Высшая математика. МАтемат 1 вариант. Решение а матричным способом Решение А в с a x b значит x a 1 b найдем детерминант матрицы А

Название	Решение а матричным способом Решение А в с a x b значит x a 1 b найдем детерминант матрицы А
Анкор	Высшая математика
Дата	20.04.2022
Размер	459.55 Kb.
Формат файла
Имя файла	МАтемат 1 вариант.docx
Тип	Решение #487886

вариант 1

Содержание

Задание 1 ……………………………………………………………………….3

Задание 2……………………………………………………………………….12

Задание 3……………………………………………………………………….13

Задание 4……………………………………………………………………….14

Задание 5……………………………………………………………………….15

Задание 6……………………………………………………………………….16

Задание № 1

Решить системы уравнений

а) матричным способом

б) методом Крамера

в) методом Гаусса

Вариант 1.

х

-у=3

2х+3у=16

Решение а) матричным способом

Решение

А=

В =

С =

X= B значит X = A^-1

B

Найдем детерминант матрицы А:

det A =5

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 2×2:

det A=

= 1

3- 2

(-1) = 3+2=5

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A^-1 существует. Для вычисления обратной матрицы найдем дополнительные миноры и алгебраические дополнения матрицы А

Найдем минор M₁₁ и алгебраическое дополнение A₁₁. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

M₁₁ =

=3

Найдем минор M₁₂ и алгебраическое дополнение A₁₂. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

А₁₂ = (

= -2 M₁₂ =

= 2

Найдем минор M₂₁ и алгебраическое дополнение A₂₁. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

M₂₁=

= (-1) = 1

A₂₁ =

+M₂₁=1

Найдем минор M₂₂ и алгебраическое дополнение A22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

A₂₂=

+M₂₂= 1

M₂₂=

=1

Выпишем союзную матрицу (матрицу алгебраических дополнений):

С =

Транспонированная союзная матрица:

Найдем обратную матрицу:

А^-1 =

=

=

Ответ:

Решение методом Крамера

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных А =

и из свободных членов В =

.

Решение такого матричного уравнения методом Крамера найдем так:
Т.к. определитель матрицы:

A=det

= 1

3 – (-1

2) = 5,

Корень x_i получается делением определителя матрицы A_i. на определитель матрицы A. (A_i получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )

х₁ =

= 5

х_{2 =} =

2

Ответ: х= 5; у = 2
Решение методом Гаусса

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде

Вычитаем из строки 2 строку 1, умноженную на (−3), чтобы получить нули ниже ведущего элемента:

а _2,1=3-

(-1) = 0

а _2,2 = 2-

1 = 5

а _2,3 = 16-

3=25

Из уравнения 2 системы (1) найдем переменную х:

5х=25 х=25/5 х=5

Из уравнения 1 системы (1) найдем переменную у:

-у=3-х=3-5=-2 у=2

Ответ: х=5 у = 2

Задание б)

б)

а) матричным способом

А =

В =

Х =

X = B значит X = A^-1·

B

Найдем детерминант матрицы А det(A) = 11

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А

M_1,1= (-1)¹⁺¹= 1

M_1,2= (-1)¹⁺²=3

(-3) -2

(-1) = 7

M_1,3= (-1)¹⁺³= - 4

M_2,1= (-1)²⁺¹= 4

M_2,2= (-1)²⁺²= -5

M_2,3= (-1)²⁺³ = 6

M_3,1= (-1)³⁺¹ = -1

M_3,2= (-1)³⁺² = 4

M_3,3= (-1)³⁺³ = -7

М =

МТ=

Найдем обратную матрицу

A^-1= M^T/det(A) =

Х=А^-1

В =

Ответ: х₁ =

х² =

х₃ =

б) методом Крамера

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 3×3:

= 1

(-1)

(-3) + 2

(-1)

2 + 1

·3·

(-2) – 1

·(-1)·

2-1·

(-1)·

(-2) - 2

3·

(-3) =3-4-6+2-2+18=11

₁=

= (-1)·

(-1)

·(-3)+2·(-1)

·(-1)+1

·(-1)

·(-2)-1·(-1)

·(-1)-(-1)

·(-1)

·(-2)-2·

(-1)

·(-3)=-3+2+2-1+2-6=-4

₂=

·(-1)

·(-3)+(-1)

·(-1)·

2+1

·3·

(-1)-1

·(-1)·

2-1

·(-1)·

(-1)-(-1)

·(-3)=3+2-3+2-1-9=-6

₃=

·(-1)·

(-1)+2·

(-1)·

2+(-1)

3·

(-2)-(-1)

(-1)·

2-1

·(-1)·

(-2)-2·

3·(-1)=1-4+6-2-2+6=5

Х₁ =

= -

Х₂ =

= -

Х₃ =

Ответ: х₁ =

х² =

х₃ =

Решение методом Гаусса

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2

2-ую строку делим на (-7)

от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2; к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 6

3-ую строку делим на -

к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на

; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на

Ответ: х₁ =

х² =

х₃ =

Задание в )

в)

а) матричным способом

Решение

А=

В=

Х =

X=B значит X=A^-1B

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 3×3:

detA =

= 1

·1

2+2·(-1)

3+1

2·

1-1

3-1

(-1)

1-2

2=2-6+2-3+1-8=-12

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 2×2:

М₁₁=

= 1

·2-1

·(-1)=2+1=3

М₁₂=

= 2

·2-3

·(-1)=4+3=7

М₁₃=

= 2

·1-3

·1=2-3=-1

М₂₁=

= 2

·2-1

1=4-1=3

М₂₂=

= 1

·2-3

1=2-3=-1

М₂₃=

= 1

·1-3

2=1-6=-5

М₃₁=

= 2

·(-1)-1

1=-2-1=-3

М₃₂=

= 1

·(-1)-2

1=-1-2=-3

М₃₃=

= 1

·1-2

2=1-4=-3

Выпишем союзную матрицу (матрицу алгебраических дополнений):

Найдем обратную матрицу:

А^-1=

X = А^-1В

Ответ: Х₁ = -1 У = –

Z =

б) методом Крамера

)

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 3×3:

= 1

·1·

2+2·

(-1)

3+1

·2·

1-1

·1

·3-1·(-1)·

1-2·

·2=2-6+2-3+1-8=-12

₁ =

=(-1)·

·2+2·

(-1)·

1+1·

(-6)·

1-1

1-(-1)

(-1)·

1-2

·(-6)·

2=-2-2-6-1-1+24=12

₂ =

·(-6)

·2+(-1)

·(-1)

·3+1

·2

·1-1

·(-6)·

3-1

·(-1)·

1-(-1)·

·2=-12+3+2+18+1+4=16

₃=

1+2

(-6)

3+(-1)

1-(-1)

3-1

(-6)

1-2

2·

1=1-36-2+3+6-4=-32

X₁=

= -1 У=

= –

Решение методом Гаусса

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3

2-ую строку делим на -3

от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2; к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 5

3-ую строку делим на 4

к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на 1; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 1

Ответ:

Задание № 2

В вычислить пределы функции

11. a)

Решение

=4+22²+-(3)

2 = 6

;

Решение

= -3х-8

(-3х-8) = -3

1-8=-11

-

= -1

Ответ: -1

в)

.

Решение

= –

Ответ : –

Задание 3.

Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) Найти область определения функции;

2) Найти производную функции;

3) Найти точки экстремума;

4) Определить промежутки монотонности функции;

5) Найти точки перегиба функции;

6) Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции;

7) Найти значение функции в точках экстремума и перегиба;
у=2х³–9х²+12х-5
Исследовать и построить график функции у=2х³–9х²+12х-5

1°. Область определения функции - интервал (–∞,∞). Точек разрыва нет.

2°. Здесь f(–x)=f(x), так как х входит как в четных так и не четных степенях. Следовательно, функция несимметричная.

3°. Чтобы определить точки пересечения графика с осью ординат, полагаем х = 0, тогда у = -5. Значит, кривая пересекает ось Оу в точке (0; 0).

Чтобы определить точки пересечения графика с осью абсцисс, полагаем у=0:

2х³–9х²+12х-5=0; (2x²-7+5)(x–1)=0. Отсюда х=1, 2x²-7+5=0, D = 49 - 4*2*5 = 9

x_1,2 = (7  3) / 4; x₁ = 2,5 x₂ = 1, т.е. две из трех точек пересечения слились в одну точку касания. Итак, кривая пересекает ось Оу в точках А (1; 0) и В (2,5; 0) пересекает ось Ох.

4°. Найдем критические точки функции:

y'=6х²–18х+12; x²–3x+2=0; (х-1)*(х-2)=0; х₁=1; х₂=2. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (–∞; 1), (1,2), , (2, ∞).

5°. Исследуем критические точки с помощью второй производной.

Находим у" = 12х – 18. При х = 1 получим у"_х=1=12*1 - 18 = –6, т.е. у_max= 0, и, значит, О(1; 0) - точка максимума. Далее при х=2 имеем у"_х=2=12*2 - 18 = +6, т.е. y_min=2*8-

-9*4+12*2-5 = -1. Таким образом, D(2; –1) - точка минимума.

Составим таблицу:

х	(–∞;1)	1	(1; 2)	2	(2; ∞)
у'	+	0	–	0	+
у		у_max=0		y_min =–1

6°. Имеем у"=12х – 18 = 0, х= 18/12 = 1,5. Точка х=+1,5 разбивают область определения функции на интервалы (–∞,1,5) и (1,5 ,∞). В интервале (1,5,∞) имеем у">0, т.е. здесь кривая вогнута, а в интервале (–∞,+1,5) имеем у"<0, т. е. здесь она выпукла. При х= 1,5 получаем точки перегиба Е, ординаты которых одинаковы: у(1,5) =-0,5.

Составим таблицу:

х	(–∞,+1,5)	1,5	(1,5; ∞)
у"	–	0	+
у	Выпукла	Точка перегиба (1,5; -0,5)	Вогнута

7°. График изображен на рисунке.

Задание № 4

Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.

31. а)

;
Решение

применим линейность
3

Теперь высчитываем

при n= –4
= -

Теперь вычисляем

Интеграл от степени функции при n= – 5 = –

Подставим вычисленные интегралы

3

==-

+ С
Ответ: -

+ С

б)

.

Постановка u=7-6x

=-6

= -

du = -

du

Теперь вычисляем

du

Интеграл от степенной функции:

du =

при n=3 =

Подставим уже вычисленные интегралы:

-

du =

Обратная замена u=7-6x = -

Ответ: -

+ С

Задание 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:

у = х², у = 49.

Решение
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х² и у=49

у = 4 – х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вверх, вершина (0;0) у= 49 - линия параллельная оси ОХ. Найдём точки пересечения параболы с y=49:

;

Найдем

Ответ:

Задание № 6

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка:

51. .

Решение

Умножаем на 4х³ и на у

уdу=4х³dх

Интегрируем обе части

dх =

+С Ответ: у²= 2(х⁴+С)