Расчетно-рафическая работа 1. Расчет на прочность и жесткость брусьев при осевом растяжении
 Скачать 261.26 Kb.
|
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Уфимский государственный авиационный технический университет Кафедра: Сопротивление материалов Расчетно-графическая работа 1на тему: Расчет на прочность и жесткость брусьев при осевом растяжении Вариант 6 Выполнил: студент группы ПТМ-204 Муратшин А. Р. Проверил: Ермоленко А. И. Уфа 2019 Задание №1.1 «Проектировочный расчет на прочность и жесткость ступенчатого стержня при растяжении-сжатии» Исходные данные: F(кН) = 60 q(кН/м) = 40 l1(м) = 1,6, l2(м) = 0,4, l3(м) = 0,2 А1/А0 = 1,9, А2/А0 = 1,5, А3/А0 = 1,3 Материал 30ХГСА          А1 q А2 2q А3       F  l1 l2 l3Рис.1. Схема ступенчатого стержня В соответствии с вариантом составить расчетную схему ступенчатого стержня в масштабе.    А1q А2 2q А3                 F     Bz1 Cz2 D z3H   l1 l2 l3 Рис. 2. Расчетная схема Ступенчатого стержня в масштабе 2. Выполнить и описать расчет на прочность за данной конструкции: −ZB +ql1 + 2ql2 + F = 0, ZB = ql1 +2ql2 + F = 40 ∙ 1,6 +2 ∙ 40 ∙ 0,4 + 60 = 156 кН. Определить функции продольной силы N(z) на расчетных участках стержня и построить их эпюры.        ZB N(z1) ZB N(z2) N(z3) F         B l1 z2 C l3 D z3 H    Рис. 3. Схемы расчетных участков стержня 0 ≤ z1 ≤ l1: ∑Z = 0, −ZB + qz1 + N(z1) = 0, N(z1) = ZB − qz1, N(z1 = 0) = ZB – q ∙ 0 = 156 – 0 = 156 кН; N(z1 = l1) = ZB – q ∙ 1,6 = 156 – 40 ∙ 1,6 = 156 −64 = 92кН; 0 ≤ z2 ≤ l2: ∑Z = 0, − N(z2) + 2qz2 + F = 0, N(z2) = 2qz2 + F, N(z2 = l2) = 2ql2 + F = 2 ∙ 40 ∙ 0,4 + 60 = 92 кН; N(z2 = 0) = 2q ∙ 0 + F = 0 + 60 = 60 кН; 0 ≤ z3 ≤ l3: ∑Z = 0, − N(z3) + F = 0, N(z3) = F = 60 кН. 2.2. Найти значения нормальных напряжений σ(z) на расчетных участках стержня (в долях от A) и построить их эпюры.  σ(zi) = N(zi)/Ai = N(zi)/(kiA0), σ(zi)A0 = N(zi)/ki = N(zi)/(Ai/A0), σ(z1)A0 = N(z1)/(A1А0) = z1 = 0, 156/1,9 = 82,1 кН,  z1 = l1, 92/1,9 = 48,4 КН; σ(z2)A0 = N(z2)/(A2/А0) = z2 = 0, 92/1,5 = 61,3 кН, z2 = l2, 60/1,5 = 40 кН; σ(z3)A0 = N(z3)/(A3/А0) = 60/1,3 = 46,2 кН. 2.3. Установить и обосновать положение опасного сечения. Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. В этой задаче максимальное нормальное напряжение равно 82,1 кН в сечении B. Значит, сечение в заделке B опасное. 2.4. Определить допускаемое напряжение и обосновать его выбор. Допускаемым напряжением является максимальное напряжение, при котором выполняются условия прочности и жесткости конструкции. [σ] = σ0,2/n, где [σ] — допускаемое напряжение, σ0,2 = 850 Мпа — условный предел текучести материала, n — коэффициент запаса прочности (для пластичных материалов n = 1,5 – 3,0 ). Примем n = 2, тогда [σ] = 850/2 = 425 Мпа. Запас прочности системы, нагруженной силами F: 2.5. Записать условие прочности в опасном сечении и определить параметр площади A0. Запишем условие прочности: |σ(z)|max ≤ [σ]. Подставив в условие прочности полученные значения и выразив его относительно A0, получим: A0 = 82,1 кН/[σ] =82,1 ∙ 103/(425 ∙ 106) = 0,193176 мм2. В соответствии с условием прочности, значение площади поперечного сечения примем равным 193,2 мм2. Рассчитаем площадь поперечного сечения каждой ступени стержня: A1 = 1,9 A0 = 1,9 ∙193,2 = 367,08 мм2, A2 = 1,5 A0 = 1,5 ∙193,2 = 289,8 мм2, A3 = 1,3 A0 = 1,3 ∙193,2 = 251,16 мм2. Найденные значения площадей поперечного сечения обеспечивают выполнение условия прочности. 2.6. Построить эпюры действующих нормальных напряжений. Рассчитаем значения нормальных напряжений на каждом из расчетных участков и построим эпюру:  σ(z1) = N(z1)/A1 = z1 = 0: 156,0 ∙ 103/367 ∙ 103 = 424,98 МПа, z1 = l1: 156,0 ∙ 103/367 ∙103 =250,63 МПа;  σ(z2) = N(z2)/A2 = z2 = l2: 92,0 ∙ 103/289,8 ∙ 10−6 = 317,46 МПа,z1 = 0: 60,0 ∙ 103/289,8 ∙ 10−6 = 207,04 МПа; σ(z3) = N(z3)/A3 = 60,0 ∙ 103/251,16 ∙ 10−6 = 238,89 МПа. 3. Выполнить и описать расчет на жесткость заданной конструкции. 3.1. Записать функции линейных перемещений произвольного сечения на расчетных участках стержня. Построить эпюры перемещений. Δli =  (zi)dzi0 ≤ zi ≤ l1: Δl1 = (z1)dz1 =  (ZB – qz1)dz1 =  (ZB – qz1/2)|0l1 ==  = 2,829 ∙ 10−3 м = 2,829 мм;Δl2 =  (z2)dz2 =  (2qz2 + F)dz2 = (2q + F) ==  = 0,37858301785 ∙ 10−5 = 3,7858 ∙ 10−6 м = 0,0038 мм;Δl3 =  (z3)dz3 =  Fdz3 = Fdz3 =  == 0,162 ∙ 10−6 м = 0,0016 мм. Расчет осевых перемещений производим по формуле wi = w0 + Δli, где wi — перемещение в сечении, соответствующем концу расчетного участка, w0 — перемещение в начале расчетного участка, Δli — удлинение данного расчетного участка. Исходя из этого, перемещения, возникающие вдоль оси, будут положительными, а перемещения против направления оси — отрицательными. Граничным условием является перемещение в сечении B, где расположена жесткая заделка, т. е. перемещение отсутствует: wC = 0. Определим перемещение на первом расчетном участке: wC = wB + Δl1: wC = 0 + 2,829 ∙ 10−3 = 2,829 ∙ 10−3 м. Определим перемещение на втором расчетном участке: wD = wC + Δl2: wD =2,829 ∙ 10−3 + 3,7858 ∙ 10−6 = 2,8327858 ∙ 10−3 м. Определим перемещение на третьем расчетном участке: wH = wD + Δl3: wH = 2,8327858 ∙ 10−3 + 162 ∙ 10−6 = 0,0029947858 ∙ 10−3 м. Построим эпюру осевых перемещений. 3.2. Вычислить допускаемые перемещения торцевых сечений. Стержень состоит из трех участков. В пределах первого из них в сечении, находящемся на расстоянии l1 от закрепленного конца (0 ≤ z1 ≤ l1), продольная сила, нормальное напряжение и относительное удлинение не зависят от координаты z, т. е. от положения сечения, и имеют следующие значения: N(z1) = F – q(z1); σ =  ; ε =  =  .Перемещение сечения, находящегося на расстоянии x от закрепленного конца стержня, w (zi) = εz =  .Следовательно, перемещения изменяются по линейному закону. В начальной и конечной точках участка они имеют следующие значения: при z1 = 0 wB = 0; при z1 = l1 wB = =  = 3,27242977911 ∙ 10−4 м.Аналогично, на втором участке (0 ≤ z2 ≤l2) N(z2) = 2F + 2qz2; σ =  =  ; ε = =  .Перемещение сечения, находящегося на расстоянии x от закрепленного конца стержня, w (z2) = εz =  .Следовательно, перемещения изменяются по линейному закону. В начальной и конечной точках участка они имеют следующие значения: В начале второго участка, при z2 = 0 wC = wB = 3,239042170644 ∙ 10−10 мм; В конце второго участка, при z2 = l2 wC =wB +  = 3,27242977911 ∙ 10−10 +  = 3,27242977911 ∙ 10−10 + 3,243616287094 ∙ 10−10 = 6,516046066204 ∙ 10−10 мм.На третьем участке (0 ≤ z2 ≤l2): N(z)3 = F; σ =  ; ε = =  .Перемещение сечения z, находящегося на расстоянии z от конца B: w(z3) = εz = .  = 1,194457716196 ∙ 10−4 м.В начале третьего участка, при z3 = 0 wH = wC = 6, 516046066204 ∙ 10−10 мм. В конце третьего участка, при z3 = l3 wH = wC + = 3,239042170644 ∙ 10−10 +  = 3,239042170644 ∙ 10−10 + 1,194457716196 ∙ 10−10 = 3,3584879422636 ∙ 10−10 мм.Эпюры N, σ, ε и w изображены на рис. 4. Эпюра позволяет определить изменение расстояния между любыми двумя сечениями стрежня, следовательно, и изменение длины любого его участка. Определим, например, изменение длины второго участка стержня. Для этого из перемещения сечения в конце участка (сечение D) нужно вычесть перемещение сечения в начале участка (сечение H). В результате получим ΔlCD =  − wB = =  =3,657694962042 ∙ 10−10 мм. 3.3. Записать условие жесткости для линейных перемещений. При необходимости уточнить значение площади A и уточнить фактический запас прочности конструкции. Запишем условие жесткости: Δlmax = Nl/EA ≤ [Δl], где Δl — изменение размеров детали;[Δl] — допускаемое удлинение стержня. Уточним значение площади A: A = 3,3584879422636 ∙ 10−10 мм = 0,0033584879422636 ∙ 10−13 м. Уточним фактический запас прочности конструкции: 0,0033584879422636 ∙ 10−13 м ≤  м == 3, 5186335403726 ∙ 10−4 м. А1 q А2 2q А3F     Bz1 Cz2 D z3H  l1 l2 l3  156   92 60 60  0 0 ЭN(z) кН а  82,1 61,3  48,4 40,0 40,0 0 0 Эσ(z)A, кН б   424,98 250,63 317,46 207,04 207,04  0 0 Эσ(z), МПа в   6, 516 ∙ 10−10  3,272 ∙ 10−4 3,358 ∙ 10−10 3,239 ∙ 10−4  0 0 Эw(z), м г Рис. 4. Расчетная схема ступенчатого стержня в масштабе (а) и эпюры: продольных сил (б), нормальных напряжений в долях от площади A поперечного сечения (в), нормальных напряжений (г). 4. Сделать выводы о прочности и жесткости рассчитанного стержня. Рассмотрены методы решения статически определимых задач при растяже-нии-сжатии. Условия прочности и жесткости выполняются. Задание №1.2 «Проверочный расчет на прочность статически неопредели-мой стержневой системы при растяжении-сжатии». Исходные данные: F1 (кН) = 30, F2 (кН) = 40 l1 (м) = 1,2, l2 (м) = 1,6 Материал 40 ХНМА A (см2) = 13, α (град) = 20, K = 1,5  F1            A A l1   20° α/2 20° l2 kA kA  Рис. 1. Схема нагруженной рамы В соответствии с вариантом составить расчетную схему стержневой системы в масштабе.  y    F1 F ΔlBE = ΔlBF                 B              l1 x ΔlBC = ΔlBD Nc ND   A 20° α/2 20° l2 NB NF  C kA kA D C 20° α/2 20° D  E F E Fа б в Рис. 2. Расчетная схема стержня Из расчетной схемы конструкции, а также из допущения о том, что шарниры в узлах идеальные, следует, что при нагружении подвески в узле B силой F в стер- жнях будут возникать только осевые сжимающие усилия. Выполнить и описать расчет на прочность заданной конструкции. Подбор площади поперечного сечения стержня при растяжении (проектирово-чный расчет) проводят по условию прочности:  ,откуда, если известно усилиеN, определяют необходимую площадь:  .Найдем усилия в стержнях подвески. Конструкция один раз статически нео-пределима, так как имеет одну лишнюю связь. Статическая сторона задачи. Условие равновесия узла выражается двумя уравнениями статики: ΣX = NC  − ND + NE −NE = 0;ΣY = −F + NC  + ND + NE + NE = 0.Из первого уравнения следует, что NС = ND . В результате остается одно второе уравнение, содержащее три неизвестных усилия:2NC + 2NE = F. (1)Геометрическая сторона задачи. Так как система симметрична относитель-но оси среднего стержня и боковые стержни растягиваются одинаковыми силами, то узел B при деформации подвески опустится по вертикали на какую-то величину δ. Новое положение узла будет B1 (рис. 2, в). Все стержни удлинятся и займут положение, показанное на рис. 2, в штриховыми линиями. Удлинение средних стержней, очевидно, будет  . Удлинения боковых стержней получим, если из точек E и F радиусом, равным BE (или BF), проведем дуги через точку A и сделаем засечки на новых длинах стержней BC1 и BD1. Вследствие того, что упру-гие удлинения очень малы по сравнению с длинами стержней (на рис. 2, в для на-глядности удлинения сильно увеличены), можно считать, что углы α между осями стержней не изменяются, а проведенные дуги заменить перпендикулярами, опу-щенными из узла A на новые направления стержней. Тогда, как видно из рисунка, , (2)Физическая сторона задачи. Удлинение стержней выразим по закону Гука через действующие в них усилия:  ;  . (3)Синтез. Подставляя значения  и  из выражений (3) в выражение (2), получим  . (4)Выразим  через  : ,или  , (5)где  ,  верхних и нижних стержней.Внеся выражение (5) в уравнение (1), будем иметь  , (6)откуда  . (7)Учитывая выражение (7), получим : . (8)Усилия  и оказались зависящими от соотношения жесткостей стержней. Поэтому в проектировочном расчете вычислить их можно, только задавшись от-ношением жесткостей. В этом заключается одна из особенностей расчета статиче-ски неопределимых стержневых систем.В случае одинаковых материалов стержней задаются не отношением жестко-стей стержней, а отношением площадей поперечных сечений, которое, разумеет-ся, устанавливает и определенное отношение жесткостей стержней. Примем  . Тогда, учитывая, что  и  , получим .Теперь усилия в стержнях (7) и (8) определятся такими выражениями: , .Вычислим эти усилия, приняв  : кН. кН.Напряжения, с которыми будут работать эти стержни,  МПа,  МПа.Эти напряжения меньше допускаемого, т. е. стержни имеют избыточный запас прочности. Отметим, что в рассматриваемой статически неопределимой конструкции нельзя получить равнопрочность всех ее элементов. |