реферат по математике. реферат матем. Реферат дисциплины Математика По теме Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент и его свойства.
 Скачать 109.01 Kb.
|
|
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ковровская государственная технологическая академия имени В.А. Дегтярева» Кафедра ТМ и САПР РЕФЕРАТ Дисциплины «Математика» По теме «Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент и его свойства.» Вариант 3. Руководитель: Марихов И. Н. Исполнитель: ст. гр. КТ-120 Афанасьева Н. Н. Ковров 2021 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Касательной плоскостью к поверхности  в точке  называется плоскость, проходящая через точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку и любую точку  поверхности, стремится к нулю, когда точка стремится к точке .Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.Если поверхность задана явно функцией  и в точке  существуют конечные частные производные этой функции, то уравнение касательной плоскости имеет вид: , (1) а уравнение нормали:  . (2) Если поверхность задана неявно уравнением  и в точке частные производные функции  конечны и не обращаются в нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке записывается в виде , (3)а уравнение нормали к поверхности:  (4)Рассмотрим пример решения задачи Условие. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке  .Решение. Вычислим частные производные функции в точке : ,  .Согласно формулам (1) и (2) получим соответственно уравнение касательной плоскости:  или  , и уравнение нормали:  .Производная по направлению. Производной функции  в точке  по направлению вектора  называется предел , где  . (5)Если функция  дифференцируема, то производная по направлению вектора  находится по формуле , (6)где  ,  ,  – направляющие косинусы вектора .  Производная  представляет собой скорость изменения функции в данном направлении.Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке). Как известно, проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению. Градиент и его свойства. Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , координатами которого являются значения частных производных функции  в этой точке: . (5.3)Градиент функции и производная по направлению вектора связаны формулой  (5.4),где  – орт вектора , который находится по формуле  .Свойства Градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское). Градиент направлен в сторону возрастания функции поля. Модуль градиента равен наибольшей производной по направлению в данной точке поля:  Эти свойства дают инвариантную характеристику градиента. Они говорят о том, что вектор gradU указывает направление и величину наибольшего изменения скалярного поля в данной точке. Замечание. Если функция U(x,y) есть функция двух переменных, то вектор  лежит в плоскости oxy. Рассмотрим пример Условие. Дана функция U=x2+y2+z2 . Определить градиент функции в точке М(-2;3;4). Решение.  , .Поверхностями уровня данного скалярного поля являются семейство сфер x2+y2+z2  , вектор gradU=(-4;6;8) есть нормальный вектор плоскостей. |