Примерныйвариант экзаменационного (зачетного) билета 1. Вычислить . Результат изобразить на комплексной плоскости.
2. Доказать, что векторы вида (a, b-a, 2a+b), a,b R, образуют линейное подпространство в пространстве . Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
3. В пространстве линейный оператор – оператор проектирования на ось OZ. Найти матрицу оператора в базисе (i, j, k). Найти образ вектора x= 2i – j + 3k. Найти ядро и образ оператора . Существует ли обратный оператор?
4. Квадратичную форму привести к каноническому виду методом Лагранжа. Найти положительный, отрицательный индексы и ранг формы. Исследовать на знакоопределенность по каноническому виду и по критерию Сильвестра.
5. Матрица Грама в базисе имеет вид . Найти длины базисных векторов и угол между ними. Ортогонализировать базис . Сделать проверку с помощью матрицы перехода.
6. Теоретический вопрос (из списка теоретических вопросов).
7. Разложить многочлен 2 на линейные множители.
8. В пространстве многочленов степени не выше 2 оператор действует по правилу (p(t)) =t (t)-2p(t-1). Показать линейность оператора. Найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе S=( . |