математика к.р.1, вариант 9. К. р. 1. Вариант 9. Решение 1 Формулы Крамера,, где основной определитель системы

• Название: Решение 1 Формулы Крамера,, где основной определитель системы
• Анкор: математика к.р.1, вариант 9
• Дата: 21.06.2022
• Размер: 0.73 Mb.
• Имя файла: К. р. 1. Вариант 9.docx
• Тип: Решение; #607167

Контрольная работа № 1
1 – 10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; средствами матричного исчисления.

9. .

Решение

1) Формулы Крамера:

, , где:

основной определитель системы,

– определитель, полученный из основного заменой столбца на столбец свободных членов.

.

.

.

.

Ответ: .
2) Методом Гаусса преобразуем расширенную матрицу системы так, чтобы ниже главной диагонали были нули, а на главной диагонали единицы.

.

2 строку заменим её разностью из 1 – й.

1 строку умножим на . 3 строку заменим суммой с 1 – й.

.

2 строку умножим на . 3 строку заменим суммой со 2 – й.

.

2 и 3 строки разделим соответственно на и на .

.

Из последней матрицы снизу вверх получаем:

,

.

.

Ответ: .

3) Обозначим матрицы: .

Тогда система в матричном виде запишется: . Умножим обе части этого равенства на матрицу , обратную матрице A.

.

Т.к. , где E - единичная матрица, получим .

Обратную матрицу найдем по формуле

, где определитель матрицы A, – взятый со знаком определитель 2-го порядка, полученный из определителя матрицы A вычеркиванием й строки и столбца.

.

, , ,

, , ,

, , .

.



Ответ: .

11 – 20. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется:

1) сделать чертеж;

2) найти длину ребра ;

3) составить уравнение прямой ;

4) составить уравнение плоскости .

5) найти площадь грани с использованием векторного произведения двух векторов;

6) найти длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

7) найти объем пирамиды с использованием смешанного произведения векторов;

8) найти угол между ребрами и ;

9) найти угол между ребром и гранью .

19. , , , .

Решение

1) сделать чертеж.


2) найти длину ребра .

Длину ребра найдем по формуле длины вектора .

.

.

Ответ: .
3) составить уравнение прямой .

Уравнения прямой запишем по формуле уравнений прямой, проходящей через данную точку с данным направляющим вектором .

Ответ: .
4) составить уравнение плоскости .

Уравнение плоскости найдем по формуле уравнения плоскости, проходящей через три данные точки , , .

. . .

.

.

Ответ: .
5) найти площадь грани с использованием векторного произведения двух векторов.

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов, на которых построен этот треугольник .

.

.

Координаты векторного произведения равны



.

Модуль векторного произведения равен

.

Ответ: кв. ед.
6) найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Направляющим вектором высоты может служить вектор нормали к плоскости или коллинеарный вектор .

Подставим в формулу координаты точки и вектора .

- уравнения высоты.

Запишем эти уравнения в параметрическом виде .

Подставим в уравнение плоскости .

.

.

, .

Подставим t в параметрические уравнения, получим точку D пересечения высоты с плоскостью . .

Длина высоты равна .

Ответ: .
7) найти объем пирамиды с использованием смешанного произведения векторов.

Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение трех векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов.

.

.

.

.

Ответ: 55 куб. ед.
8) найти угол между ребрами и .

.

.

Угол между ребрами найдем, используя формулу косинуса угла между векторами

.

.

Ответ: .
9) найти угол между ребром и гранью .

Угол между ребром и гранью найдем по формуле

, где - вектор нормали к грани .

.

.

Ответ: .

29. Найти вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы .

Решение

Каноническое уравнение гиперболы .

Координаты вершин: , .

Координаты фокусов: , , где .

Эксцентриситет .

Уравнения асимптот .

Ответ: вершины , ; фокусы , ; эксцентриситет ; асимптоты и .
31–40. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от до , придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат,

определить какая это линия.

39. .

Решение

1) Составляем таблицу значений функции.

φ	0
r	0,33	0,34	0,36	0,41	0,5	0,61	0,77	0,92	1
φ
r	0,92	0,77	0,61	0,5	0,41	0,36	0,34	0,33

Откладываем эти значения от нуля на лучах, соответствующих углам. Соединяем точки плавной линией.

График функции



2) Формулы перехода от полярных координат к декартовым.

. Подставим в (1).

.

.

.

. Возведем в квадрат.

.

.

.

.

. Разделим уравнение на .

Ответ: . Эллипс с центром симметрии в точке .
41 – 50. Вычислить пределы непосредственно. В случаях а, б, в проверить по правилу Лопиталя.

Решение

49. а) .

При подстановке вместо х получим неопределенность .

Для раскрытия неопределенности дробь можно сократить, разложив числитель и знаменатель на множители.

.

По правилу Лопиталя

.
б) . Неопределенность . Делим числитель и знаменатель на наибольшую степень n.

.

По правилу Лопиталя

.
в) . Неопределенность .

Преобразуем и сделаем замену эквивалентных бесконечно малых

при ,

при .

.

По правилу Лопиталя











.

Найдем отдельно пределы числителя и знаменателя (из-за длины), а затем их отношение.

Предел числителя





.

Предел знаменателя

.

Ответ: .
г) . Неопределенность .

Преобразуем выражение и применим 2 – й замечательный предел .

.

Ответ: а) , б) , в) , г) .

51 – 60. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

59. .

Решение

Элементарные функции 2, и непрерывны на заданных промежутках, поэтому точки разрыва функции следует искать среди тех точек, в которых меняется её аналитическое задание, т.е. точек 0 и 4.

Функция непрерывна в точке, если она определена в ней, и её левый и правый пределы равны значению функции в этой точке.

Находим пределы функции слева и справа от этих точек.

.

.

– точка разрыва 1 рода (скачок).

.

.

.

В точке функция непрерывна.



Ответ: – точка разрыва 1 рода (скачок равен 2).
61 – 70. Найти производные данных функций.

Решение

69. а) .



.

Применены формулы дифференцирования:

, , , .

Ответ: .
б) .





.

По формулам: , , ,

Ответ: .

в) .





.

По формулам:

, , , , .

Ответ: .
г) .



По формулам: , ,

Ответ: .

71 – 80. Найти производную показательно-степенной функции.

79. .

Решение

Переменная х содержится и в основании и в показателе степени.

Сначала логарифмируем обе части равенства.

.

По свойству логарифма степени получим

.

Дифференцируем обе части равенства.

.

Отсюда выражаем .

.

Ответ: .
81–90. Исследовать данную функцию методом дифференциального исчисления и построить её график.

89. .

Решение

Функция общего вида.

Область определения функции .

Нули функции:

при и .

Промежутки знакопостоянства

при .

при .

– точка разрыва.

Асимптоты.

.

.

– вертикальная асимптота.

Ищем наклонную асимптоту .

.

.

– наклонная асимптота.

Промежутки монотонности и экстремумы.

.

, если , т.е. при и и .

не существует при .

Знаки производной и поведение функции



– точка максимума.

Максимум равен .

– точка минимума.

Минимум равен .

Выпуклости, перегибы.



.

не существует при .

Знаки второй производной и направления выпуклости



Перегибов нет.

График функции



Ответ: , функция возрастает на , убывает на , , , имеет асимптоты и , перегибов нет.
91 –100. Найти частные производные функции . Показать, что .

99. .

Решение

Производную по каждой переменной находим, считая другую переменную постоянной величиной.

.

.

.

.

Ответ: равенство выполняется.
101 –110. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области.

109. , , , .

Решение

Свое наибольшее (наименьшее) значение в заданной области функция может принимать либо во внутренней точке области, либо на границе области. Если внутри области имеются точки экстремума, то в этих точках обе частные производные функции равны 0, или не существуют.

.

.

, .

Точка не принадлежит заданной области.

Внутри области точек экстремума нет.

Исследуем границы области. На каждом участке границы функция может принимать наибольшее (наименьшее) значение либо в критической точке, принадлежащей этому участку, либо на конце участка.

На OA: , , , при . Точка .

На OB: , , , при . Точка

На AB: ,



,

, при , .

Точка не принадлежит заданной области.



Находим значения функции в точках и , и из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

.

.

.

Ответ: , .
111 –120. Экспериментально получено 5 значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице.

Методом наименьших квадратов найти функцию в виде .

119.

х	1	2	3	4	5
у	5,7	6,7	5,2	3,2	3,7

Решение

Методом наименьших квадратов коэффициенты aи b находим из системы уравнений

. .

.

.

.

.

, , , .

Ответ: .