ороиор. Реферат Цифровая подпись

• Название: Реферат Цифровая подпись
• Анкор: ороиор
• Дата: 26.04.2021
• Размер: 1.04 Mb.
• Имя файла: referatbank-45057.rtf
• Тип: Реферат; #198824
• страница: 6 из 7

Цифровые подписи, основанные на симметричных криптосистемах

На первый взгляд, сама эта идея может показаться абсурдом. Действительно, общеизвестно, что так называемая «современная», она же двухключевая криптография возникла и стала быстро развиваться в последние десятилетия именно потому, что ряд новых криптографических протоколов типа протокола цифровой подписи не удалось эффективно реализовать на базе традиционных криптографических алгоритмов, широко известных и хорошо изученных к тому времени. Тем не менее, это возможно. И первыми, кто обратил на это внимание, были родоначальники криптографии с открытым ключом У. Диффи и М. Хеллман, опубликовавшие описание подхода, позволяющего выполнять процедуру цифровой подписи одного бита с помощью блочного шифра. Прежде чем изложить эту идею, сделаем несколько замечаний о сути и реализациях цифровой подписи.

Стойкость какой-либо схемы подписи доказывается обычно установлением равносильности соответствующей задачи вскрытия схемы какой-либо другой, о которой известно, что она вычислительно неразрешима. Практически все современные алгоритмы ЭЦП основаны на так называемых «сложных математических задачах» типа факторизации больших чисел или логарифмирования в дискретных полях.

Однако, доказательство невозможности эффективного вычислительного решения этих задач отсутствует, и нет никаких гарантий, что они не будут решены в ближайшем будущем, а соответствующие схемы взломаны – как это произошло с «ранцевой» схемой цифровой подписи. Более того, с бурным прогрессом средств вычислительных техники «границы надежности» методов отодвигаются в область все больших размеров блока.

Всего пару десятилетий назад, на заре криптографии с открытым ключом считалось, что для реализации схемы подписи RSA достаточно даже 128-битовых чисел. Сейчас эта граница отодвинута до 1024-битовых чисел – практически на порядок, – и это далеко еще не предел. Это приводит к необходимости переписывать реализующие схему программы, и зачастую перепроектировать аппаратуру.

Ничего подобного не наблюдается в области классических блочных шифров, если не считать изначально ущербного и непонятного решения комитета по стандартам США ограничить размер ключа алгоритма DES 56-ю битами, тогда как еще во время обсуждения алгоритма предлагалось использовать ключ большего размера. Схемы подписи, основанные на классических блочных шифрах, свободны от указанных недостатков:

• 
  во-первых, их стойкость к попыткам взлома вытекает из стойкости использованного блочного шифра, поскольку классические методы шифрования изучены гораздо больше, а их надежность обоснована намного лучше, чем надежность асимметричных криптографических систем;
  
• 
  во-вторых, даже если стойкость использованного в схеме подписи шифра окажется недостаточной в свете прогресса вычислительной техники, его легко можно будет заменить на другой, более устойчивый, с тем же размером блока данных и ключа, без необходимости менять основные характеристики всей схемы – это потребует только минимальной модификации программного обеспечения;
  

Итак, вернемся к схеме Диффи и Хеллмана подписи одного бита сообщения с помощью алгоритма, базирующегося на любом классическом блочном шифре. Предположим, в нашем распоряжении есть алгоритм зашифрования E_K, оперирующий блоками данных X размера n и использующий ключ размером n_K: |X|=n, |K|=n_K. Структура ключевой информации в схеме следующая: секретный ключ подписи k_S выбирается как произвольная (случайная) пара ключей k₀, k₁ используемого блочного шифра:

k_S=(k₀,k₁);

Таким образом, размер ключа подписи равен удвоенному размеру ключа использованного блочного шифра:

|K_S|=2|K|=2n_K.

Ключ проверки представляет собой результат шифрования двух блоков текста X₀ и X₁ с ключами k₀ и k₁ соответственно:

k_V=(C₀, C₁) =

где являющиеся параметром схемы блоки данных несекретны и известны проверяющей подпись стороне. Таким образом, размер ключа проверки подписи равен удвоенному размеру блока использованного блочного шифра:

|k_V|=2|X|=2n.

Алгоритм Sig выработки цифровой подписи для бита t (t О{0,1}) заключается просто в выборе соответствующей половины из пары, составляющей секретный ключ подписи:

s = S(t) = k_t.

Алгоритм Ver проверки подписи состоит в проверке уравнения E_kt(X_t)=C_t, которое, очевидно, должно выполняться для нашего t. Получателю известны все используемые при этом величины.

Таким образом, функция проверки подписи будет следующей:

.

Покажем, что данная схема работоспособна, для чего проверим выполнение необходимых свойств схемы цифровой подписи:

1. 
   Невозможность подписать бит t, если неизвестен ключ подписи. Действительно, для выполнения этого злоумышленнику потребовалось бы решить уравнение E_s(X_t)=C_t относительно s, что эквивалентно определению ключа для известных блоков шифрованного и соответствующего ему открытого текста, что вычислительно невозможно в силу использования стойкого шифра.
   

2. 
   Невозможность подобрать другое значение бита t, которое подходило бы под заданную подпись, очевидна: число возможных значений бита всего два и вероятность выполнения двух следующих условий одновременно пренебрежимо мала в просто в силу использования криптостойкого алгоритма:
   

E_s(X₀)=C₀,
E_s(X₁)=C₁.

Таким образом, предложенная Диффи и Хеллманом схема цифровой подписи на основе классического блочного шифра обладает такой же стойкостью, что и лежащий в ее основе блочный шифр, и при этом весьма проста. Однако, у нее есть два существенных недостатка.

Первый недостаток заключается в том, что данная схема позволяет подписать лишь один бит информации. В блоке большего размера придется отдельно подписывать каждый бит, поэтому даже с учетом хэширования сообщения все компоненты подписи – секретный ключ, проверочная комбинация и собственно подпись получаются довольно большими по размеру и более чем на два порядка превосходят размер подписываемого блока. Предположим, что в схеме используется криптографический алгоритм E_K с размером блока и ключа, соответственно n и n_K. Предположим также, что используется функция хэширования с размером выходного блока n_H. Тогда размеры основных рабочих блоков будут следующими:

размер ключа подписи: n_kS=2n_HЧn_K.

размер ключа проверки подписи: n_С=2n_Hn.

размер подписи: n_S =n_HЧn_K.

Если, например, в качестве основы в данной схеме будет использован шифр ГОСТ 28147–89 с размером блока n=64 бита и размером ключа n_K=256 бит, и для выработки хэш–блоков будет использован тот же самый шифр в режиме выработки имитовставки, что даст размер хэш–блока n_H=64 то размеры рабочих блоков будут следующими:

размер ключа подписи: n_kS=2n_HЧn_K =2Ч64Ч256бит=4096 байт;

размер ключа проверки подписи: n_С=2n_Hn = 2Ч64Ч64 бит = 1024 байта.

размер подписи: n_S =n_HЧn_K = 64Ч256 бит = 2048 байт.

Второй недостаток данной схемы, быть может, менее заметен, но столь же серьезен. Дело в том, что пара ключей выработки подписи и проверки подписи могут быть использованы только один раз. Действительно, выполнение процедуры подписи бита сообщения приводит к раскрытию половины секретного ключа, после чего он уже не является полностью секретным и не может быть использован повторно. Поэтому для каждого подписываемого сообщения необходим свой комплект ключей подписи и проверки. Это практически исключает возможность использования рассмотренной схемы Диффи–Хеллмана в первоначально предложенном варианте в реальных системах ЭЦП.

Однако, несколько лет назад Березин и Дорошкевич предложили модификацию схемы Диффи–Хеллмана, фактически устраняющую ее недостатки.

Центральным в этом подходе является алгоритм «односторонней криптографической прокрутки», который в некотором роде может служить аналогом операции возведения в степень. Как обычно, предположим, что в нашем распоряжении имеется криптографический алгоритм E_K с размером блока данных и ключа соответственно n и n_K бит, причем nЈn_K.

Пусть в нашем распоряжении также имеется некоторая функция отображения n–битовых блоков данных в n_K–битовые Y=P_n®nK(X), |X|=n, |Y|=n_K. Определим рекурсивную функцию R_k «односторонней прокрутки» блока данных T размером n бит k раз (k і 0) при помощи следующей формулы:

где X – произвольный несекретный n-битовый блок данных, являющийся параметром процедуры прокрутки.

По своей идее функция односторонней прокрутки чрезвычайно проста, надо всего лишь нужное количество раз (k) выполнить следующие действия: расширить n-битовый блок данных T до размера ключа использованного алгоритма шифрования (n_K), на полученном расширенном блоке как на ключе зашифровать блок данных X, результат зашифрования занести на место исходного блока данных (T). По определению операция R_k(T) обладает двумя важными для нас свойствами:

1. 
   Аддитивность и коммутативность по числу прокручиваний:
   

R_k+k'(T)=R_k'(R_k(T)) = R_k(R_k'(T)).

2. 
   Односторонность или необратимость прокрутки: если известно только некоторое значение функции R_k(T), то вычислительно невозможно найти значение R_k'(T) для любого k'<k – если бы это было возможно, в нашем распоряжении был бы способ определить ключ шифрования по известному входному и выходному блоку алгоритма E_K. что противоречит предположению о стойкости шифра.
   

Теперь покажем, как указанную операцию можно использовать для подписи блока T, состоящего из n_T битов.

Секретный ключ подписи k_S выбирается как произвольная пара блоков k₀, k₁, имеющих размер блока данных используемого блочного шифра, т.е. размер ключа выработки подписи равен удвоенному размеру блока данных использованного блочного шифра: |k_S|=2n;

Ключ проверки подписи вычисляется как пара блоков, имеющих размер блоков данных использованного алгоритма по следующим формулам:

k_C=(C₀,C₁) = (R₂^nT_–1(K₀), R₂^nT_–1(K₁)).

В этих вычислениях также используются несекретные блоки данных X₀ и X₁, являющиеся параметрами функции «односторонней прокрутки», они обязательно должны быть различными. Таким образом, размер ключа проверки подписи также равен удвоенному размеру блока данных использованного блочного шифра: |k_C|=2n.

Вычисление и проверка ЭЦП будут выглядеть следующим образом:

Алгоритм Sig_nT выработки цифровой подписи для n_T-битового блока T заключается в выполнении «односторонней прокрутки» обеих половин ключа подписи T и 2^nT–1–T раз соответственно:
s=Sig_nT(T)=(s₀,s₁)= .

Алгоритм Ver_nT проверки подписи состоит в проверке истинности соотношений , которые, очевидно, должны выполняться для подлинного блока данных T:

R₂^nT_–1–T(s₀)=R₂^nT_–1–T(R_T(k₀))=R₂^nT_–1–T+T(k₀)=R₂^nT_–1(k₀)=C₀,
R_T(s₁)=R_T(R₂^nT_–1–T(k₁))=R_T+2^nT_–1–T(k₁)=R₂^nT_–1(k₁)=C₁.

Таким образом, функция проверки подписи будет следующей:

Покажем, что для данной схемы выполняются необходимые условия работоспособности схемы подписи:

Предположим, что в распоряжении злоумышленника есть n_T-битовый блок T, его подпись s=(s₀,s₁), и ключ проверки k_C=(C₀,C₁). Пользуясь этой информацией, злоумышленник пытается найти правильную подпись s'=(s'₀,s'₁) для другого n_T-битового блока T'. Для этого ему надо решить следующие уравнения относительно s'₀ и s'₁:

R₂^nT_–1–T'(s'₀)=C₀,
R_T'(s'₁)=C₁.

В распоряжении злоумышленника есть блок данных Tс подписью s=(s₀,s₁), что позволяет ему вычислить одно из значений s'₀,s'₁, даже не владея ключом подписи:

1. 
   если T<T', то s'₀=R_T'(k₀)=R_T'–T(R_T(k₀))=R_T'–T(s₀),
   

2. 
   если T>T', то s'₁=R₂^nT_–1–T'(k₁)=R_T–T'(R₂^nT_–1–T(k₁))=R_T–T'(s₁).
   

Однако для нахождения второй половины подписи (s'₁ и s'₀ в случаях (a) и (b) соответственно) ему необходимо выполнить прокрутку в обратную сторону, т.е. найти R_k(X), располагая только значением для большего k, что является вычислительно невозможным. Таким образом, злоумышленник не может подделать подпись под сообщением, если не располагает секретным ключом подписи.

Второе требование также выполняется: вероятность подобрать блок данных T', отличный от блока T, но обладающий такой же цифровой подписью, чрезвычайно мала и может не приниматься во внимание. Действительно, пусть цифровая подпись блоков T и T' совпадает. Тогда подписи обоих блоков будут равны соответственно:

s=S_nT(T)=(s₀,s₁)=(R_T(k₀), R₂^nT_–1–T(k₁)),
s'=S_nT(T')=(s'₀,s'₁)=(R_T'(k₀), R₂^nT_–1–T'(k₁)),

но s=s', следовательно:

R_T(k₀)=R_T'(k₀) и R₂^nT_–1–T(k₁)=R₂^nT_–1–T'(k₁).

Положим для определенности TЈT', тогда справедливо следующее:

R_T'–T(k₀^*)=k₀^*,R_T'–T(k₁^*)=k₁^*,где k₀^*=R_T(k₀), k₁^*=R₂^nT_–1–T'(k₁)

Последнее условие означает, что прокручивание двух различных блоков данных одно и то же число раз оставляет их значения неизменными. Вероятность такого события чрезвычайно мала и может не приниматься во внимание.

Таким образом рассмотренная модификация схемы Диффи–Хеллмана делает возможным подпись не одного бита, а целой битовой группы. Это позволяет в несколько раз уменьшить размер подписи и ключей подписи/проверки данной схемы. Однако надо понимать, что увеличение размера подписываемых битовых групп приводит к экспоненциальному росту объема необходимых вычислений и начиная с некоторого значения делает работу схемы также неэффективной. Граница «разумного размера» подписываемой группы находится где-то около десяти бит, и блоки большего размера все равно необходимо подписывать «по частям».

Теперь найдем размеры ключей и подписи, а также объем необходимых для реализации схемы вычислений. Пусть размер хэш–блока и блока используемого шифра одинаковы и равны n, а размер подписываемых битовых групп равен n_T. Предположим также, что если последняя группа содержит меньшее число битов, обрабатывается она все равно как полная n_T-битовая группа. Тогда размеры ключей подписи/проверки и самой подписи совпадают и равны следующей величине:

бит,

где йxщ обозначает округление числа x до ближайшего целого в сторону возрастания. Число операций шифрования E_K(X), требуемое для реализации процедур схемы, определяются нижеследующими соотношениями:

при выработке ключевой информации оно равно:

,

при выработке и проверке подписи оно вдвое меньше:

.

Размер ключа подписи и проверки подписи можно дополнительно уменьшить следующими приемами:

1. 
   Нет необходимости хранить ключи подписи отдельных битовых групп, их можно динамически вырабатывать в нужный момент времени с помощью генератора криптостойкой гаммы. Ключом подписи в этом случае будет являться обычный ключ использованного в схеме подписи блочного шифра. Например, если схема подписи будет построена на алгоритме ГОСТ 28147-89, то размер ключа подписи будет равен 256 битам.
   

2. 
   Аналогично, нет необходимости хранить массив ключей проверки подписи отдельных битовых групп блока, достаточно хранить его значение хэш-функции этого массива. При этом алгоритм выработки ключа подписи и алгоритм проверки подписи будут дополнены еще одним шагом – вычислением хэш-функции массива проверочных комбинаций отдельных битовых групп.
   

Таким образом, проблема размера ключей и подписи решена, однако, второй недостаток схемы – одноразовость ключей – не преодолен, поскольку это невозможно в рамках подхода Диффи–Хеллмана.

Для практического использования такой схемы, рассчитанной на подпись N сообщений, отправителю необходимо хранить N ключей подписи, а получателю – N ключей проверки, что достаточно неудобно. Эта проблема может быть решена в точности так же, как была решена проблема ключей для множественных битовых групп – генерацией ключей подписи для всех N сообщений из одного мастер-ключа и свертывание всех проверочных комбинаций в одну контрольную комбинацию с помощью алгоритма вычисления хэш-функции.

Такой подход решил бы проблему размера хранимых ключей, но привел бы к необходимости вместе подписью каждого сообщения высылать недостающие N–1 проверочных комбинаций, необходимых для вычисления хэш-функции массива всех контрольных комбинаций отдельных сообщений. Ясно, что такой вариант не обладает преимуществами по сравнению с исходным.

Упомянутыми выше авторами был предложен механизм, позволяющий значительно снизить остроту проблемы. Его основная идея – вычислять контрольную комбинацию (ключ проверки подписи) не как хэш-функцию от линейного массива проверочных комбинаций всех сообщений, а попарно – с помощью бинарного дерева. На каждом уровне проверочная комбинация вычисляется как хэш-функция от конкатенации двух проверочных комбинаций младшего уровня. Чем выше уровень комбинации, тем больше отдельных ключей проверки "учитывается" в ней.

Предположим, что наша схема рассчитана на 2^L сообщений. Обозначим через i-тую комбинацию l-того уровня. Если нумерацию комбинаций и уровней начинать с нуля, то справедливо следующее условие: 0 Ј i< 2^L–l, а i-ая проверочная комбинация l-того уровня рассчитана на 2^l сообщений с номерами от iЧ2^l до (i+1)Ч2^l–1 включительно. Число комбинаций нижнего, нулевого уровня равно 2^L, а самого верхнего, L-того уровня – одна, она и является контрольной комбинацией всех 2^L сообщений, на которые рассчитана схема.

На каждом уровне, начиная с первого, проверочные комбинации рассчитываются по следующей формуле:

,

где через A||B обозначен результат конкатенации двух блоков данных A и B, а через H(X) – процедура вычисления хэш-функции блока данных X.

При использовании указанного подхода вместе с подписью сообщения необходи­мо передать не N–1, как в исходном варианте, а только log₂N контрольных комбинаций. Передаваться должны комбинации, соответствующие смежным ветвям дерева на пути от конечной вершины, соответствующей номеру использованной подписи, к корню.

Пример организации проверочных комбинаций в виде двоичного дерева в схеме на восемь сообщений при­ведена на рисунке 4.1. Так, при передаче сообще­ния № 5 (контрольная комбинация выделена рамкой) вместе с его под­писью должны быть переданы кон­трольная комбинация сообщения № 4 (C₄⁽⁰⁾), общая для сообщений №№ 6–7 (C₃⁽¹⁾) и общая для сообще­ний №№ 0–3 (C₀⁽²⁾), все они выделе­ны на рисунке другим фоном.
При проверке подписи значение C₅⁽⁰⁾ будет вычислено из сообщения и его подписи, а итоговая контрольная комбинация, подлежащая сравнению с эталонной, по следующей формуле:

C=C₀⁽³⁾=H(C₀⁽²⁾||H(H(C₄⁽⁰⁾||C₅⁽⁰⁾)||C₃⁽¹⁾)).

Необходимость отправлять вместе с подписью сообщения дополнительную информацию, нужную для проверки подписи, на самом деле не очень обременительна. Действительно, в системе на 1024=2¹⁰ подписей вместе с сообщением и его подписью необходимо дополнительно передавать 10 контрольных комбинаций, а в системе на 1048576=2²⁰ подписей – всего 20 комбинаций. Однако, при большом числе подписей, на которые рассчитана система, возникает другая проблема – хранение дополнительных комбинаций, если они рассчитаны предварительно, или их выработка в момент формирования подписи.

Дополнительные контрольные комбинации, которые передаются вместе с подписью и используются при ее проверке, вырабатываются при формировании ключа проверки по ключу подписи и могут храниться в системе и использоваться в момент формирования подписи, либо вычисляться заново в этот момент.

Первый подход предполагает затраты дисковой памяти, так как необходимо хранить 2^L+1–2 значений хэш-функции всех уровней, а второй требует большого объема вычислений в момент формирования подписи. Можно использовать и компромиссный подход – хранить все хэш-комбинации начиная с некоторого уровня l^*, а комбинации меньшего уровня вычислять при формировании подписи.

В рассмотренной выше схеме подписи на 8 сообщений можно хранить все 14 контрольных комбинаций, используемых при проверки (всего их 15, но самая верхняя не используется), тогда при проверке подписи их не надо будет вычислять заново. Можно хранить 6 комбинаций начиная с уровня 1 (C₀⁽¹⁾, C₁⁽¹⁾, C₂⁽¹⁾, C₃⁽¹⁾, C₀⁽²⁾, C₁⁽²⁾), тогда при проверке подписи сообщения № 5 необходимо будет заново вычислить комбинацию C₄⁽⁰⁾, а остальные (C₀⁽²⁾,C₃⁽¹⁾) взять из таблицы, и т.д.. Указанный подход позволяет достичь компромисса между быстродействием и требованиям к занимаемому количеству дискового пространства.

Отметим, что отказ от хранения комбинаций одного уровня приводит к экономии памяти и росту вычислительных затрат примерно вдвое, то есть зависимость носит экспоненциальный характер.