|
|
ОТУ_5_лабораторная_работа. Работа 5 Построение логарифмических частотных характеристик систем автоматического регулирования
Работа № 5
Продолжительность работы – 4 часов.
Цель работы
Получение навыков расчета частотных характеристик элементарных линейных звеньев. Исследование особенностей построения частотных характеристик (вещественных, мнимых, амплитудно-частотных, фазовых) и реальных и идеальных (асимптотических) логарифмических частотных характеристик элементарных линейных звеньев, построение характеристик с применением пакета символьной математики Mathcad.
Теоретическое обоснование
При практических расчетах СУ удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмических координатах. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют наименьшую кривизну и могут быть приближенно заменены ломанными линиями, составленными из нескольких отрезков. Причем эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений, при помощи некоторых простых правил. Кроме того в логарифмической системе координат легко находятся характеристики различных соединительных элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.
 Логарифмическая частотная характеристика (ЛАЧХ) – частотная характеристика в логарифмическом масштабе.
L( ), ДБ Октава
20
10
-1 0 1 2 lg
0,1 0,5 1 2 5 10 100
-10 Декада
-20
За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервалы частоты, заключенный между произвольным значением ωi и его десятикратным значением 10ωi. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.
Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)
L(ω)=20lg{W(ω)}
Ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – Белах или децибелах(дБ).
1 Бел = 10 дБ
1 Бел – единица измерения мощностей двух сигналов.
 - ЛАЧХ
из передаточной функции  системы заменой комплексной переменной s на  может быть получена функция, называемая комплексным коэффициентом передачи системы
комплексный коэффициент передачи может быть представлен в двух видах:
 ,
 ,
где  и  - вещественная и мнимая частотные характеристики системы,
 и  - амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики системы.
Связь между этими частотными характеристиками определяется формулами
Амплитудно-частотная характеристика системы является модулем комплексного коэффициента передачи  , а фазовая частотная характеристика - его аргументом 
В частотной области динамические свойства линейных звеньев характеризуются амплитудно-частотной  (АЧХ) и фазочастотной  (ФЧХ) характеристиками. Эти характеристики связаны с передаточной функцией  соотношениями
где  - комплексный коэффициент передачи,
 - комплексная переменная
При анализе и синтезе систем управления используются логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ).
Функция  называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). По оси абсцисс ЛАЧХ строится в десятичном масштабе частот  , а по оси ординат -  Единицей измерения  является децибел (дБ), а единицей измерения интервала частоты - декада. Декада - интервал частоты, на котором она изменяется в десять раз.
Логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ) называется фазовая частотная характеристика  , построенная в десятичном масштабе частот lg ω. Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) измеряется в радианах или градусах.
Низкочастотная асимптота ЛАЧХ  представляет собой предел
Высокочастотная асимптота ЛАЧХ  есть предел логарифмической АЧХ
Асимптотической ЛАЧХ является характеристика, составленная из асимптот.
Разность между действительной  и асимптотической  ЛАЧХ есть поправка 
Частота  , на которой сопрягаются различные асимптоты, называются частотой сопряжения.
Для ЛАЧХ, составленных из трех и более участков асимптот, существует несколько частот сопряжения ωс1, ωс2, ωс3, и т.д. Обычно частоты сопряжения нумеруются в порядке возрастания, т.е. ωс1<ωс2<ωс3<… Наибольшая разность  имеет место на частоте спряжения ωсi. Поэтому именно в ее окрестностях следует учитывать поправку.
Построение логарифмических частотных характеристик сложных систем
Методика построения ЛАЧХ сводится к следующим этапам:
ЛАЧХ строится по W(s) разомкнутой части системы.
Определить коэффициент пропорциональности системы К и 20lgК ;
Определить частоты сопряжения элементарных звеньев и определить lgwс, где wс- соответствующие частоты сопряжения;
Расположить элементарные звенья по возрастанию частот сопряжения wс и lgwс;
Задаться наклоном +20дБ/дек или -20дБ/дек и кратным им наклонам в масштабе координатной плоскости;
Если передаточная функция разомкнутой части системы содержит n одинаковых звеньев, то наклон ЛАЧХ будет увеличен в n раз.
Методику построения ЛАЧХ системы можно разделить на четыре типа по особенностям системы управления:
Ниже представлены частотные характеристики и асимптотические ЛАЧХ и методика их расчета для типовых звеньев.
Пропорциональное звено
Передаточная функция пропорционального звена может быть представлена выражением
 (4.1.)
Из формулы (4.1.), выполнив замену  , можно найти комплексный коэффициент передачи пропорционального звена  вещественную частотную характеристику  мнимую частотную характеристику  амплитудно-частотную характеристику  и фазовую частотную характеристику  .
Действительная логарифмическая амплитудно-частотная характеристика пропорционального звена будет равна  .
Она совпадает с асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристикой пропорционального звена равна
 ,
Логарифмическая фазочастотная характеристика пропорционального звена равна
 .
График  показан на рис. 5.1. Для этого звена асимптотическая ЛАЧХ  совпадает с истинным во всем диапазоне частот ω.
Для определения коэффициента усиления нужно измерить значение  в децибелах (дБ) и записать соотношение  , из которого можно найти значение коэффициента пропорциональности  .
Логарифмическая фазочастотная характеристика пропорционального звена совпадает с осью абсцисс (рис.5.2).
Интегрирующее звено
Передаточная функция интегрирующего звена равна
 .
Из формулы передаточной функции интегрирующего звена, выполнив замену , можно найти
комплексный коэффициент передачи
вещественную частотную характеристику
мнимую частотную характеристику
амплитудно-частотную характеристику
и фазовую частотную характеристику
Годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) интегрирующего звена, зависимость Q() от P(), представляет собой прямую линию, совпадающую с мнимой осью.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика интегрирующего звена равна
 .
Логарифмическая фазочастотная характеристика интегрирующего звена равна
На рис. 5.3. представлен график  . Эта характеристика имеет следующие особенности:
наклон равен -20 дБ/дек во всем диапазоне частот,
н
а частоте =1 значение равно  , т.е.  .
Ф
азочастотная характеристика  постоянна во всем диапазоне частот  < < и равна  (рис.4.4.)
Для оценки коэффициента  по следует воспользоваться соотношением  .
Дифференцирующее звено
Уравнение работы дифференцирующего звена имеет следующий вид:
 .
Дифференцирующим звеном является конденсатор, ток в котором i(t) определяется соотношением  а также тахогенератор постоянного тока, вырабатывающий напряжение  пропорциональное производной от угла поворота (t).
Преобразуя уравнение динамики по Лапласу, получаем  откуда найдем передаточную функцию звена:
где 
Итак, передаточная функция дифференцирующего звена равна
 .
Из передаточной функции дифференцирующего звена могут быть найдены все его частотные характеристики:
комплексный коэффициент передачи
вещественная частотная характеристика
мнимая частотная характеристика
амплитудно-частотная характеристика
и фазовая частотная характеристика
Годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) дифференцирующего звена, зависимость Q() от P(), представляет собой прямую линию, совпадающую с положительным направлением мнимой оси (от 0 до  ).
Для нахождения действительной ЛАЧХ прологарифмируем амплитудно-частотную характеристику:
О
тсюда следует, что логарифмическая амплитудно-частотная характеристика дифференцирующего звена является прямой линией с наклоном +20 дБ/дек (рис.5.5).
Логарифмические частотные характеристики имеют следующие особенности.
Наклон  равен +20 дБ/дек во всем диапазоне частот  < < .
на частоте  значение равно , т.е. 
ф
азочастотная характеристика  дифференцирующего звена постоянна во всем диапазоне частот < < и равна  (рис.4.6.):
 .
Для оценки коэффициента пропорциональности по логарифмической амплитудно-частотной характеристике  следует измерить значение  и воспользоваться соотношением .
Инерционное (апериодическое) звено первого порядка
Передаточная функция инерционного звена равна
 .
Комплексный коэффициент передачи звена будет:
Для нахождения вещественной и мнимой частотных характеристик инерционного звена представим это выражение в следующем виде:  отсюда получим вещественную и мнимую частотные характеристики инерционного звена  ,  . Из полученных зависимостей следует, что функция  - четная, а функция  - нечетная.
Для нахождения годографа АФЧХ инерционного звена, зависимости Q4() от P4(), найдем уравнение в функции от переменных и .
Получим  . Подставляя это выражение в формулу для Q4(), находим:  . Преобразуя эту зависимость, имеем:  . Таким образом, годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) инерционного звена представляет собой окружность
Учитывая известную связь между частотными характеристиками найдем амплитудно-частотную и фазовую частотные характеристики:
 .
Действительная логарифмическая амплитудная частотная характеристика равна
Характеристика  имеет низкочастотную  и высокочастотную  асимптоты, которые сопрягаются на частоте сопряжения  .
Низкочастотная асимптота ЛАЧХ инерционного звена представляет собой предел, при этом  и второе слагаемое ЛАЧХ равно нулю.
Высокочастотная асимптота ЛАЧХ находится как из условия  . Тогда  и
 .
Асимптотической ЛАЧХ является характеристика, составленная из асимптот - двух прямых линий: и
Графики  и показаны на рис. 5.7.
Эти характеристики имеют следующие особенности:
низкочастотная асимптота  имеет 0 наклон,
высокочастотная асимптота  имеет наклон–20 дБ/дек,
асимптоты и сопрягаются на частоте сопряжения  .
фазочастотная характеристика на частоте сопряжения принимает значение 
при уменьшении частоты относительно частоты сопряжения фазочастотная характеристика стремиться к нулю;
при увеличении частоты относительно частоты сопряжения фазочастотная характеристика стремиться к значению  .
рис. 5.7. Асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика инерционного звена
Для оценки неизвестных значений параметров K и T по ЛАЧХ необходимо построить низкочастотную асимптоту, имеющую нулевой наклон, и высокочастотную асимптоту, имеющую отрицательный наклон -20 дБ/дек. Точка пересечения этих асимптот дает частоту сопряжения и ординату, соответствующую значению , т.е. на частоте значение  равно .
Параметр K находится по формуле  .
для определения значения T нужно воспользоваться выражением  или  ,  .
Пример расчета асимптотических логарифмических частотных характеристик. Задана передаточная функция инерционного типового звена первого порядка: W(s)=k/(Ts+1), требуется рассчитать и построить асимптотическую ЛАЧХ.
Решение.
1. Заменим s на jω с учетом того, что  и путем несложных преобразований получим : W(jω)=k/(Tjω +1)
2. Запишем выражение амплитуды W(ω):
3. Запишем выражение ЛАЧХ L(ω):
Следовательно, в низкочастотной области
Следовательно, в области высокой частоты
4. Частоты, соответствующие точкам сопряжения отрезков, называются сопрягающими и обозначаются ωс=1/Т
5. Строим график ЛАЧХ:
 L( ), дБ
20
20lgk -20дБ\дек
10
lg
0,1 0,5 ωс=1/Т 1 2 5 10 100
-10
-20 Низкочастот- Высокочастотная область
ная область
Порядок выполнения работы
В соответствии с вариантом задания в табл.4.1. произвести построение частотных характеристик типовых звеньев первого порядка и графоаналитическим способом рассчитать их параметры.
Вычисление частотных характеристик звена или системы
Пусть задана передаточная функция звена, например:
Найдём комплексный коэффициент передачи, заменив переменную s на j Для этого введём мнимую единицу  .
Для этого заменим s (оператор Лапласа) на (jω) : с учетом того, что  и путем несложных преобразований - подстановку комплексной переменной и перемножение числителя и знаменателя на комплексно сопряженное число получим:
 ,
Избавляясь от мнимой единицы j в знаменателе (иррациональности), получаем комплексный коэффициент передачи в виде:
 .
Вещественная часть ККП:
|
Мнимая часть ККП:
|
 .
|
 .
|
Запишем комплексный коэффициент передачи формальной заменой s на jω в передаточной функции разомкнутой системы и выведем полученное выражение на экран с помощью «символьной стрелки», вызываемой также из палитры Символьные операторы:
Для нахождения вещественной и мнимой частотных характеристик звена воспользуемся стандартными функциями Mathcad: Re() и Im() соответственно:
 ,
Для нахождения вещественной и мнимой частей выражения в Mathcad имеются специализированные встроенные функции:
Выбрать из командной строки опцию «вставка функции» f(x) и из предложенного списка слева – категория функции – комплексные числа (Complex Number), из предложенного списка справа – имя функции Re() или Im() – далее клик по кнопке «ОК» или «добавить».
Однако возможности Mathcad не позволяют сразу получить комплексный коэффициент передачи в виде суммы вещественной и мнимой частей.
При этом следует учесть, что комплексный коэффициент передачи может быть представлен в виде
 ,
где  - вещественная часть комплексного коэффициента передачи,
 - мнимая часть комплексного коэффициента передачи.
Тогда мнимая и вещественная части будут равны:
Для построения годографа АФЧХ звена зададим диапазон и шаг изменения аргумента (частоты), воспользовавшись знаком «многоточие», вызываемым с помощью символа «;»:
Далее из палитры Инструменты графиков вызовем поле декартовых координат (Ctrl+2), где в позиции на оси абсцисс запишем P(ω), а на оси ординат – Q(ω):
Для построения вещественной и мнимой частотных характеристик звена зададим диапазон и шаг изменения аргумента (частоты), воспользовавшись знаком «многоточие», вызываемым с помощью символа «;»:
: =0, 0.1 .. 1000
Далее из палитры Инструменты графиков вызовем поле декартовых координат (Ctrl+2), где в позиции на оси абсцисс запишем , а на оси ординат –P(ω) или Q(ω):
Теперь определим амплитудную-частотную (АЧХ) и фазовую частотную (ФЧХ) характеристики. По определению, АЧХ вычисляется как модуль комплексного коэффициента передачи, а ФЧХ - как его аргумент:
 
Действительная логарифмическая АЧХ в соответствии с определением вычисляется по формуле :
Д
ля построения логарифмических частотных характеристик из палитры Инструменты графиков вызовем поле координат (Ctrl+2), где в позиции на оси ординат запишем логарифмическую АЧХL() или фазовую частотную характеристику (), а на оси абсцисс задаем логарифмический масштаб - lg.
Далее произвести построение асимптотических логарифмических частотных характеристик системы автоматического регулирования по вариантам заданий 4-ой лабораторной работы в соответствии с методикой изложенной выше в п.4.2.4.
|
|
|
Скачать 1.02 Mb.