2.6) Дисконтирование по сложной ставке 1 S n P Sv n i (2.7) 1 S nm P Sv mn j m (2.8) Учет по сложной учетной ставке (2.9), 1 mn f P S m (2.10) Срок ссуды log( / ) log(1 ) S P n i (2.11) log( / ) log 1 S P n j m m (2.12) Величина процентной ставки / 1 n i S P (2.13) 1 / n d P S (2.14) 1 / nm d m P S (2.15) / 1 nm i m S P (2.16) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 2.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через 5 лет приросте по сложной ставке 15,5% годовых ПРИМЕР 2.2. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процентная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% впервые два года ив оставшиеся годы. Дано Р руб. n=5 лет i=15,5% =0,155 Найти S Решение S= 1 000 000(1 + 0,155) 5 = 2055464,22 руб. Ответ Величина долга составит S=2055464,22 руб. Дано n=5 лет i=12%=0,12 i 1 =12%+0,5%=12,5%=0,125 n 1 =2 года i 1 =12%+0,75%=12,75%=0,1275 n 2 =3 года Найти q Решение q= (1 + 0,125) 2 (1 + 0,1275) 3 = 1,81407 Ответ множитель наращивания составит 1,81407 ПРИМЕР 2.3. Кредит в размере 3 млн руб. выдан на 2 года и 160 дней ( 160 3 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. Определить сумму долга двумя методами. ПРИМЕР 2.4. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через 5 лет приросте по сложной ставке 15,5% годовых с поквартальным начислением ПРИМЕР 2.5. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина 500 тыс.руб., проценты сложные, ставка 20% годовых, начисление поквартальное Задачу решить двумя методами. Дано Р руб. n= 2 года и 160 дней i=16,5%=0,165 Найти S Решение Сумму долга наконец срока определим как S = 3 000000 * 1,165 3,43836 = 5071935,98 руб, смешанный метод дает S =3 000000 х 1,165 3 х (1 + 0,43836 х 0,165) = 5086595,98 руб. Ответ S=5 071 935,98 руби руб. Дано Дано Р руб. n=5 лет j=15,5% =0,155 m=4 Найти S Решение N=n*m = 20 20 0,155 100000 1 2139049, 01 руб 4 S Ответ: Величина долга составит S=2 139 049,01 руб. Дано Р руб. j=20%=0,2 m=4 n=25 мес Найти Решение N =n*т= Общий метод 1 8 3 0, 2 500000 1 750840, 04 руб 4 S Смешанный метод 8 0, 2 1 0, 2 500000 1 1 751039, 85 руб 3 4 S Ответ S=750 840,04 руби руб. ПРИМЕР 2.6. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25% при помесячном начислении процентов ПРИМЕР 2.7. Сумма в 5 млн. руб. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется процентная ставка сложных процентов, равная 12% годовых. ПРИМЕР 2.8. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб, срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по учетной ставке 15% годовых. Рассмотреть начисление процентов по простой и сложной ставкам. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта (в тыс. руб Дано j=25%=0,25 m=12 Найти i эф Решение: 12 0, 25 1 1 0, 280732 12 i Ответ Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732%. Ответ Дано S=5000000 руб. n=5 лет i=12% =0,12 Найти S Решение Математическое дисконтирование P= = =2 837 134 руб. Ответ S = 2 837 134 руб. Дано руб. лет d=15%=0,15 Найти P,D Решение При начисление сложных процентов Р = 5000(1 - 0,15) 5 = 2218,5; D = 5000 - 2218,5 = 2781,5. Если применить простую учетную ставку того же размера, то Р = 5000(1 - 5 х 0,15) = 1250; D = 5000 - 1250 = 3750. Ответ P = 2 218,5 тыс. руб, D = 2 781,5 тыс. руб. P = 1 250 тыс. руб, D = 3 750 тыс. руб. ПРИМЕР 2.9. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб, срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом. Определить сумму, полученную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке 15%, и эффективную учетную ставку. ПРИМЕР 2.10. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб, выкупная его сумма 160 тыс. руб, срок 2,5 года. Каков уровень доходности инвестиций в виде годовой ставки сложных процентов ПРИМЕР 2.11. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Дано руб. лет f=15%=0,15 m=4 Найти P,d Решение N= т*п = 20; 20 0,15 5000 1 2328, 0 тыс. руб 4 P Эффективная учетная ставка составит 4 0,15 1 1 0,14177, или 14,177% 4 d Ответ P = 2 328,0 тыс. руб, d = Дано P=100000 руб. Руб. года Найти i Решение 2,5 1, 6 1 0, 20684 i Ответ Уровень доходности 0,20684 или 20,684% Дано n=2 года d=30%=0,3 Найти d Решение Поданным задачи Р, 1 0, 7 0,16334 d Ответ d = 16,334%. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3 РАЗДЕЛ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК. ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Эквивалентность простых процентных ставок 1 ds is nds (3.1) 1 is ds nis (3.2) где п — срок в годах, i s - ставка простых процентов, d s - простая учетная ставка. Эквивалентность простых и сложных ставок Эквивалентность i s и j . 1 1 nm j m is n (3.3) 1 1 nm j m nis (3.4) Эквивалентность ds и i. 1 1 n i ds n (3.5) 1 1 1 n i nds (3.6) Эквивалентность d s и j: 1 1 nm j m ds n (3.7) 1 1 1 nm j m nds (3.8) Эквивалентность сложных ставок Эквивалентность i и j: 1 1 m i j m (3.9) 1 1 m j m i Эквивалентность i и d: 1 d i d (3.11) 1 d i i (3.12) Финансовая эквивалентность обязательств критическая или барьерная 1 2 0 1 2 1 2 1 S S i S n n S (3.13) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 3.1. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15%. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки Дано n=1 год d=15%=0,15 Найти i s Решение По формуле (3.1) находим 0,15 0,17647, или 17,647% 1 Ответ Операция учета по учетной ставке 15% за год дает тот же доход, что и наращение поставке ПРИМЕР 3.2. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% К = 365), не изменяя финансовых последствий Срок операции 580 дней. ПРИМЕР 3.3. При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально ПРИМЕР 3.4. Имеются два обязательства. Условия первого выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца условия второго выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Процентная ставка 20%. Можно ли считать их равноценными Дано S 1 =400 тыс. руб. n 1 =4 мес. = S 2 =450 тыс. руб. n 1 =8 мес. = Найти являются ли обязательства эквивалентными Решение 400 375, 00 тыс. руб 4 1 0, 2 12 P 450 397, 06 тыс. руб 8 1 0, 2 Ответ сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке ив силу этого не могут адекватно заменять друг друга. Дано n=1 год i s =18%=0,18 t=580 дней К дней Найти Решение По формуле (3.4) находим эквивалентную сложную ставку 580 365 580 1 0,18 1 0,17153, или 17,153% 365 i Ответ i= 17,153%. Дано i=24%=0,24 Найти j Решение 12 12 1, 24 1 0, 21705 j 4 4 1, 24 1 0, 22100 j Ответ ПРИМЕР 3.5. Имеются два обязательства. Условия первого выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца условия второго выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Определить процентную ставку при которой , обязательства являются эквивалентными. Дано S 1 =400 тыс. руб. n 1 =4 мес. = S 2 =450 тыс. руб. n 1 =8 мес. = Найти i 0 Решение 0 400 1 450 0, 428, или 42,8% 400 8 4 450 12 Ответ Таким образом, соотношение Р > Р, справедливо при любом уровне процентной ставки, который меньше 42,8 %. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ РАЗДЕЛ 4. УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ В ФИНАНСОВО – ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Обозначения S — наращенная сумма денег, измеренная по номиналу С — наращенная сумма с учетом ее обесценения, J p — индекс цен, J c — индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег за период. c C S J Темп инфляции h это относительный прирост ценза период 100 Индекс ценза несколько периодов равен произведению цепных индексов цен 1 1 100 p n h J (4.1) Если n — постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то зап таких периодов получим 1 100 p n J h (4.2) Наращенная сумма с учетом покупательной способности равна 1 1 1 100 n p p S ni ni C P P J J h (4.3) Наращенная сумма с учетом инфляции по сложным процентам 1 1 1 100 p p n n S C P P J J i i h (4.4) Брутто – ставка, при начислении сложных процентов 100 100 h h r i i (4.5) или 100 h r i (4.6) Реальная доходность финансовых операций при начислении Сложных процентов 1 1 1 100 r i h (4.7) Простых процентов 1 1 1 p nr i n J (4.8) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 4.1. Постоянный темп инфляции 5% в месяц Определить рост ценза год. ПРИМЕР 4.2. Приросты цен по месяцам составили 1,5; 1,2 и 0,5%. Определить индекс ценза три месяца. ПРИМЕР 4.3. На сумму 1,5 млн руб. в течение трех месяцев начисляются простые проценты поставке годовых, Ежемесячная инфляция характеризуется темпами 2,5; 2,0 и 1,8%. Определить наращенную сумму с учетом инфляции затри месяца Дано h=5% Найти J Решение 1 100 p n J h 12 1, 05 1, Ответ Цены увеличились в 1,796 раза. Ответ Дано P=1,5 млн. руб. мес h 2 =2,0% h 3 =1,8% Найти C Решение Наращенная сумма, следовательно, равна 1,605 млн руб. Индекс цен равен 1,025 *1,02 *1,018 = 1,06432. С учетом обесценивания наращенная сумма составит 1,605 = 1,508 млн. руб Ответ С = 1,508 млн. руб. Дано h 1 =1,5% h 2 =1,2% h 3 =0,5% Найти J Решение р = 1,015 *1,012* 1,005 = 1,0323. Темп инфляции затри месяца 3,23%. Ответ Темп инфляции затри месяца 3,23%. ПРИМЕР 4.5. Рассчитаем реальную годовую ставку для следующих условий годовой темп инфляции — 20%, брутто-ставка —25% годовых, п = 5 лет. Определить реальную ставку доходности операции при начислении сложных процентов. Дано h=20% r=25%=0,25 п =5 Найти i Решение Индекс ценза этот период 1,7. В этом случае 5 1, 7 1 0,11196 100 h 1 0, 25 1 0,1241 1 1,11196 i Ответ реальная доходность операции составит 12,41%. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5 РАЗДЕЛ 5. ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Вид финансовой ренты Наращенная сумма ренты Современная величина ренты Обычная годовая рента с начислением процентов 1 разв год (5.4) (5.9) Обычная годовая рента с начислением процентов m разв год (5.5) ( 5.10) p- срочная рента с начислением процентов 1 разв год (5.6) ( 5.11) p- срочная рента с начислением процентов m разв год, где m=p (5.7) (5.12) p- срочная рента с начислением процентов m разв год, где m≠p (5.8) (5.13) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 5.1. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты поставке годовых. Определить наращенную сумму. ПРИМЕР 5.2 . Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по Дано n=5 млн. руб. i=18,5%=0,185 Найти S Решение Величина фонда наконец срока составит 5 5;18 (1 0,185) 1 0,185 4 4 28, 9 млн руб Ответ 28,9 млн. руб. ставке 18,5% годовых, проценты начисляются поквартально. Определить наращенную сумму. ПРИМЕР 5.3. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб, платежи выплачиваются поквартально. На поступившие взносы начисляются проценты поставке годовых. Определить наращенную сумму. ПРИМЕР 5.4. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб, платежи выплачиваются поквартально. На поступившие взносы начисляются проценты поставке годовых, ежеквартально. Определить наращенную сумму. Дано n=5 млн. руб. j=18,5%=0,185 m=4 Найти S Решение Ответ Переход от годового начисления процентов к поквартальному несколько увеличил наращенную сумму. Наращенная сумма составит 29,4 млн. руб. Дано n=5 млн. руб. i=18,5%=0,185 p=4 Найти S Решение р млн . руб, общее число платежей равно 20. 1 4 1 20 4 (1 0,185) 1 4 4 (1 0,185) 1 30, 834 млн руб S Ответ: наращенная сумма составит 30,834 млн. руб. Дано n=5 млн. руб. j=18,5%=0,185 m=4 р Найти S Решение 4 5 1 4 0,185 0,185 1 4 31, 785 млн руб S Ответ: наращенная сумма составит 31,785 млн. руб. ПРИМЕР 5.5. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Задание Размер разового платежа 4 млн. руб, платежи выплачиваются поквартально. На поступившие взносы начисляются проценты поставке годовых, ежемесячно. Определить наращенную сумму. ПРИМЕР 5.6. Годовая рента постнумерандо характеризуется параметрами R = 4 млн. руб, п = 5. Дисконтирование производится по сложной ставке процента, равной 18,5 % годовых. Определить современную стоимость ренты. ПРИМЕР 5.7. Известно, что принц Чарльз при разводе с Дианой выплатил последней 17 млн ф.ст. Как сообщалось, эта сумма была определена в расчете на то, что принцесса проживет еще 50 лет (увы, это не сбылось. Указанную сумму можно рассматривать как современную стоимость постоянной ренты. Определить размер члена этой ренты при условии, что процентная ставка равна 10%, а выплаты производятся помесячно. Дано n=5 млн. руб. j=18,5%=0,185 m=12 р Найти S Решение 12 5 12 4 0,185 1 1 12 4 0,185 4 1 1 12 32, 025 млн руб Ответ наращенная сумма составит 32,025 млн. руб. Дано n=5 млн. руб. j=18,5%=0,185 Найти А Решение 5 5;18,5 1 1,185 4 4 4 3, 092 12, 368 млн руб Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб, размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение 5 лет. Дано n=50 млн. руб. i=10%=0,1 р Найти R Решение 50 12 1 12 50;10 1 12 1 1,1 17000 1,1 12(1,1 Ежемесячная выплата составит R/12 = 135,6 тыс. ф.ст. Ответ размер члена ренты составит 135,6 тыс. ф.ст. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6 РАЗДЕЛ ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Y Dg R (6.1) ; N i D R s (6.2) ; N i D Y Dg s (6.3) 1 (1 ) t t S S i R (6.4) Изменяющиеся взносы Срочные уплаты t t Y Dg R где ( 1), t=1,...N t R R a t 2 ; 1 (1 ) (1 ) N N i i Ni R D a s i (6.5) Погашение долга в рассрочку равными суммами D d n 1 , 1,... t t Y D g d t n (6.6), 1 1 t t n D D n (6.7), Погашение долга равными срочными уплатами. 1 t t t Y D g R const ; t n g D Y a (6.8) 1 (1 ) t t d d g (6.9) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 6.1. Долг в сумме 100 млн руб. выдан налет под 20% годовых. Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты поставке. Пусть фонд формируется 5 лет, средства в фонд вносятся только последние четыре года. Составить график платежей. Дано млн. руб. n=5 g=20%=0,2 i=22%=0,22 N=5 Найти график платежей Решение 4;22 100 100 18,102 млн руб, План формирования такого фонда (в тыс. руб) представлен в таблице. Год Проценты Взносы Расходы по займу Накопления (наконец срока 1 10 000 — 10 000 — 2 10 000 18 102 28 102 18102 3 10 000 18 102 28 102 40186 4 10 000 18 102 28 102 67129 5 10 000 18 102 28 102 100000 ПРИМЕР 6.2. В фонд погашения долга средства поступают в виде ежегодной ренты постнумерандо в течение 5 лет (срок погашения долга. Платежи каждый раз увеличиваются на 500 тыс. руб. Пусть размер долга на момент его погашения равен 10 млн руб, на взносы начисляются проценты поставке годовых. Решение Дня разработки плана создания фонда определим величину первого взноса. Предварительно находим 5 5;10 = 6,2051; 5 2 1 1,1 (1 5 0,1) 1000 500 732, 91 тыс. руб 0,1 R Откуда 732, 91 500( 1); Динамика расходов должника при условии, что кредитору выплачивается 9,5%, показана в таблице. В ней, в отличие от таблицы примера 6.2, в последней графе показаны суммарные (кумулятивные) накопления, которые определены по рекуррентной формуле (6.4). Год Проценты Взносы Расходы по займу Накопления наконец года 1 950 732,91 1682,91 732,91 2 950 1232,91 2182,91 2039,11 3 950 1732,91 2682,91 3975,93 4 950 2232,91 3182,91 6606,44 5 950 2732,91 3682,91 10000,00 Если взносы в данном примере представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, допустима, то первый износ составит 5 2 1 1,1 (1 5 0,1) 1000 500 2543, 04 тыс. руб 0,1 R ПРИМЕР 6.3. Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить последовательными равными суммами залет платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты поставке годовых. Решение Размер погашения основного долга 1000 : 5 = 200 тыс. руб. в год. Ежегодные процентные платежи составят 1000x0,1 = 100; (1000 - 200) хи т.д. План погашения представлен в следующей таблице. Год Остаток долга Расходы Погашение Проценты 1 1000 300 200 100 2 800 280 200 80 3 600 260 200 60 4 400 240 200 40 5 200 220 200 20 ПРИМЕР 6.4. Условия погашения займа те же, что ив примере 6.5. Однако погашение производится равными срочными уплатами, те. рентой постнумерандо с параметрами неизвестная величина, n = 5 g = 10%. Решение Находим а = 3,790787. После чего 1000 263, 797 тыс. руб, Далее определим d 1 , = 263,797 - 1000x0,1 = 163,797 тыс. руби остаток долга после первого погашения D = 1000 - 163,797 = 836,203 тыс. руб. План погашения долга представлен в таблице. Год Остаток долга Расходы Проценты Погашение на начало года по займу долга 1 1000,000 263,797 100,000 163,797 2 836,203 263,797 83,620 180,177 3 656,026 263,797 65,603 198,195 4 457,831 263,797 45,783 218,014 5 239,816 263,797 23,982 239,816 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7 РАЗДЕЛ 7. АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИЙ В ОБЛИГАЦИИ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Под курсом понимают цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала 100 P K N (7.1) где К курс облигации, g — объявленная норма годового дохода (купонная ставке процента i t , — текущая доходность i — полная доходность (ставка помещения. Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов. 100 t gN g i p K (7.2) 100 1 1 1 1 p p t i g i p K p (7.2) Облигации без выплаты процентов 1 Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока. 1 1 100 n g i K (7.3) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 7.1. Вечная рента, приносящая 4,5% дохода, куплена по курсу 90. Какова финансовая эффективность инвестиции при условии, что проценты выплачиваются разв году, поквартально р ПРИМЕР 7.2. Корпорация X выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через 5 лет. Курс реализации 45. Доходность облигации на дату погашения Дано К p=4 g=4,5% Найти i Решение 4 0, 05 1 1 0, 0509 4 0, 045 100 0, 05; 90 t i i Ответ эффективность операции составит 5,09% Дано n=5 K=45 Найти i Решение Доходность облигации на дату погашения 5 1 1 0,17316 45 100 i Ответ доходность облигации составит 17,316% ПРИМЕР 7.3. Облигация, приносящая 10% годовых относительно номинала, куплена по курсу 65, срок до погашения 3 года. Определить доходность операции. Дано: К n=3 g=10%=0,1 Найти i Решение Если номинал и проценты выплачиваются в конце срока, то полная доходность для инвестора составит 3 1,1 1 0, 26956, или 26,956% 0, 65 i Ответ доходность операции составит 26,956% ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8 РАЗДЕЛ 8. АНАЛИЗ ДОЛГОСРОЧНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Чистый приведенный доход - 2 1 1 1 1 j n t n n j t j j N R v K v , (8.1) где К, — инвестиционные расходы в году t, t = 1,2,...,n 1 ; j R — чистый доход в году j,j= 1,2,..., n 2 ; n 1 — продолжительность инвестиционного периода п — продолжительность периода поступлений дохода. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 8.1. Сравнить по финансовой эффективности два варианта инвестиций. Норматив доходности (ставка сравнения) принят на уровне 10%. Потоки платежей характеризуются следующими данными, которые относятся к окончаниям соответствующих лет А -100 -150 50 150 200 200 Б -200 -50 50 100 100 200 200 Дано Проект А Проект В i=10%=0,1 Найти сравнить проекты. Решение Расход проекта А Доход проекта А Расход проекта B Доход проекта А -214,9 + 377,1 = 162,2; Б -223,14 + 383,48 = 160,3. Ответ Таким образом, если исходить из величины чистого приведенного дохода, то при принятой процентной ставке сравниваемые варианты в финансовом отношении оказываются почти равноценными. ПРИМЕР 8.2. Проект предполагается реализовать затри года. Планируются следующие размеры и сроки инвестиций вначале первого года единовременные затраты — 500, во втором году — только равномерные расходы, общая их сумма — 1000, в конце третьего года единовременные затраты — 300. Отдачу планируют получать 15 лет впервые три года подалее в течение 10 лет ежегодно по 600, в оставшиеся три года по 300. Доходы поступают равномерно в пределах годовых интервалов. Ставка приведения равна 10%. Окупятся ли капиталовложения Дано Проект i=10%=0,1 Найти Окупится ли проект Решение Инвестиции 3 1,5 3 1 500 1000 1,1 300 1,1 1592, 2 t t t K В свою очередь современная стоимость поступлений равна 2,5 5,5 15,5 3;10 10;10 2;10 200 1,1 600 1,1 300 1,1 2693, Ответ N= 1101,2, те. капиталовложения окупаются. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 РАЗДЕЛ 9. КОНВЕРСИЯ ВАЛЮТЫ И НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ При двойной конверсии доллар → рубли рубли доллар Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность n 1 n ni + 1 × k 1 = n 1 ) ni + 1 )( К / К ( = i 1 п э При двойной конверсии рубли → валюта → валюта → рубли ставка доходности операции n 1 ) nj + 1 ( × k = n 1 ) nj + 1 )( К / К ( = i 1 п э РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 9.1. Имеется сумма в долларах, которую предполагается разместить на полугодовой депозит. Обменный курс вначале операции 34 руб. за 1 долл, в конце операции предполагается 35 руб./долл. Годовая ставка простых процентов по рублевым депозитам 12%, по валютным – 5%. Как выгоднее разместить вклад, как валютный или через конверсию в рублях РЕШЕНИЕ При двойной конверсии доллар → рубли рубли доллар расчёт проводим по формуле n 1 n ni + 1 × k 1 = n 1 ) ni + 1 )( К / К ( = i 1 п э 35 = K K = k 0 1 06 , 0 = 5 , 0 1 5 , 0 12 , 0 × 5 , 0 + 1 × 029 , 1 1 = n 1 n ni + 1 × k 1 = i п э ОТВЕТ: По условию задачи доходность валютного депозита равна 5%, а по расчётам доходность операции с двойной конверсией составила 6%. Следовательно, выгоднее разместить вклад через конверсию в рублях. ПРИМЕР 9.2. Имеется сумма в рублях, которую предполагается разместить на полугодовой депозит. Обменный курс вначале операции равен 34 руб. за 1 долл, а в конце операции ожидается 35 руб./долл. Годовая ставка простых процентов – 12%, по валютному вкладу – 5%. Как выгоднее разместить вклад РЕШЕНИЕ Темп роста обменного курса за срок операции 029 , 1 = 34 35 = K K = k 0 По формуле имеем n 1 ) nj + 1 ( × k = n 1 ) nj + 1 )( К / К ( = i 1 п э 1 ) 05 , 0 × 5 , 0 + 1 ( 029 , 1 = n 1 ) nj + 1 ( k = i п э ОТВЕТ: Вклад выгоднее разместить как рублевый депозит. |