Статически неопр. стержн накл (1). Рассмотрим абсолютно жесткий элемент
 Скачать 450.47 Kb.
|
|
Рассмотрим абсолютно жесткий элемент АОВ, закрепленный с помощью двух деформируемых стержней 1 и 2 (см. рис.1). Первый стержень изготовлен из меди ( Па E 11 1 10 = ), второй – из стали ( 1 11 2 2 10 2 E Па E = ⋅ = ), соотношение площадей поперечных сечений стержней 2 1 2 A A = . Заданы размеры: м c м b м a 2 , 5 , 1 , 1 = = = Удобно заранее вычислить некоторые геометрические параметры: ) ( 8 , 1 2 2 1 м b a l = + = , o 7 , 33 3 2 = = = arctg b a arctg β , 832 , 0 cos = β , ) ( 2 2 м c l = = Схема внешних сил, действующих на жесткий элемент АОВ, представлена на рис.2. При этом предполагается, что продольные силы 2 1 , N N в деформируемых стержнях 1 и 2 являются растягивающими, и это позволяет в дальнейшем автоматически получить для них правильные знаки. Запишем уравнения равновесия элемента АОВ : ∑ = ⋅ + = 0 sin 1 β N H F x , ∑ = + − + = 0 cos 1 2 β N F N R F y , ∑ = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ 0 2 cos 2 1 ) ( a N a N a F M O β Рис.1 Здесь рассматриваются две составляющие силы 1 N - горизонтальная и вертикальная, причем момент относительно точки О создает именно вертикальная составляющая, равная β cos 1 ⋅ N Итак, имеются четыре неизвестные внешние силы приложенные к элементу АОВ. Это реакции шарнирной опоры H R, и реактивные силы A R и B R , действующие на элемент АОВ со стороны стержней 1 и 2, численно равные внутренним продольным силам 1 N и 2 N в этих стержнях (в уравнениях обозначения A R и B R для краткости опущены, вместо них сразу используются 1 N и 2 N ). Уравнений же равновесия, как видно, всего три, поэтому степень статической неопределимости в данной задаче равна 1 3 4 = − = сн n , то есть для нахождения всех неизвестных внешних усилий не хватает одного уравнения. Недостающее уравнение можно записать, рассмотрев для данной стержневой системы схему возможных перемещений, обусловленных Рис.2 деформациями стержней (см. рис.3). Из подобия треугольников O AA 1 ∆ и O BB 1 ∆ устанавливаем соотношение между удлинениями стержней – уравнение совместности перемещений: 1 2 1 2 1 1 2 cos 2 2 cos l l a a l l OA OB AA BB ∆ = ∆ ⇒ = = ∆ ∆ ⇒ = β β Здесь считается, что перемещения точек А и В происходят в направлениях, перпендикулярным их радиус-векторам ОА и ОВ , проведенным из мгновенного центра поворота О , то есть по вертикали. Чтобы найти изменение длины первого стержня 1 l ∆ , проведем перпендикуляр к новому направлению первого стержня (вместо дуги окружности). Поскольку перемещения и изменения углов бесконечно малы, можно считать, что угол в получившемся прямоугольном треугольнике равен β . Отрезок 1 AA является гипотенузой в этом треугольнике, следовательно β cos 1 1 l АА ∆ = С учетом того, что, как видно из схемы, второй стержень оказывается сжатым, 0 2 < ∆ l , и, следовательно, 2 2 l l ∆ − = ∆ , окончательно запишем 1 2 2 cos l l ∆ = ∆ − β Применив закон Гука, перепишем это уравнение совместности в виде: Рис.3 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 16 , 2 832 , 0 2 8 , 1 2 1 2 2 cos 2 2 cos N N N N l A E l A E N A E l N A E l N − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⇒ ⇒ − = ⇒ − = β β Итак, получена система уравнений: 0 2 832 , 0 2 1 = + − N N F 1 2 16 , 2 N N − = Решив ее, получим F N F N 42 , 0 , 19 , 0 2 1 − = = Отметим, что полученные знаки продольных усилий 1 N и 2 N соответствуют истинной картине деформаций – первый стержень растянут, второй сжат. Запишем теперь условия прочности для обоих стержней: [ ] 1 1 1 1 1 19 , 0 σ σ ≤ = = A F A N , [ ] 2 2 2 2 2 42 , 0 σ σ ≤ = = A F A N В дальнейшем, в зависимости от того, что известно, и что требуется определить, эти неравенства могут использоваться как для подбора сечений, так и для определения грузоподъемности. Например, известна сила кН F 100 = , тогда для площадей сечений получаем неравенства: [ ] ) ( 6 , 1 ) ( 10 6 , 1 10 120 10 100 19 , 0 19 , 0 2 2 4 6 3 1 1 см м F A = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ≥ − σ [ ] ) ( 6 , 2 ) ( 10 6 , 2 10 160 10 100 42 , 0 42 , 0 2 2 4 6 3 2 2 см м F A = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ≥ − σ С учетом принятого при решении задачи соотношения площадей 2 1 2 A A = , что при подстановке в первое неравенство дает ) ( 8 , 0 ) ( 6 , 1 2 2 2 2 2 см A см A ≥ ⇒ ≥ , выбираем в соответствии с более сильным неравенством: ) ( 6 , 2 ), ( 2 , 5 2 2 2 1 см A см A = = Тогда напряжения в стержнях оказываются равны [ ] ) ( 120 ) ( 5 , 36 10 2 , 5 10 100 19 , 0 1 4 3 1 1 1 МПа МПа A N = ≤ = ⋅ ⋅ ⋅ = = − σ σ , [ ] ) ( 160 ), ( 5 , 161 10 6 , 2 10 100 42 , 0 2 2 4 3 2 2 2 МПа МПа A N = ≥ − = ⋅ ⋅ ⋅ − = = − σ σ σ Хотя формально условие прочности для второго стержня не выполняется (это связано с ошибками округления), но такой перегруз, составляющий менее 5%, допустим. Пусть теперь известны площади сечений стержней ) ( 3 ), ( 6 2 2 2 1 см A см A = = . Тогда из условий прочности получаем два неравенства для определения грузоподъемности (допускаемой величины силы F ): [ ] ) ( 379 19 , 0 10 6 10 120 19 , 0 4 6 1 1 кН A F ≈ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ≤ − σ , [ ] ) ( 114 42 , 0 10 3 10 160 42 , 0 4 6 2 2 кН A F ≈ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ≤ − σ В соответствии с более сильным неравенством, выбираем кН F 110 = , тогда напряжения составят [ ] ) ( 120 ) ( 8 , 34 10 6 10 110 19 , 0 1 4 3 1 1 1 МПа МПа A N = ≤ = ⋅ ⋅ ⋅ = = − σ σ , [ ] ) ( 160 ), ( 154 10 3 10 110 42 , 0 2 2 4 3 2 2 2 МПа МПа A N = ≤ − = ⋅ ⋅ ⋅ − = = − σ σ σ Рассмотрим теперь ту же стержневую систему, находящуюся только под температурным воздействием: пусть первый стержень нагревается на C t o 40 = ∆ (см. рис.4) Рис.4 Схема внешних сил, действующих на жесткий элемент АОВ, будет отличаться от приведенной на рис.2 только отсутствием силы F (см. рис.5) Уравнения равновесия запишутся в виде ∑ = ⋅ + = 0 sin 1 β N H F x , ∑ = + + = 0 cos 1 2 β N N R F y , ∑ = ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⋅ 0 2 cos 2 1 ) ( a N a N M O β Последнее уравнение можно переписать через напряжения, учитывая соотношение между площадями 2 1 2 A A = : 1 2 2 2 1 1 832 , 0 0 2 832 , 0 σ σ σ σ = ⇒ = ⋅ + ⋅ − A A Схема возможных перемещений в данном случае выглядит точно так же, как показано на рис.3, поскольку ясно, что от нагрева первый стержень будет удлиняться. Уравнение совместности перемещений не претерпит никаких изменений: 1 2 2 cos l l ∆ = ∆ − β Записывая закон Гука, учтем для первого стержня наличие температурного слагаемого ( α - коэффициент линейного расширения): 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , E l A E l N l tl E l tl A E l N l σ α σ α = = ∆ ∆ + = ∆ + = ∆ Далее подставляем эти выражения в уравнение совместности и, решая систему уравнений, сразу находим температурные напряжения ( ) t ∆ 1 σ и ( ) t ∆ 2 σ Расчет на неточность изготовления совершенно аналогичен расчету на температурное воздействие, только лишь в законе Гука вместо слагаемого tl t ∆ = α δ o используется заданная начальная неточность изготовления δ Рис.5 |