Математика 6 вариант. Решение Задание 216. Исследовать функцию на экстремум

• Название: Решение Задание 216. Исследовать функцию на экстремум
• Анкор: Математика 6 вариант
• Дата: 29.03.2022
• Размер: 288.46 Kb.
• Имя файла: 6.docx
• Тип: Решение; #424128

Задание 206. Дана функция двух переменных. Найти первые и вторые частные производные:



𝛕 = arcsin

Решение:

= = =

= = =

= = = =
= = = =




Задание 216. Исследовать функцию на экстремум.

𝛕 = x² + xy + y² – 2x – 3y

Решение:

1. 
   Находим частные производные I порядка:
   

2. 
   Решим систему:
   

=>M – критическая точка

3. Находим частные производные II порядка:



M – точка min
Задание 226. Дана функция скалярного поля . Требуется:

1. 
   построить линии уровня при 4-х значениях ;
   
2. 
   найти производную функции в точке по направлению вектора ;
   
3. 
   найти в точке ;
   
4. 
   найти наибольшую скорость изменения функции в точке .
   

u = 2x²+3y² ; A(4; -4) , ē = 2
Решение:

1. 
   Линия уровня 2x²+3y²= C :
   

2x²+3y² –c = 0 – семейство эллипсов

c = 0 ; 2x²+3y² = 0 - пара мнимых пересекающихся прямых

c = 1 ; 2x²+3y² = 1

c = 2 ; 2x²+3y² = 2

c = 3 ; 2x²+3y² = 3

2. 
   Производная u (x;y) по направлению вектора
   

ē = 2 в точке А(4; - 4)





cos

cos

Для такого поля: cos ;

3. 
   Градиент плоского поля u(x;y)
   

gradu = =

4. 
   Наибольшая скорость изменения функции в точке А:
   

Задание 236. Прейти к полярным координатам и вычислить.

1. 
   Построим область Д, ограниченную эллипсом
   

Перейдем к полярным координатам:



Перейдем к уравнению в полярных координатах:



, где 0

r = 4



Задание 246. Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль дуги линии от точки до точки .



M_o (0; -1; -2) до M₁ (2; 2; 3)

Решение:

Е =

Перейдем к вычислению определенного интеграла и переменной t:



E =





= (22* +14t)

= 4*4+25*2+4*8=16+50+32=98

Задание 256. Дан числовой ряд . Записать четыре первых члена ряда. Исследовать на сходимость числовой ряд.

а)

Проверим сходимость по признаку Даламбера:



a₁ = a₃ =

a₂ = a₄ =

б)

Проверим сходимость по признаку Коши:



– ряд сходится

a₁ = a₃ =

a₂ = a₄ = =

в)

a₁ = a₃ =

a₂ = a₄ =

Проверим интегральную сходимость:



ряд сходится

(т.к. интеграл не равен )

Задание 266. Дан знакочередующийся числовой ряд . Записать четыре первых члена ряда; Определить: условно, или абсолютно сходится этот ряд.

а)

По т. Лейбница :

Ряд сходится

a₁ = a₃ =

a₂ = a₄ =

б)

По признаку Даламбера:











Задание 276. Определить область сходимости данного степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на границах области.



a_n =

1. 
   Найдем область сходимости: R =
   

R =

2 < R < 4 - ряд является сходящихся (абсолютно)

2. 
   Проверим сходимость на концах интервала
   

По признаку Коши:

=



Задание 286. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и затем проинтегрировав его почленно.



Решение:

Запишем разложение функции ʄ (х)= в степенной ряд

e^x = 1 + x + +





Интегрируем ряд и находим значение интеграла с точностью до 0,001.





= = 0,5-0,125+0,041-0,01+0,00005=0,41

Задание 296. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .

ʄ(х)

коэффициенты a₀, a_n, в_n находятся по формулам:





= =0

=

=





=