Расчет на устойчивость сжатого стержня. теоретическая и прикладная мехааника. Решение 1 Определяем основные геометрические характеристики сечения стойки. Определяем площадь сечения по формуле

• Название: Решение 1 Определяем основные геометрические характеристики сечения стойки. Определяем площадь сечения по формуле
• Анкор: Расчет на устойчивость сжатого стержня
• Дата: 12.04.2023
• Размер: 427 Kb.
• Имя файла: теоретическая и прикладная мехааника.doc
• Тип: Решение; #1056447

Расчет на устойчивость сжатого стержня
Исходные данные: F = 65 кН; l = 3,5 м; [σ] = 10 МПа; Е ; λ_nц=60; способ закрепления – 4; материал – сосна; а= 40 МПа; b=0,203 МПа.

На рисунке 1 показана заданная схема закрепления стержня.



Рисунок 1 – Заданная схема закрепления стержня
На рисунке 2 показана заданная форма поперечного сечения стержня.



Рисунок 2 – Форма поперечного сечения
Решение

1 Определяем основные геометрические характеристики сечения стойки.

Определяем площадь сечения по формуле:

	(1)

после подстановки численных значений, получим

	(2)

где _{ } – коэффициент площади, применяемый при расчете на ЭВМ;

-осевой момент инерции сечения вычисляем по формуле

	(3)

подставляя числовые значения, получим



где _{ } – коэффициент минимального момента инерции для расчёта на ЭВМ.

-минимальный радиус инерции определяем по формуле

(4)

подставляя числовые значения, получим



или

	(5)

где _{ } – коэффициент минимального радиуса инерции для расчета на ЭВМ.

2 Производим проектировочный расчёт размеров сечения методом повторных приближений.

I приближение. Задаёмся коэффициентом продольного изгиба _{ }.

По условию устойчивости



определяем расчётную площадь по формуле

	(6)

Подставляя числовые значения, получим (при _{ })



Используя формулу (2)



определим размер поперечного сечения стойки

(7)

Подставляя числовые значения, получим



Определяем минимальный радиус инерции по формуле (5)



Подставляя числовые значения, получим



Определяем расчётную гибкость стержня по формуле

	(8)

где _{ } – коэффициент приведения длины; для заданной стойки (рисунок 1) _{ };

подставляя числовые значения, получим



Определяем коэффициент продольного изгиба



Сравнивая _{ } с _{ }, видим, что эти значения отличаются друг от друга более чем на 5 %, т.е.



Аналогично вышеизложенной последовательности проводим расчет по второму приближению. Для этого принимаем коэффициент продольного изгиба, рассчитав его среднее значение по величинам первого приближения



Результаты расчётов записываем в таблицу 1.
Таблица 1 – Результаты расчета 1-7 приближений

Номер приближения		 , мм2	 , мм	 , мм
1	0,4	16,25	90,14	26,05	268,71	0,14
2	0,27	24,07	109,70	31,70	220,82	0,14
3	0,205	31,71	125,92	36,39	192,36	0,14
4	0,1725	37,68	137,26	39,67	176,46	0,14
5	0,1563	41,59	144,20	41,67	167,99	0,14
6	0,1482	43,86	148,09	42,80	163,55	0,14
7	0,1441	45,11	150,18	43,40	161,29	0,14

Расхождение результатов расчета коэффициента _{ } в седьмом приближении равно



или



что меньше 5 %, т.е. является допустимым.

Согласно ГОСТ 6636-69 окончательно принимаем _{ }, тогда







3 Определяем коэффициент запаса устойчивости стержня по формуле

(9)

Здесь критическое напряжение _{ } определяем, как для стержней большой гибкости, т.к. выполняется следующее условие:



т.е. по формуле Эйлера

	(10)

Подставив числовые значения, получим



Определяем коэффициент запаса устойчивости, подставив числовые значения в формулу (9)



Таким образом, видим, что коэффициент запаса устойчивости больше единицы, что обусловливает работоспособность стойки по критерию устойчивости.

Определим удельный радиус инерции _{ } по формуле

(11)

После подстановки, получим



Полученная незначительная величина удельного радиуса инерции (т.е. меньше 1,0) позволяет заключить, что заданное сечение является не целесообразным с позиции теории устойчивости сжатых стержней.