лекция. Лекция 7. Геометрический смысл производной.. Решение Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что y есть функция от x (поэтому, например, ) получим
![]()
|
Производная неявной функции Пусть функция ![]() Тогда производную ![]() ![]() Пример: Найти производную неявно заданной функции y : ![]() ![]() Решение: Дифференцируя обе части уравнения и учитывая , что y - есть функция от x (поэтому, например , ![]() получим : ![]() Или ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда находим ![]() ![]() ![]() Или ![]() ![]() Т.е. ![]() ![]() Геометрический смысл производной. Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() При этом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормальюк кривой и имеет уравнение ![]() Если ![]() ![]() Пусть даны две пересекающиеся в точке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Этот угол можно найти из формулы ![]() Пример: Написать уравнение касательной и нормали к параболе ![]() ![]() Решение: Найдем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда получаем уравнение касательной в точке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Логарифмическая производная При нахождении производных от показательно-степенной функции ![]() Логарифмической производной от функции ![]() ![]() Используя логарифмическую производную, нетрудно вывести формулу для производной показательно-степенной функции ![]() ![]() Пример: Используя логарифмическую производную, найти производную функции: ![]() ![]() Решение :Прологарифмируем обе части равенства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Производная ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично определяются производная третьего порядка (или третья производная), обозначаемая ![]() ![]() Пример: Найти производную второго порядка для функции ![]() Решение: ![]() ![]() |