математика. Равные геометрические тела имеют равные объемы
 Скачать 70.5 Kb.
|
|
11. Величина – одно из основных математических понятий возникшее в древности, и в процессе длительного развития подвергшееся ряду обобщений. Длина, площадь, объем, масса, скорость и многое другое – все это величины. Величина – это особое свойство реальных объектов или явлений. Длина – это характеристика линейных размеров предмета. Объемом тела называется положительная скалярная величина, определенная для каждого геометрического тела так, что: 1. равные тела имеют равные объемы; 2. если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме их объемов. Итак, объем – это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства: равные геометрические тела имеют равные объемы если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице Для измерения объемов площадей используют стандартные единицы площади: м3, дм3, см3, мм3. Основная единица измерения объема – кубический метр. Для измерения объемов площадей используют стандартные единицы площади: м3, дм3, см3, мм3. Основная единица измерения объема – кубический метр. Соотношения между единицами объема: 10-9 км3 = 1м3 = 103дм3 = 106 см3 = 109 мм3. В начальной школе рассматривается объем прямоугольного параллелепипеда. Рассмотрим случай, когда длина, ширина и высота выражены натуральными числами. Если стороны основания равны а и b, то на это основание можно уложить а ∙ b единичных кубиков. Так как в высоту укладывается с таких слоев, то объем параллелепипеда вычисляется по формуле V = а ∙ b∙ с. Таким образом объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений. В начальной школе изучается также такая величина, как емкость. Она рассматривается как объем сыпучих и жидких тел. Единица измерения емкости – литр. 1 л = 1 дм3. Измерить объемы тел более трудно, чем площадь фигур. Приведем несколько способов измерения объемов. 1. Правило Архимеда. Объем воды, вытесненной телом при погружении, равен объему этого тела. 2. Косвенный способ измерения объема. · Посредством измерения длин сторон и других отрезков и нахождения площади с помощью формул. · Нахождение объем через массу и плотность тела. 3. Метод дополнения (разбиения). 12. Величина – одно из основных математических понятий возникшее в древности, и в процессе длительного развития подвергшееся ряду обобщений. Длина, площадь, объем, масса, скорость и многое другое – все это величины. Величина – это особое свойство реальных объектов или явлений. Длина – это характеристика линейных размеров предмета. Величиной угла называется положительная величина, определенная для каждого угла так, что: 1) равные углы имеют равные величины; 2) если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей. На практике за единицу величины угла принимают градус - часть прямого угла. Один градус записывают так: 1°. Величина прямого угла равна 90°, величина развернутого - 180°. Быстрый ответ Свойства величины угла Равные углы имеют равные величины Часть угла всегда имеет величину, которая меньше величины угла Если лучи, выходящие из вершины угла, делят угол на части, то величина угла равна сумме величин этих частей 13. Основные геометрические формы на плоскости включают прямоугольник, треугольник, квадрат, многоугольник и круг. Прямоугольник выглядит как фигура с четырьмя сторонами и четырьмя прямыми углами (ПУ). Противоположные стороны такие же. В математике прямоугольник обозначают четырьмя заглавными латинскими буквами. Все ПУ под углом 90 градусов. Прямоугольник с равными и равными сторонами называется квадратом. Геометрическая фигура (или кратко: фигура) – это мысленный образ реального предмета, в котором сохраняются только форма и размеры, и только они принимаются во внимание. Геометрические фигуры разделяют на плоские и пространственные. В планиметрии рассматриваются только плоские фигуры. Плоской называется такая геометрическая фигура, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги. Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны, например, треугольник, квадрат, окружность и др.: геометрические фигуры: треугольник, квадрат, окружность Часть любой геометрической фигуры (кроме точки), также является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур, тоже будет являться геометрической фигурой. На рисунке ниже левая фигура состоит из квадрата и четырёх треугольников, а правая фигура состоит из окружности и частей окружности: сложные геометрические фигуры, состоящие из нескольких частей 14 Луч Точка, которая лежит на прямой, разделяет ее на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из этой точки. Точка - начало луча. Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек. Пересекающиеся и параллельные прямые 15 Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной угла. Угол разделяет плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Внешняя и внутренняя область угла Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. В этом случае любая область плоскости является внутренней областью угла. Развернутый угол 16 Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Перпендикулярные прямые – две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые. Параллельные прямые. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Углы, изображенные на рисунке: Накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6. Соответственные: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 8; 4 и 7. Односторонние: 3 и 6; 4 и 5. Признаки и свойства параллельных прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Это признаки параллельности прямых. Обратные теоремы верны и представляют свойства параллельных прямых. Способ построения параллельных прямых: Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствия: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Перпендикулярные прямые. Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре прямых угла, они называются перпендикулярными. Прямые а и b на рисунке перпендикулярны: а ⏊ b. Через каждую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной и притом только одну. Это можно сделать, пользуясь угольником или транспортиром. Перпендикулярность и параллельность прямых. Две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются т. е параллельны между собой. Отрезок АВ, перпендикулярный к прямой а, называют перпендикуляром. Точка В – основание перпендикуляра. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую и притом только один. Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а. Расстоянием между параллельными прямыми называют расстояние АВ от любой точки одной прямой до другой прямой. 17 Ломаная — это геометрическая фигура, которая состоит из точек, соединенных отрезками. Отрезки называются звеньями ломаной, а точки называются вершинами ломаной. Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной. Замкнутая ломаная — это ломаная, у которой конец последнего звена совпадает с началом первого звена. Простая ломаная — это ломаная, у которой нет пересечений. Многоугольник — это геометрическая фигура с множеством углов и сторон, или по другому это простая замкнутая ломаная, у которой соседние звенья не лежат на одной прямой. Как и у любой другой геометрической фигуры, у многоугольника есть стороны и углы. Звенья ломаной называют сторонами многоугольника, а вершины ломаной называют углами многоугольника. Периметр многоугольника равен сумме длин всех сторон многоугольника, или по другому длине ломаной. Соседние вершины многоугольника — это два угла многоугольника,принадлежащие одной стороне. Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две любые не соседних угла. Произвольный многоугольник разделяет плоскость на две части. Одна из частей называется внутренней областью, а другая внешней областью многоугольника. Углы, которые находятся во внутренней области называются внутренними, соответственно углы, которые находятся во внешней области называются внешними. 18 Треугольник - фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. Типы треугольников По величине углов Остроугольный треугольникОстроугольный треугольник - все углы треугольника острые. Тупоугольный треугольникТупоугольный треугольник - один из углов треугольника тупой (больше 90°). Прямоугольный треугольникПрямоугольный треугольник - один из углов треугольника прямой (равен 90°). По числу равных сторон Остроугольный треугольникРазносторонний треугольник - все три стороны не равны. равнобедренный треугольникРавнобедренный треугольник - две стороны равны. правильный треугольникРавносторонним треугольник или правильный треугольник - все три стороны равны. 19 Четырёхугольник - это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырёхугольника. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне - противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин - противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области - внутреннюю и внешнюю. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника. Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Внутренние и внешние углы четырехугольника Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения углы Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения являются внешними. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами. Параллелограмм Параллелограмм и его свойства Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Признаки параллелограмма Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм. Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм. Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм. Прямоугольник Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником. Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику. Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство: Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Признак прямоугольника Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Ромб и квадрат Свойства ромба Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами: Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения то параллелограмм Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения является ромбом. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Доказательство теоремы 1. Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения ромб. Докажите, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Доказательство (словестное): По определению ромба Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения равнобедренный. Медиана Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (так как Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Так как Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения является прямым углом, то Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Аналогичным образом можно доказать, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения. Ромб: 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба. 2. Все стороны конгруэнтны. 3. Диагонали взаимно перпендикулярны. 4. Диагонали ромба делят его углы пополам. Квадрат: 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата. 2. Все углы прямые. 3. Все стороны конгруэнтны. 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Трапеция Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией. Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией. 20 Окружность — одна из самых важных кривых линий на плоскости, её можно начертить циркулем или даже натянутой верёвкой, если закрепить один из концов верёвки в данной точке. В любом случае расстояние от всех точек окружности до данной закреплённой точки будет одинаково. Эту точку называют центром окружности, а любой отрезок, который соединяет точку на окружности с её центром, называется радиусом. Круг — это множество всех точек плоскости, удалённых от данной точки не более, чем на длину данного отрезка. Свойства круга Свойство 1 Центр круга совпадает с центром ограничивающей его окружности. Чаще всего, обозначается буквой O. Свойство 2 Радиус круга (R) является, в т.ч., радиусом граничной окружности. Это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой, лежащей на его границе, т.е. на окружности. Хорда, проходящая через центр круга называется его диаметром (d). Диаметр круга Свойство 3 Периметр круга равняется длине ограничивающей его окружности. Свойство 4 Круг по сравнению с другими фигурами имеет наибольшую площадь при заданном периметре. Формулы 1. Периметр круга (L): Формула нахождения периметра круга 2. Радиус круга (R): Формула нахождения радиуса круга 3. Диаметр круга (d): Формула нахождения диаметра круга 4. Площадь круга (S): Формула нахождения площади круга 5. Площадь сектора (S): Формула нахождения площади сектора круга |