Шабанов__Златоуст_2к_4сем_Теоретическая механика_КР-2. Расчетнографическая работа 2

• Название: Расчетнографическая работа 2
• Дата: 19.10.2018
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: Шабанов__Златоуст_2к_4сем_Теоретическая механика_КР-2.doc
• Тип: Задача; #53904

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС)
Кафедра «Теоретическая механика»

Расчетно-графическая работа №2


Студент

Р.Г.Шабанов

Спец.190300

Уч. шифр 10891

30.03.2013
Руководитель –

Омск 2013


Расчетно-графическая работа №2
Вариант – 01
Динамика
Задача № 1
Железнодорожный вагон М массой m, получив в точке A начальную скорость V_A, движется по рельсам, которые на различных участках либо горизонтальны, либо наклонны под углом  к горизонту (рис.1). Длина участка . Считается, что на всех участках на вагон действует сила трения (коэффициент трения ), а на участке BC еще и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости V вагона. Считать, что в точке B вагон меняет только направление скорости, сохраняя ее модуль.

Рассматривая вагон в виде материальной точки, определить закон изменения скорости и закон движения вагона на участке AB, а также закон изменения скорости на участке BC. Единицу измерения коэффициента сопротивления  следует определить самостоятельно из формулы силы сопротивления R.

Исходные данные:

Номер варианта	Рис.1 (а – е)	т	м/с	град.	м		кН
1	а	22	20	8	150	0,05		0,12

Рис.1(а) – Схема движения железнодорожного вагона.
Решение

1) Рассмотрим движение вагона на первом участке АВ

Изображаем его на рисунке 1 (в виде материальной точки) в текущем (промежуточном положении). Указываем все действующие на вагон силы. Строим декартову систему координат Аху, взяв начало в начальном положении вагона и проведя ось Ах по АВ.



Рисунок 1
Действующие на вагон силы:

- сила тяжести вагона;

- реакция опоры (рельсов);

-сила трения (противоположна направлению движения вагона).
Составляем дифференциальное уравнение движения вагона.

, (1)

Дифференциальное уравнение движения вагона в проекциях на оси декартовых координат Ах и Ау:


;
;

Получаем дифференциальное уравнение движения вагона на участке АВ:
(2)
Решаем дифференциальное уравнение (3), подставив значения постоянных величин.



V= + 0,888t+C

Определяем постоянную интегрирования С .
При в точке А: .
; С= V_A .


Закон изменения скорости вагона на участке АВ в общей форме будет иметь вид:

(3)

Определяем закон движения вагона на участке АВ
; (4)
Решаем дифференциальное уравнение (4).

;

Определяем постоянную интегрирования С₂ .
При , : С₂ = 0.
Получаем закон движения вагона на участке АВ в общей форме:
, (5)
Подставляя числовые значения в выражение (3), получаем:

Закон изменения скорости вагона на участке АВ будет иметь вид:
, (6)
Подставляя числовые значения в выражение (5), получаем:

Закон движения вагона на участке АВ:
, (7)
При :
; ;
;
; отбрасываем как не соответствующие действительности.

Скорость вагона в точке В будет равна

2) Рассмотрим движение вагона на втором участке ВС

Изображаем его на рисунке 2 (в виде материальной точки) в текущем (промежуточном положении). Указываем все действующие на вагон силы. Строим декартову систему координат Вху, взяв начало в начальном положении вагона и проведя ось Вх по ВС.


Рисунок 2.
Действующие на вагон силы:

- сила тяжести вагона;

- реакция опоры (рельсов);

-сила трения (противоположна направлению движения вагона).

-сила сопротивления среды (противоположна направлению движения вагона, пропорциональная скорости движения).

Определяем единицу измерения коэффициента сопротивления  :

Составляем дифференциальное уравнение движения вагона.




, (8)

Дифференциальное уравнение движения вагона в проекциях на оси декартовых координат Вх и Ву :



;


Получаем дифференциальное уравнение движения вагона на участке ВC:
, (2)
Решаем дифференциальное уравнение (2).
; (3)

Для упрощения дальнейших расчетов подставляем в (3) числовые значения:




Определяем постоянную интегрирования С.
При .
; C = -97,7 .









При новом отсчете времени от начального момента в точке В, закон изменения скорости на участке BC будет иметь вид:




Задача № 2
Машинист электровоза посредством контроллера увеличивает мощность тяговых двигателей так, что модуль силы тяги возрастает согласно уравнению, . Масса электровоза т, начальная скорость . Модуль силы сопротивления движению постоянен и равен , где  – коэффициент сопротивления; – вес электровоза.

Принимая электровоз за материальную точку, определить момент времени, когда он тронется с места, а также закон изменения скорости и уравнение движения. Участок пути считать горизонтальным.

Исходные данные:

Номер варианта	т	кН
1	120		0,020

Решение
1) Изображаем электровоз на рисунке 3 (в виде материальной точки) в произвольный момент времени. Указываем все действующие на него силы.

Сила является переменной.


Рисунок 3.

2) Определите момент времени , когда электровоз трогается с места.

Электровоз трогается с места в момент времени, когда сила тяги превысит силы сопротивления движению, т.е:

. (1)

; (2)

; (3)

; (4)
Подставляем (2), (3), (4) в (1), заменив для начального момента знак > на равенство.

, (5)

Подставляем в уравнение (5) числовые значения и определяем время начала движения . На горизонтальном участке пути  = 0.

;

;

;

Принимаем
3) Строим систему координат, взяв начало 0 в начальном положении электровоза и направив ось 0х по горизонтальному участку пути. Составляем дифференциальное уравнение движения электровоза в проекции на ось 0х. Проинтегрировав дважды дифференциальное уравнение, найдем закон изменения скорости и закон движения электровоза.
, (6)

, (7)
, (8)
, (9)
;
;

;
;
При , V = V₀ = 0.
;


Закон изменения скорости электровоза:
(10)

Определяем уравнение движения электровоза.

;


Определяем постоянную интегрирования С₂.



При , х = 0.



С₂ = -0,031469

Закон изменения скорости электровоза:

Уравнение движения электровоза:






Задача 3

Механическая система состоит из груза  массой , блока  массой  (большой радиус , меньший ), цилиндра  массой  и радиуса  и призмы  массой , находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз  получает перемещение =1 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево или (в тех вариантах, где он висит) по вертикали вниз. Куда и на какое расстояние переместиться призма?

Номер варианта	, кг	, кг	, кг	, Кг	, см	, см	, см	Ответ
01	6	3	11	40	16	8	28	12,89

1) Построим неподвижную декартовую систему координат , взяв начало по левому краю призмы .



Рис. 1 – положение системы

Предполагаем, что призма сместится направо.

2) Укажем на рисунке (рис. 1) все внешние активные (задаваемые) силы и реакции внешних связей, действующие на данную механическую систему. К ним относятся силы тяжести всех четырех тел – , , , , а также реакция опорной горизонтальной поверхности – . Силы тяжести всех тел приложены в их центрах тяжести (центр тяжести четырехугольной призмы находится в точке пересечения ее диагоналей), а положение точки приложения реакции связи не имеет принципиального значения.

Все указанные силы направлены вдоль координатной оси .

3) Составим дифференциальное уравнение движения центра масс данной системы в проекции на горизонтальную ось :

, (1)

где: М – масса всей системы;

– проекция ускорения центра масс всей системы на ось .

4) Проинтегрируем дважды дифференциальное уравнение (1), учитывая, что в начальный момент времени система находилась в покое.

В результате двойного интегрирования получим:

(2)

Равенство (2) означает, что положение центра масс системы на координатной оси остается неизменным (несмотря на то, что отдельные тела в системе переместились по сравнению с их первоначальным положением).

Отсюда следует, что координата центра масс системы вначале (когда все тела находились в покое) будет равна координате системы в конце (после перемещения отдельных тел в системе), т. е. будет выполняться равенство:

. (3)

5). Воспользуемся формулами для определения координат центра масс системы вначале (когда она находилась в покое) и в конце (когда груз совершит перемещение ):

, (4)

, (5)

где: , , , – массы тел , , и соответственно;

, , , – начальные координаты центров масс тел , , , ;

, , , – конечные координаты центров масс тел , , , .

6). После перемещения груза влево на расстояние призма переместится вправо на расстояние . Вследствие этого определятся абсолютные перемещения и остальных тел.

Абсолютное перемещение тел А, В, С представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины S_A относительного смещения груза А и неизвестного смещения ∆x_D, равному абсолютному смещению призмы, относительно которой задавалось смещение S_A.

Перемещение центра цилиндра С относительно призмы и перемещение груза А связаны также, как связаны их скорости.

Цилиндр С совершает плоское движение, абсолютное смещение его центра в проекции на ось x равно:

∆x_С=∆_D – S_C cosα.

Выразим S_C через смещение S_A. Для этого свяжем скорость груза А и центра масс цилиндра С:

, (6)

Исключая , имеем связь скоростей:

, интегрируя это соотношение при нулевых начальных значениях имеем: , тогда

Находим абсолютные смещения всех тел через S_A и ∆_D:

∆x_A =∆x_D-S_A, ∆x_B =∆x_{D ,}

Связывая формулу (1) с абсолютным перемещением системы имеем:

(7)

7). Решая уравнение (7) относительно находим величину перемещения призмы

Положительное значение величины означает, что наше предположение о том, что при перемещении груза четырехугольная призма перемещается направо, оказалось верным.

 

Задача 4

Механическая система состоит из тел, взаимосвязанных между собой нерастяжимой нитью. Под действием сил тяжести система из состояния покоя приходит

в движение. Какую скорость приобретет груз , переместившись (вверх или вниз) на расстояние ? Качение цилиндра (или блока) происходит без проскальзывания с коэффициентом трения качения – . Коэффициент трения скольжения – . Радиусы инерции – , . Внешние радиусы – , . Внутренние радиусы – , . Кроме того, определить с каким ускорением будет двигаться груз в этот момент времени.


Решение

Для определения скорости груза применим интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии механической системы:

(1)

где: – текущее значение кинетической энергии системы;

– сумма работ всех внешних сил, действующих на систему.

Зададим грузу скорость и выразим через нее скорости других точек и тел механической системы (см. рис. 1):

– скорость точки блока – ; (2)

– скорость груза В:

– угловая скорость блока – ; (3)

– скорость точки блока – ; (4)

– скорость центра масс цилиндра – ; (5)

– угловая скорость цилиндра – . (6)

Точка контакта Р(МЦС) цилиндра с горизонтальной опорной поверхностью называется мгновенным центром скоростей (ее скорость всегда равна нулю).



Рис. 4

 

3. Вычислим кинетическую энергию механической системы в виде функции от искомой скорости :

, (7)

где: – кинетические энергии груза , В, блока и цилиндра соответственно.

Так как груз и В совершает поступательное движение, то его кинетическая энергия определяется по формуле:

,

(8)

Так как блок совершает вращение вокруг неподвижной оси , то его кинетическая энергия определяется по формуле:

. (9)

Так как цилиндр совершает плоскопараллельное движение, то его кинетическая энергия определяется по формуле:

. (10)

Выражения (8,9,10) подставим в (7), в результате получим окончательную формулу для вычисления кинетической энергии всей системы:

. (11)

4. Вычислим сумму работ всех внешних сил, действующих на систему при заданном перемещении груза – .

– работа силы тяжести груза –; (12)

– работа силы тяжести груза –; (13)

– работа силы тяжести блока – , так как ; (14)

– работа реакции неподвижного шарнира блока – ; (15)

– работа силы тяжести цилиндра – (16)

– работа нормальной реакции горизонтальной опорной поверхности – , так как ; (17)

– работа силы трения скольжения, действующей на цилиндр – ; (18)

– работа момента сопротивления качению –

. (19)

Просуммируем выражения (12–19) для получения окончательной формулы для суммарной работы всех внешних сил

(20)

5. Выражения (11) и (20) подставим в формулу (1) для определения искомой скорости.

. (21)

6. Для определения ускорения груза используем дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии системы

, (22)

где: – суммарная мощность всех внешних сил, действующих на систему.

Выражение для суммарной мощности легко получается, если продифференцировать по времени формулу для суммарной работы этих же сил (20):

, (23)

так как , а мощность сил по определению равна .

Теперь дифференцируем по времени выражение для кинетической энергии системы (11)

, (23)

где – ускорение груза.

Подставляем формулы (21–22) в теорему (23) и получаем выражение для определения требуемого ускорения:

. (24)

Положительное значение ускорения говорит о том, что груз движется вниз ускоренно.