тфкп вычеты. Правило разложения в ряды Тейлора и Лорана

• Название: Правило разложения в ряды Тейлора и Лорана
• Дата: 14.06.2020
• Размер: 237.97 Kb.
• Имя файла: тфкп вычеты.docx
• Тип: Документы; #130046

Правило разложения в ряды Тейлора и Лорана.

Пусть задана регулярная функция f(z), требуется найти все ее разложения по степеням (z-a). Вначале надо определить все особые точки данной функции. Затем на чертеже отметить точку z = a и все особые точки данной функции. Далее надо построить концентрические окружности с центром в точке z = a, на которых лежат особые точки. Эти окружности разобьют всю плоскость на ряд областей: первая область – круг, окружность которого проходит через ближайшую особую точку функции f(z); последняя – внешняя область будет вся часть плоскости, лежащая вне окружности, проходящей через наиболее удаленную от точки z = a особую точку функции f(z). В каждой из этих областей регулярная функция имеет свое разложение по степеням (z-a).

Нули и изолированные особые точки.

Пусть f(z) регулярна в точке z = a. Тогда в некоторой окрестности этой точки f(z) представима рядом Тейлора

Определение 1. Точка a называется нулем функции f(z) порядка (кратности) “m”, если в окрестности этой точки разложение функции в ряд Тейлора имеет вид

где a_m ≠ 0 (1)

Определение 2(равносильное). Точка a называется нулем функции f(z) порядка (кратности) “m”, если выполняются условия .

Из (1) вытекает

Определение 3 (равносильное). Точка a называется нулем функции f(z) порядка (кратности) “m”, если в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство

,

где φ(z) регулярна в точке a и φ(z) ≠ 0.

Пусть теперь точка z = a является особой для регулярной функции f(z).

Определение 4. Точка a называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) регулярна в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой точки a, т.е. в некоторой окрестности точки aнет других особых точек функции f(z), кроме самой точки a.

Если z = a изолированная особая точка, то в некотором кольце с центром в точке z=a функция f(z) разлагается в ряд Лорана

(2)
При этом могут быть три случая.

1 СЛУЧАЙ.Главная часть разложения отсутствует. Тогда имеем

, причем ряд сходится к функции f(z) во всех точках рассматриваемой окрестности, кроме точки z = a, а в этой точке он сходится к числу a₀. Функция же f(z) в точке z = a не определена.

Определение 5. Особая точка a называется устранимой особой точкой функции f(z), если разложение f(z) в ряд Лорана по степеням (z-a) не содержит главной части.

Определение 6 (равносильное). Особая точка a называется устранимой особой точкой функции f(z), если существует конечный предел функции f(z) в точке a.

Пример. . И другие функции вида , у которых φ(z) и ψ(z) имеют в одной точке нуль одинаковой кратности.

Слово “устранимая” проистекает из-за того, что если доопределить f(z) в точке z = a значением a₀, то получим функцию регулярную во всей окрестности.

2 СЛУЧАЙ. Главная часть разложения имеет конечное число членов. Тогда

причем a_-m≠ 0 (3)
Определение 7. Точка z = a называется полюсом порядка (или крайности) mфункции f(z), если главная часть разложения функции f(z) в ряд Лорана по степеням

(z-a) содержит m членов.

В равенстве (3) вынесем за скобку . Получим

,

где .

Определение 8 (равносильное). Точка z = a называется полюсом порядка (или крайности) m функции f(z), если в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство

,

где ψ(z) регулярна в точке a и ψ(а) ≠ 0.

Сопоставляя определения 3 и 8 получим

Теорему. Если точка a есть нуль порядка m для функции f(z) (или полюс порядка m) то та же точка для функции будет полюсом порядка m (соответственно нулем порядка m).

Из определения 8 так же вытекает

Определение 9 Особая точка a называется полюсом функции f(z), если .

Определение 10. В случае m = 1 полюс называется простым.

3 СЛУЧАЙ. Главная часть разложения имеет бесконечное число членов.

Определение 11. Точка z = a называется существенно особой точкой функции f(z), если главная часть разложения функции f(z) в ряд Лорана по степеням (z-a) содержит бесконечное число членов.

Тогда в точке a функция f(z) не имеет предела ни конечного, ни бесконечного, и для любого числа А можно найти такую последовательность , что . (Теорема Сохотского).

Пример: , z = 0 является существенно особой точкой, т.к. или

Замечание 1. Не надо думать, что особые точки регулярной функции обязательно изолированные. Так, для точка z = 0 является существенно особой. Но эта точка не изолированная. Действительно, точки , где к=0, ±1, ±2, являются полюсами функции , и при достаточно большом они будут находиться в окрестности точки z = 0, как бы мала она ни была.

Замечание 2. Поведение функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки (т.е. при ) можно охарактеризовать через поведение функции в точке ξ = 0. Это значит, для части ряда Лорана меняют свое значение.

Ряд по положительным степеням z будет главной частью, а ряд по отрицательным степеням z – регулярной частью. Соответственно изменятся все определения. Т.е., например, f(z) имеет нуль порядка m в ∞, если она представлена в виде , f(z) имеет полюс порядка m в ∞, если .

Аналогично изменяются все остальные определения.

Вычеты
Определение 1. вычетом функции в ее изолированной особой точке а называется число, обозначаемое символом и (1) где Г – замкнутый контур, окружающий единственную особую точку z = a и интегрирование по Г совершается в положительном направлении.
Из формул, по которым определяются коэффициенты ряда Лорана, вытекает следующее утверждение.

Лемма. Вычет функции в особой точке z = aравен коэффициенту при члене в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки z = a , т.е. .
Определение 2. Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется коэффициент разложения при , взять с обратным знаком, т.е. .

Замечание. В окрестности бесконечно удаленной точки член принадлежит не главной, а регулярной части.
Основная теорема о вычетах.

Если функция регулярна в замкнутой области , ограниченной контуром Г, за исключением конечного числа точек z_1, z_2, …, z_n, лежащих в D и являющихся полюсами или существенно особыми точками , то справедлива формула .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Окружим точки z_k , k=1, …,n замкнутыми контурами , так, чтобы эти контуры лежали внутри Г, взаимно не пересекались и чтобы внутри каждого контура находилась только одна особая точка. Все это возможно,

т.к. z_k – изолированные особые точки. Тогда образуется многосвязная область, ограниченная внешним контуром Г и внутренними контурами . Функция регулярна в этой области и ее границе. Поэтому по теореме Коши для многосвязной области можем написать . Отсюда, обозначая вычеты в точках z_1, z_2, …, z_п соответственночерез и пользуясь равенством (1), получим , что и т. д.

Лемма 1. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
Лемма 2. Если z = a есть полюс первого порядка функции . Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если z = a есть полюс первого порядка функции , то

Умножим обе части этого равенства на z – a и перейдем к пределу при . Получим требуемое равенство.
Лемма 3. Если в окрестности точки а может быть представлена как отношение регулярных функций причем , , , точка а – простой полюс, то .


Д о к а з а т е л ь с т в о.

.
Лемма 4. Если z = a есть полюс порядка m функции , то .
Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если z = a есть полюс порядка m функции , то

Умножим обе части этого равенства на (z – a)^m Продифференцировав этот ряд m – 1 раз, получим Переходя к пределу , получим требуемую формулу.


Практическое занятие
Пример__6'>Пример_5'>Пример 1. Для функции особой точкой является . Покажем это.

;

значит есть устранимая особая точка.

Пример 2. Для функции , является особой точкой. Так как , – это полюс. Так как для функции точка является нулем пятого порядка для функции , то – полюс пятого порядка функции .

Пример 3. Для функции является особой точкой. Разложение в ряд Лорана: в главной части содержит бесконечное число членов; это существенно особая точка.

Пример 4. Найти все особые точки функции и определить их тип.

Особыми точками являются точка и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках , функция имеет простые полюса. Точка не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов: , это означает, что любая окрестность точки содержит бесконечное число особых точек .

Пример 5. Найти все особые точки функции и указать их тип.

Решение. Функция имеет три изолированные особые точки Так как для

– простые нули, то согласно теореме 4.7.1 точки – простые полюса для . Поскольку

то – устранимая особая точка.
Пример 6. Найти все особые точки функции и указать их тип.

Решение. Особые точки функции располагаются в нулях знаменателя и бесконечно удаленной точке Нулями знаменателя являются точки

В окрестности имеем

Следовательно, – полюс третьего порядка.

В окрестности точек , раскладывать функцию в ряд Тейлора неудобно. Вычислим несколько первых производных

Таким образом, – ноль второго порядка для знаменателя. Поскольку числитель функции не обращается в ноль в точках то , – полюса второго порядка.

Так как точки накапливаются на бесконечности, то не является изолированной особой точкой. ■
Пример 7. Найти все особые точки функции и указать их тип.

Решение. Функция имеет три изолированные особые точки . Поскольку не существует предела при , то и не существует предела при , следовательно, – существенно особая точка.

Точка является нулем первого порядка. Действительно,

Поскольку для точка – ноль третьего порядка, то – полюс второго порядка для

Так как

то – устранимая особая точка.■

Упражнения для самостоятельной работы

1. 
   Определить порядок нуля функции в точке
   

a)

,

b)

Ответы: ноль второго порядка, b) ноль четвертого порядка.

2. 
   Определить тип особенности в точке
   

a)

,

b)

.

Ответы: полюс 10 порядка, b) полюс 12 порядка.

3. 
   Найти все особые точки и указать их тип:
   

a)	;
c)	;

Ответы:a) – полюса первого порядка, – устранимая особая точка; c) – полюс второго порядка, – полюса первого порядка, – существенно особая точка;

Пример 8. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Особыми точками являются точки и .

В точке найдем: , т.е. точка – устранимая особая точка функции . Поэтому , в точке , т.е. точка - полюс (первого порядка) функции. По формуле (73) имеем .

Пример 9. Определить вычет функции относительно точки .

Точка является полюсом третьего порядка функции, т.к. . В соответствии с (75) получим:

.

Пример 10. Найти вычет функции в ее особых точках.

Особой для данной функции является точка . Это – существенно особая точка (из свойств функции следует, что существует ). Для определения вычета найдем коэффициент разложения функции в ряд Лорана по степеням . Так как , следовательно .


Пример11. Вычислить вычеты в простых и кратных полюсах функций:



Решение. Полюса функции и являются простыми. Поэтому



Полюса функции и являются простыми, а полюс – второй кратности. Поэтому



.
Задачи для самостоятельного решения
Для следующих функций найти вычеты относительно ее конечных изолированных особых точек:

а) ; б) ; в) ;