Матан1. Приложения интегрального исчисления производительность труда
 Скачать 314.33 Kb.
|
|
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Производительность труда. Решение: Известна эмпирическая формула производительности труда в течение дня: 𝑝(𝑡) = −0.004𝑡 2 − 0.09𝑡 + 20.8 Объем произведенной продукции (Q) зависит от производительности труда и длительности промежутка рабочего времени, в течение которого производительность может меняться. Пусть f (t) – функция изменения производительности труда от времени. Количество продукции Q, произведенной в промежутке времени от а до b при производительности труда f (t), вычисляется по формуле 𝑄 = ∫ 𝑓 (𝑡)d𝑡 𝑏 𝑎 Воспользуемся этой формулой 𝑄 = ∫ 𝑓 (𝑡)d𝑡 = ∫(−0.004𝑡 2 − 0.09𝑡 + 20.8)d𝑡 = 162.837 ≈ 163 8 0 8 0 Мы узнали общую производительность за один рабочий день. Теперь узнаем среднюю производительность в течение одного рабочего дня: 163 8 = 20.375 ≈ 20.3 Используя полученные данные, можно составить следующее равенство: 𝑝(𝑡) = 20 = −0.004𝑡 2 − 0.09𝑡 + 20.8 Приводим его к виду квадратного уравнения, и находим время, в которое достигается средняя производительность: 1) − 0.004𝑡 2 − 0.09𝑡 + 0.5 = 0 2) 𝑡 1,2 = −0.09 + 5√161 2 ∙ 0.004 = 4.61 2. Социальное неравенство. Решение: Распределение дохода в стране определяется кривой Лоренца: 𝑦(𝑥) = 0.87𝑥 2 + 0.13𝑥 Графически кривая Лоренца представляет собой кривую в системе координат. По оси абсцисс откладывают долю семей в процентах от общего их числа, а по оси ординат – долю доходов в процентах от общей суммы. Степень дифференциации в распределении доходов определяется с помощью коэффициента Джини, который рассчитывается путем деления площади OABCDE на площадь треугольника OFE. Чем больше величина этого коэффициента, тем больше отклоняется фактическое распределение дохода от абсолютного равенства. К Джини = 𝑆𝑜𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 𝑆∆𝑂𝐹𝐸 = 𝑆𝑜𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 0.5 Чем выше индекс Джини, тем выше неравномерность распределения доходов населения и, следовательно, выше расслоенность общества. Чтобы понять какая часть населения получает 70% доходов. Для этого подставим в исходную функцию: (𝑥) = 70 100 = 0,7 И получим следующее выражение: 𝑦 (0.7) = 0.87 ∙ (0.7) 2 + 0.13 ∙ 0.7 =0.5173 = 51.73 % Следовательно, 70% дохода получает 51.73% населения, т.е. чуть больше половины. Далее для нахождения коэффициента Джини найдем площадь фигуры OABCDE с помощью интеграла: 𝑆 ABCDE = ∫(0.87 ∙ 𝑥 2 + 0.13)𝑑𝑥 = 0.355 1 0 Подставим полученное число в формулу и найдем коэффициент Джини на данный момент: К Джини = Soabcde 0.5 = 0.355 0.5 = 0,71 Можно сделать вывод, что на данный момент в обществе присутствует сильная степень неравенства. Экономисты считают, что коэффициент Джини не должен быть выше значения 0,3-0,4. Когда индекс больше, в стране существует высокое неравенство (как в нашем случае). Оно замедляет темп экономического развития и формирует «ловушку бедности», при которой общество становится беднее с каждым поколением. 3. Сезонное потребление. Решение: Пусть t = 0 соответствует 1 января, а t = 1 соответствует1 декабря, а 𝛾 − суммарное потребление ресурса Если y(t) = f(t) ∙ n(t) , тогда: 𝛾 = ∫(𝑓 (𝑡) ∙ n(t))d𝑡 1 0 = ∫(13 + 7 cos(2π(t + 0,03)) ∙ (1570 + 335t)d𝑡 ≈ 82.93 1 0 4. Информационный ответ Решение: Для начала найдём функцию количества ответов на сообщение: 𝜐(𝑡) = ∫ 1.5 ∙ 10 6 𝑡 − 10 6 𝑡 2 2 + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ Теперь построим график функции: Из график видно, что: 1. продолжительность реакции составляет 3 недели; 2. спад реакции начинается на 1,5 неделях; 3. в момент спада количество ответов составляет 1,125 ∙ 10 6 Пусть количество ответов за всё время реакции будет α, тогда: α = ∫ (1,5 ∙ 10 6 𝑡 − 10 6 𝑡 2 2 + 0)𝑑𝑡 = 1 666 666 2 0 |