Развлечения, связанные с поисками оригинальных решений задач, допускающих практически неисчерпаемое множество решений
 Скачать 20.47 Kb.
|
|
Предисловие Из разнообразного материала, объединяемого различными авторами под общим названием математических игр и развлечений, можно выделить несколько групп "классических развлечений", издавна привлекавших внимание математиков: Развлечения, связанные с поисками оригинальных решений задач, допускающих практически неисчерпаемое множество решений; обычно интересуются установлением числа решений, разработкой методов, дающих большие группы решений или решения, удовлетворяющие каким-нибудь специальным требованиям. Математические игры, т.е. игры, в которых двое играющих рядом "ходов", делаемых поочередно в соответствии с указанными правилами, стремятся к определенной цели, причем оказывается возможным для любого исходного положения предопределить победителя и указать, как - при любых ходах противника - он может добиться победы. "Игры одного лица", т.е. развлечения, в которых с помощью ряда операций, выполняемых одним игроком в соответствии с данными правилами, надо достигнуть определенной, заранее указанной цели; здесь интересуются условиями, при которых цель может быть достигнута, и ищут наименьшее число ходов, необходимых для ее достижения. Классическим играм и развлечениям посвящена большая часть этой книги. Каждый может попытаться, проявив настойчивость и изобретательность, получить интересные (свои!) результаты. Если такие классические развлечения, как, например, составление "магических квадратов" могут оказаться по душе сравнительно узкому кругу лиц, то составление, например, симметричных фигур из деталей разрезанного квадрата, поиски числовых курьезов и т.п., не требуя никакой математической подготовки, могут доставить удовольствие и любителям, и "нелюбителям" математики. То же можно сказать и о развлечениях, требующих подготовки в объеме 9-11 классов средней школы. Многие развлечения и даже отдельные задачи могут подсказать любителям математики темы для самостоятельного исследования. В целом книга рассчитана на читателей с математической подготовкой в объеме 10-11 классов, хотя большая часть материала доступна девятиклассникам, а некоторые вопросы - даже учащимся 5-8классов. Многие параграфы могут быть использованы преподавателями математики для организации внеклассной работы. Разные категории читателей могут по-разному использовать эту книгу: лица, не увлекающиеся математикой, могут познакомиться с любопытными свойствами чисел, фигур и т.п., не вникая в обоснование игр и развлечений, принимая на веру отдельные утверждения; любителям математики советуем изучать отдельные места книги с карандашом и бумагой, решая предлагаемые задачи и отвечая на отдельные вопросы, предложенные для размышления. Определение задуманного числа по трем таблицам Разместив в каждой из трех таблиц подряд числа от 1 до 60 так, чтобы в первой таблице они стояли в трех столбцах по двадцати чисел в каждом, во второй – в четырех столбцах по 15 чисел в каждом и в третьей – пяти столбцах по 12 чисел в каждом (см. рис. 1), легко быстро определить задуманное кем-нибудь число N (N≤60), если будет указаны номера α, β, γ столбцов, содержащих задуманное число в 1-й, 2-й и 3-й таблицах: N будет ровно остатку от деления числа 40α+45β+36γ на 60 или, другими словами, N будет ровно меньшему положительному числу, сравнимому с суммой (40α+45β+36γ) по модулю 60. Например, при α=3, β=2, γ=1: 40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60),т.е. N=6.
Рис.1 Аналогичный вопрос может быть решен для чисел в пределах до 420, размещенных в четырех таблицах с тремя, четырьмя, пятью и семью столбцами: если - номера столбцов, в которых задуманное число, то оно равно остатку от деления числа 280α+105β+336γ+120δ на 420. |