лек Дифференциал и производная функций 1. Правила дифференцирования Определение дифференциала функции. Дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков. Производная функции

• Название: Правила дифференцирования Определение дифференциала функции. Дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков. Производная функции
• Дата: 12.10.2022
• Размер: 1.58 Mb.
• Имя файла: лек Дифференциал и производная функций 1.ppt
• Тип: Правила; #730307

Производная и дифференциал функции одной переменной.

План лекции

Понятие производной функции
Правила дифференцирования
Определение дифференциала функции.
Дифференциалы высших порядков.
Производные высших порядков.

Производная функции

У’ =
Вычисление производной - дифференцирование.
Функция называется дифференцируемой в некоторой точке x , если в этой точке она имеет определенную производную.
Геометрический смысл.
Физический смысл.

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:

1. 2.
3. 4.
5. .

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ:

Дифференциал функции

Т.к. следует, что или Δу =у’ Δx +Δ x,
Главная часть приращения функции, линейная относительно независимой переменной х, называется
дифференциалом функции и обозначается знаком d:
dy = y’ Δx.
Таким образом dx = Δx.
Поэтому dy = y’ dx.





Если , то значение функции y = f (x) в точке х,
близкой к х0, можно приближенно вычислить по формуле
f (x) ≈ f (x0)+ (х-х0).
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал d(dy), обозначается d2y.
d2y= d (dy)=у’’ (dх2).
Дифференциалом n–го порядка dny называется дифференциал d(dn-1y)
dny = d (d n-1 y)= у(n) dхn.





Производная от функции f(x) называется также
производной первого порядка (или первой производной функции f(x)).
Тогда производной второго порядка или
второй производной функции f(x) будем называть производную от ее первой производной, т.е. .
Обозначается , или , или





Если функция f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то ее производная – также является функцией, заданной на этом промежутке.
Если дифференцируема, то
Если предел существует, называют второй производной.





Аналогично производную от второй производной называют производной третьего порядка, или третьей производной, т.е.
В общем случае производной n –го порядка называется производная от производной (n-1) –го порядка:

Литература:

И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. (учебник для медицинских и фармацевтических вузов)., М., 2003 г.
В.С. Шипачев. Курс высшей математики. М., Проспект. 2004 г.
И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. М., ВЛАДОС.2002г.
Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.