Шабанов__Златоуст_2к_4сем_Теоретическая механика_КР-2. Расчетнографическая работа 2
![]()
|
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС) Кафедра «Теоретическая механика» Расчетно-графическая работа №2 Студент Р. ![]() Спец.190300 Уч. шифр 10891 30.03.2013 Руководитель – Омск 2013 ![]() Вариант – 01 Динамика Задача № 1 Железнодорожный вагон М массой m, получив в точке A начальную скорость VA, движется по рельсам, которые на различных участках либо горизонтальны, либо наклонны под углом к горизонту (рис.1). Длина участка ![]() Рассматривая вагон в виде материальной точки, определить закон изменения скорости и закон движения вагона на участке AB, а также закон изменения скорости на участке BC. Единицу измерения коэффициента сопротивления следует определить самостоятельно из формулы силы сопротивления R. Исходные данные:
![]() Рис.1(а) – Схема движения железнодорожного вагона. ![]() 1) Рассмотрим движение вагона на первом участке АВ Изображаем его на рисунке 1 (в виде материальной точки) в текущем (промежуточном положении). Указываем все действующие на вагон силы. Строим декартову систему координат Аху, взяв начало в начальном положении вагона и проведя ось Ах по АВ. ![]() Рисунок 1 Действующие на вагон силы: ![]() ![]() ![]() Составляем дифференциальное уравнение движения вагона. ![]() Дифференциальное уравнение движения вагона в проекциях на оси декартовых координат Ах и Ау: ![]() ![]() ![]() ![]() Получаем дифференциальное уравнение движения вагона на участке АВ: ![]() ![]() Решаем дифференциальное уравнение (3), подставив значения постоянных величин. ![]() V= + 0,888t+C Определяем постоянную интегрирования С . При ![]() ![]() ![]() ![]() Закон изменения скорости вагона на участке АВ в общей форме будет иметь вид: ![]() Определяем закон движения вагона на участке АВ ![]() Решаем дифференциальное уравнение (4). ![]() ![]() Определяем постоянную интегрирования С2 . ![]() ![]() ![]() ![]() Получаем закон движения вагона на участке АВ в общей форме: ![]() Подставляя числовые значения в выражение (3), получаем: ![]() Закон изменения скорости вагона на участке АВ будет иметь вид: ![]() Подставляя числовые значения в выражение (5), получаем: ![]() Закон движения вагона на участке АВ: ![]() При ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Скорость вагона в точке В будет равна ![]() 2) Рассмотрим движение вагона на втором участке ВС Изображаем его на рисунке 2 (в виде материальной точки) в текущем (промежуточном положении). Указываем все действующие на вагон силы. Строим декартову систему координат Вху, взяв начало в начальном положении вагона и проведя ось Вх по ВС. ![]() Рисунок 2. Действующие на вагон силы: ![]() ![]() ![]() ![]() Определяем единицу измерения коэффициента сопротивления : ![]() Составляем дифференциальное уравнение движения вагона. ![]() ![]() ![]() Дифференциальное уравнение движения вагона в проекциях на оси декартовых координат Вх и Ву : ![]() ![]() ![]() ![]() Получаем дифференциальное уравнение движения вагона на участке ВC: ![]() Решаем дифференциальное уравнение (2). ![]() ![]() ![]() Для упрощения дальнейших расчетов подставляем в (3) числовые значения: ![]() ![]() Определяем постоянную интегрирования С. При ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При новом отсчете времени от начального момента в точке В, закон изменения скорости на участке BC будет иметь вид: ![]() ![]() ![]() Машинист электровоза посредством контроллера увеличивает мощность тяговых двигателей так, что модуль силы тяги ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Принимая электровоз за материальную точку, определить момент времени, когда он тронется с места, а также закон изменения скорости и уравнение движения. Участок пути считать горизонтальным. Исходные данные:
Решение 1) Изображаем электровоз на рисунке 3 (в виде материальной точки) в произвольный момент времени. Указываем все действующие на него силы. Сила ![]() ![]() ![]() Рисунок 3. 2) Определите момент времени ![]() Электровоз трогается с места в момент времени, когда сила тяги превысит силы сопротивления движению, т.е: ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляем (2), (3), (4) в (1), заменив для начального момента знак > на равенство. ![]() Подставляем в уравнение (5) числовые значения и определяем время начала движения ![]() ![]() ![]() ![]() Принимаем ![]() 3) Строим систему координат, взяв начало 0 в начальном положении электровоза и направив ось 0х по горизонтальному участку пути. Составляем дифференциальное уравнение движения электровоза в проекции на ось 0х. Проинтегрировав дважды дифференциальное уравнение, найдем закон изменения скорости и закон движения электровоза. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Закон изменения скорости электровоза: ![]() Определяем уравнение движения электровоза. ![]() ![]() ![]() Определяем постоянную интегрирования С2. ![]() При ![]() ![]() С2 = -0,031469 ![]() Закон изменения скорости электровоза: ![]() Уравнение движения электровоза: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Механическая система состоит из груза массой , блока массой (большой радиус , меньший ), цилиндра массой и радиуса и призмы массой , находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз получает перемещение =1 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево или (в тех вариантах, где он висит) по вертикали вниз. Куда и на какое расстояние переместиться призма?
1) Построим неподвижную декартовую систему координат , взяв начало по левому краю призмы . ![]() Рис. 1 – положение системы Предполагаем, что призма сместится направо. 2) Укажем на рисунке (рис. 1) все внешние активные (задаваемые) силы и реакции внешних связей, действующие на данную механическую систему. К ним относятся силы тяжести всех четырех тел – , , , , а также реакция опорной горизонтальной поверхности – . Силы тяжести всех тел приложены в их центрах тяжести (центр тяжести четырехугольной призмы находится в точке пересечения ее диагоналей), а положение точки приложения реакции связи не имеет принципиального значения. Все указанные силы направлены вдоль координатной оси . 3) Составим дифференциальное уравнение движения центра масс данной системы в проекции на горизонтальную ось : , (1) где: М – масса всей системы; – проекция ускорения центра масс всей системы на ось . ![]() В результате двойного интегрирования получим: ![]() Равенство (2) означает, что положение центра масс системы на координатной оси остается неизменным (несмотря на то, что отдельные тела в системе переместились по сравнению с их первоначальным положением). Отсюда следует, что координата центра масс системы вначале (когда все тела находились в покое) будет равна координате системы в конце (после перемещения отдельных тел в системе), т. е. будет выполняться равенство: . (3) ![]() ![]() ![]() ![]() где: , , , – массы тел , , и соответственно; , , , – начальные координаты центров масс тел , , , ; , , , – конечные координаты центров масс тел , , , . 6). После перемещения груза влево на расстояние призма переместится вправо на расстояние . Вследствие этого определятся абсолютные перемещения и остальных тел. Абсолютное перемещение тел А, В, С представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины SA относительного смещения груза А и неизвестного смещения ∆xD, равному абсолютному смещению призмы, относительно которой задавалось смещение SA. Перемещение центра цилиндра С относительно призмы и перемещение груза А связаны также, как связаны их скорости. Цилиндр С совершает плоское движение, абсолютное смещение его центра в проекции на ось x равно: ∆xС=∆D – SC cosα. Выразим SC через смещение SA. Для этого свяжем скорость груза А и центра масс цилиндра С: ![]() Исключая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Находим абсолютные смещения всех тел через SA и ∆D: ∆xA =∆xD-SA, ∆xB =∆xD , Связывая формулу (1) с абсолютным перемещением системы имеем: ![]() 7). Решая уравнение (7) относительно находим величину перемещения призмы ![]() Положительное значение величины означает, что наше предположение о том, что при перемещении груза четырехугольная призма перемещается направо, оказалось верным. ![]() Механическая система состоит из тел, взаимосвязанных между собой нерастяжимой нитью. Под действием сил тяжести система из состояния покоя приходит в движение. Какую скорость приобретет груз , переместившись (вверх или вниз) на расстояние ? Качение цилиндра (или блока) происходит без проскальзывания с коэффициентом трения качения – . Коэффициент трения скольжения – . Радиусы инерции – , . Внешние радиусы – , . Внутренние радиусы – , . Кроме того, определить с каким ускорением будет двигаться груз в этот момент времени. ![]() Решение Для определения скорости груза применим интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии механической системы: ![]() где: – текущее значение кинетической энергии системы; ![]() Зададим грузу скорость и выразим через нее скорости других точек и тел механической системы (см. рис. 1): – скорость точки блока – ; (2) – скорость груза В: ![]() ![]() ![]() ![]() – скорость точки блока – ![]() – скорость центра масс цилиндра – ![]() – угловая скорость цилиндра – ![]() Точка контакта Р(МЦС) цилиндра с горизонтальной опорной поверхностью называется мгновенным центром скоростей (ее скорость всегда равна нулю). ![]() Рис. 4 3. Вычислим кинетическую энергию механической системы в виде функции от искомой скорости : ![]() где: ![]() Так как груз и В совершает поступательное движение, то его кинетическая энергия определяется по формуле: ![]() ![]() ![]() Так как блок совершает вращение вокруг неподвижной оси , то его кинетическая энергия определяется по формуле: ![]() Так как цилиндр совершает плоскопараллельное движение, то его кинетическая энергия определяется по формуле: ![]() Выражения (8,9,10) подставим в (7), в результате получим окончательную формулу для вычисления кинетической энергии всей системы: ![]() ![]() 4. Вычислим сумму работ всех внешних сил, действующих на систему при заданном перемещении груза – . – работа силы тяжести груза – ![]() – работа силы тяжести груза – ![]() – работа силы тяжести блока – ![]() – работа реакции неподвижного шарнира блока – ![]() – работа силы тяжести цилиндра – ![]() – работа нормальной реакции горизонтальной опорной поверхности – ![]() ![]() – работа силы трения скольжения, действующей на цилиндр – ![]() – работа момента сопротивления качению – ![]() Просуммируем выражения (12–19) для получения окончательной формулы для суммарной работы всех внешних сил ![]() ![]() 5. Выражения (11) и (20) подставим в формулу (1) для определения искомой скорости. ![]() 6. Для определения ускорения груза используем дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии системы ![]() где: ![]() Выражение для суммарной мощности легко получается, если продифференцировать по времени формулу для суммарной работы этих же сил (20): ![]() так как ![]() ![]() Теперь дифференцируем по времени выражение для кинетической энергии системы (11) ![]() ![]() где ![]() Подставляем формулы (21–22) в теорему (23) и получаем выражение для определения требуемого ускорения: ![]() ![]() Положительное значение ускорения говорит о том, что груз движется вниз ускоренно. |