Методические рекомендации по выполнению задания 2. Пример выполнения Задания 2 Расчет статически определимой фермы

• Название: Пример выполнения Задания 2 Расчет статически определимой фермы
• Дата: 03.11.2022
• Размер: 280.2 Kb.
• Имя файла: Методические рекомендации по выполнению задания 2.docx
• Тип: Документы; #768972

Пример выполнения Задания 2

Расчет статически определимой фермы.

Заданная расчетная схема Исходные данные


F₁ = 3 кН

F₂ = 5 кН

F₃ = 4 кН

F₄ = 5 кН

F₅ = 3 кН

l = 18 м

h₁ = 3 м

h₂ = 5 м

1. 
   Вычерчиваем ферму в масштабе. Прикладываем заданную внешнюю нагрузку.
   
2. 
   Проверим геометрическую неизменяемость фермы.
   

а) Проверим выполнение необходимого условия:

,

где – число степеней свободы,

– число стержней, ;

– число одиночных шарниров, соединяющих стержни, ;

– число опорных стержней (шарнирно-неподвижная опора 1 эквивалентна двум опорным стержням, шарнирно-подвижная опора 12 –одному опорному стержню), .

.

Необходимое условие выполнено. Аналитическое условие является необходимым условием геометрической неизменяемости и показывает, что система является статически определимой.

б) Проверим выполнение достаточного условия: основу фермы составляют шарнирные треугольники, каждый следующий треугольник образован присоединением двухстержневого звена (одно звено их двух стержней) к предыдущему. Ферма прикреплена к диску «земля» с помощью трех опорных стержней, которые не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке. Таким образом, ферма образована по принципам структурообразования геометрически неизменяемых систем, т.е выполнено достаточное условие геометрической неизменяемости.

Вывод: Так как выполнено и необходимое, и достаточное условия геометрической неизменяемости, то заданная система является геометрически неизменяемой системой. Система статически определима.

3. 
   Определим аналитически усилия во всех стержнях фермы. Для начала определяем опорные реакции:
   

,

,

.

Выполним проверку найденных реакций:



Статическое равновесие сохранено, значит, реакции найдены верно.

4. 
   Определяем внутренние усилия во всех стержнях фермы. Выполним предварительные расчеты:
   

;

;

Вычисляем усилия в стержнях фермы:

	(способ вырезания узлов) , (способ вырезания узлов) , ,
	(по признакам)
	(способ моментной точки) (способ моментной точки)
	(по признаку 3)
	(способ моментной точки) (способ моментной точки) =
	(по признаку 3)

Так как ферма симметричная и нагрузка, приложенная к ферме, также симметричная, то усилия в симметрично расположенных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только половину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии. Результаты аналитического расчета фермы приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Результаты аналитического расчета

№ стержня	Ni усилие (т)	деформация		№ стержня	Ni усилие (т)	деформация
1-2	-14,142	сжатие		7-9	11,4	растяжение
1-3	10	растяжение		6-9	2,624	растяжение
2-4	-13,44	сжатие		8-9	0	-
2-3	3	растяжение		6-8	-13,44	сжатие
2-5	3,889	растяжение		9-11	10	растяжение
3-5	10	растяжение		9-10	3,889	растяжение
4-6	-13,44	сжатие		10-11	3	растяжение
4-5	0	-		8-10	-13,44	сжатие
5-6	2,624	растяжение		11-12	10	растяжение
5-7	11,4	растяжение		10-12	-14,142	сжатие
6-7	4	растяжение

5. 
   Построение диаграммы Максвелла-Кремоны .
   

1. 
   Вычерчиваем ферму в масштабе, прикладывая внешние силы, реакции опор.
   
2. 
   Обозначаем внешние поля цифрами 1,2,3,4,5,6,7 и внутренние поля буквами а,б,в,г,д,е,ж,з,и,к . При этом будем обходить ферму строго по часовой стрелке.
   
3. 
   Аналитическим способом определяем реакции: V₁ = 10(кН), V₁₂ = 10(кН)
   
4. 
   В принятом масштабе сил (1см =1кН – масштаб можно выбирать любой, но чем крупнее он , тем точнее расчет), обходя ферму по часовой стрелке, строим из заданных (F₁ , F₂ , F₃ , F₄ , F₅) и реактивных (V₁,V₁₂)сил замкнутый силовой многоугольник (силовую линию) 1-2-3-4-5-6-7-1. Из точки 1 откладываем вверх V₁₂, получаем точку 2 (по ходу часовой стрелки за полем 1 идет сила V₁₂). Потом из полученной точки 2 вниз (направление силы) откладываем F₅ (по ходу часовой стрелки за полем 2 идет сила F₅), получаем точку 3. Далее 3 – F₄ (вниз) – 4 – F₃ (вниз) – 5 – F₂ (вниз) – 6 – F₁ (вниз) – 7 – V₁ (вверх) – 1.
   
5. 
   Для нахождения точки а из точки 1 проводим прямую параллельную стержню а1 , а через точку 7 прямую - параллельную стержню а7. Точка пересечения прямых а1 и а7 - точка а.
   

Далее через полученную точку а проводим прямую параллельную стержню аб, а через точку 6 - прямую параллельную стержню б6. На пересечении прямых аб и б6 получим точку б.

Далее через полученную точку б проводим прямую параллельную стержню бв, а через точку 1 - прямую параллельную стержню в1. На пересечении прямых бв и в1 получим точку в.

Далее через полученную точку в проводим прямую параллельную стержню вг, а через точку 1 - прямую параллельную стержню г1. На пересечении прямых вг и г1 получим точку г (точки в и г совпали).

Далее через полученную точку г проводим прямую параллельную стержню гд, а через точку 5 - прямую параллельную стержню д5. На пересечении прямых гд и д5 получим точку д.

Далее через полученную точку д проводим прямую параллельную стержню де, а через точку 4 - прямую параллельную стержню е4. На пересечении прямых де и е4 получим точку е.

Далее через полученную точку е проводим прямую параллельную стержню еж, а через точку 1 - прямую параллельную стержню ж1. На пересечении прямых еж и ж1 получим точку ж.

Далее через полученную точку ж проводим прямую параллельную стержню жз, а через точку 1 - прямую параллельную стержню з1. На пересечении прямых жз и з1 получим точку з ( точки ж и з совпали) .

Далее через полученную точку з проводим прямую параллельную стержню зи, а через точку 3 - прямую параллельную стержню и3. На пересечении прямых зи и и3 получим точку и.

Далее через полученную точку и проводим прямую параллельную стержню ик, а через точку 1 - прямую параллельную стержню к1. На пересечении прямых ик и к1 получим точку к (прямая параллельная стержню к2 также должна пройти через точку к). Полученная диаграмма приведена на рисунке 1.

6. 
   Измеряем длину отрезка а1 на диаграмме в масштабе сил. Полученная длина будет являться величиной усилия в стержне а1. Длина отрезка а7 – величина усилия в стержне а7, длина отрезка аб – величина усилия в стержне аб и т.д.. На диаграмме точки в и г совпали, значит длина отрезка вг равна 0, а следовательно усилие в стержне вг равно 0 (аналогично усилие в стержне жз равно 0).
   

На схеме фермы обходим по часовой стрелке узел в котором сходятся стержни а1 и а7, устанавливая при этом название каждого из стержней. Получаем 1а (так как по часовой стрелке сначала идет поле 1, а потом поле а). Таким образом, движение на диаграмме должно идти от точки 1 к точке а, мысленно переносим это направление на схему фермы в заданный узел. Получается, что усилие направленно в узел, а следовательно оно сжимающее и имеет знак минус. Для стержня - а7 ( сначала поле а, потом поле 7). Таким образом, движение на диаграмме должно идти от точки а к точке 7, мысленно переносим это направление на схему фермы в заданный узел. Получается, что усилие направленно из узла и следовательно, оно растягивающее и имеет знак плюс. Аналогичным образом определяем знаки всех усилий в стержнях фермы.

Таким образом, обходя каждый узел фермы по часовой стрелке, определяем знаки усилий во всех стержнях фермы.

7. 
   Полученные результаты графического расчета также сведем в таблицу 2.
   

Вывод: Сравнивая результаты аналитического расчета и графического расчета, видим, что результаты получились аналогичными с допустимой относительной погрешностью не более 3%.
Таблица 2 – Результаты графического расчета

№ стержня	Ni усилие (т)	деформация		№ стержня	Ni усилие (т)	деформация
а1	-14,2	сжатие		е4	11,5	растяжение
а7	10	растяжение		еж	2,6	растяжение
в1	-13,4	сжатие		жз	0
аб	3	растяжение		ж1	-13,4	сжатие
бв	3,9	растяжение		и3	10	растяжение
б6	10	растяжение		из	3,9	растяжение
г1	-13,4	сжатие		ик	3	растяжение
вг	0			з1	-13,4	сжатие
гд	2,6	растяжение		к2	10	растяжение
д5	11,5	растяжение		к1	-14,2	сжатие
де	4	растяжение

Рисунок 1 – Диаграмма Максвелла – Кремоны

6. 
   Построение линий влияния
   

1. 
   Линия влияния V₁
   

Так как зависимость линейная, то достаточно двух точек для построения линии:

х = 0 → V₁ = 1, х = l → V₁ = 0

Итак под узлом 1, на левой опорной вертикали, откладываем 1 (F находится в узле 1), а под узлом 12, на правой опорной вертикали - нуль ( F находится в узле 12). Полученные точки соединяем прямой линией.

Полученное очертание является линией влияния опорной реакции V₁

2. 
   Линия влияния V₁₂ .
   

Так как зависимость линейная, то достаточно двух точек:

х = 0 → V₁₂ = 0, х = l → V₁₂ = 1

Итак под узлом 1, на левой опорной вертикали, откладываем нуль (F находится в узле 1), а под узлом 12, на правой опорной вертикали - 12 ( F находится в узле 12). Полученные точки соединяем прямой линией.

Полученное очертание является линией влияния опорной реакции V_12.

3. 
   Линии влияния усилий N₆₈ , N₆₉ , N₇₉ (способ моментной точки)
   

Так как ферма с ездой понизу, следовательно, подвижный единичный груз будем перемещать по нижнему поясу фермы. Выведем функциональные зависимости для заданных усилий, попавших в сечение.

а) F находится левее сечения ( F в узлах 1,3,5,7). Рассматриваем равновесие

правой отсеченной части фермы.

1. 
   линия влияния N₆₈
   

2. 
   л
   иния влияния N₆₉
   

3. 
   линия влияния N₇₉
   

б
) F находится правее сечения (F в узлах 9,11,12). Рассматриваем равновесие левой отсеченной части фермы.

1. 
   линия влияния N₆₈
   

2. 
   линия влияния N₆₉
   

3. 
   линия влияния N₇₉
   

в) Построение линии влияния N₆₈ :

1) строим линию N₆₈ = -3,162 V₁ также как линию влияния V₁, только все ее значения умножены на коэффициент (–3,162), т.е переворачиваем линию вниз. На эту линию сносим узлы 9,11,12 – получаем 1 правую прямую;

2) строим линию N₆₈ = -1,581 V₁₂ также как линию влияния V₁₂, только все ее значения умножены на коэффициент ( -1,581) (перевернута вниз). На эту линию сносим узлы 1,3,5,7 – получаем 1 левую прямую;

3) полученные вершины первой правой и первой левой прямой соединяем передаточной прямой (вершины под узлами 7 и 9). Полученное очертание и есть линия влияния N₆₈

г) Построение линии влияния N₆₉ :

1) строим линию N₆₉ = 2,332V₁ также как линию влияния V₁, только все ее значения умножены на коэффициент 2,332 . На эту линию сносим узлы 9,11,12 – получаем 1 правую прямую;

2) строим линию N₆₉ = - 0,583V₁₂ также как линию влияния V₁₂, только все ее значения умножены на коэффициент (- 0,583) (перевернута вниз). На эту линию сносим узлы 1,3,5,7 – получаем 1 левую прямую;

3) полученные вершины первой правой и первой левой прямой соединяем передаточной прямой (вершины под узлами 7 и 9). Полученное очертание и есть линия влияния N₆₉

д) Построение линии влияния N₇₉ :

1) строим линию N₇₉ = 1,8V₁ также как линию влияния V₁, только все ее значения умножены на коэффициент 1,8 . На эту линию сносим узлы 9,11,12 – получаем 1 правую прямую;

2) строим линию N₇₉ = 1,8V₁₂ также как линию влияния V₁₂, только все ее значения умножены на коэффициент 1,8 . На эту линию сносим узлы 1,3,5,7 – получаем 1 левую прямую;

3) полученные вершины первой правой и первой левой прямой соединяем передаточной прямой (вершины под узлами 7 и 9). Полученное очертание и есть линия влияния N₇₉

Линии влияния опорных реакций и внутренних усилий приведены на рисунке 2.

Р
исунок 2 – Линии влияния опорных реакций и внутренних усилий.

7. 
   О
   пределение опорных реакций и внутренних усилий по линиям влияния.
   

,



,



,



,

.

Вывод: полученные результаты аналитического расчета , графического расчета и определение усилий по линиям влияния совпадают с точностью допустимой погрешности (не более 3%).