теория вероятности. Решение Чтобы число делилось на 5, на конце должен стоять 0 или 5
![]()
|
1. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 6 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля, если число-пароль нацело делится на пять и все цифры различны (предполагается, что цифра 0 может стоять на первом месте). Решение: Чтобы число делилось на 5, на конце должен стоять 0 или 5. Пусть на конце стоит 0, тогда оставшиеся 5 цифр мы можем расположить числом размещений из 9 цифр по 5: ![]() ![]() Пусть на конце стоит 5, тогда оставшиеся 5 цифр мы можем расположить числом размещений из 9 цифр по 5: ![]() ![]() Искомое число способов равно сумме вычисленных размещений: N=15120+15120=30240 Ответ: N=30240 способов 2. Подбрасываются три игральные кости. Найти вероятность того, что числа очков на трех костях совпадут. Решение: событие А – числа очков на трех костях совпадут. используем классическое определение вероятности: ![]() m – число благоприятных исходов, n-число элементарных исходов. Число элементарных исходов равно ![]() число благоприятных исходов равно: ![]() ![]() Ответ: ![]() 3. Из 2 первокурсников, 6 второкурсников и 5 третьекурсников выбирают 4 человека на конференцию. Найти вероятность того, что все первокурсники попадут на конференцию. Решение: событие А - все первокурсники попадут на конференцию ![]() m – число благоприятных исходов, n-число элементарных исходов. Число различных способов выбора 4 человек из 2+6+5=13 равно числу сочетаний из 13 по 4: ![]() выбрать 2 первокурсников можно числом перестановок: ![]() выбрать оставшихся 2 человек числом сочетаний из 6+5=11 по 2: ![]() Тогда число благоприятных исходов равно произведению: m=2*55=110 Тогда: ![]() Ответ: ![]() 4. Вероятность того, что колбаса высшего сорта равна 0,9. Найти вероятность того, что из четырех проверенных сортов колбасы только три высшего сорта. Решение: события А – из четырех проверенных сортов колбасы только три высшего сорта используем формулу Бернулли: ![]() ![]() q=1-р= ![]() ![]() Ответ: ![]() 5. Из цифр {1, 2, 3, 4, 5} сначала выбирается одна, а затем вторая цифра (наудачу). Какова вероятность, что полученное двузначное число является четным? Решение: рассмотрим событие А – полученное двузначное число является четным ![]() m – число благоприятных исходов, n-число элементарных исходов. Найдем число элементарных исходов: первую цифру можем выбрать как любую из 5 данных цифр, вторую цифру можем выбрать как любую из оставшихся 4 цифр, тогда ![]() Найдем число элементарных исходов: число будет четным, если на конце стоит 0 или 2, или 4. Значит цифру на втором месте мы можем выбрать из цифр 0,2,4, а первую цифру можем выбрать как любую из оставшихся 4, тогда m=3*4=12 ![]() Ответ: ![]() 6. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трёх выстрелах равна 0,784. Найти вероятность попадания при одном выстреле. Решение: Вероятность хотя бы одного попадания находим по формуле: ![]() где событие ![]() ![]() р- вероятность попадания при одном выстреле ![]() ![]() Ответ: ![]() 7. Вероятность того, что клиент не выплатит банку кредит, равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов банка кредит выплатят более 95 человек. Решение: используем интегральную формула Муавра Лапласа: ![]() ![]() Ответ: Р=0 8. Дискретная случайная величина 𝜉 задана рядом распределения:
Найти: а) неизвестную вероятность 𝑝; б) функцию распределения 𝐹(𝑥) и построить её график; в) математическое ожидание𝑀[𝜉]; г) дисперсию 𝐷 𝜉; д) 𝑃 (-10 ≤ 𝜉 ≤50). Решение: а) неизвестную вероятность найдем исходя из того, что ![]() 0,1+0,2+0,25+р+0,15=1 р=0,3 б) Функция распределения: ![]() Если 𝜉 ≤-10, то F(𝜉)=0, -10< 𝜉 ≤10, то F(𝜉)=0,1, 10< 𝜉 ≤20, то F(𝜉)=0,1+0,2=0,3, 20 50< 𝜉 ≤60, то F(𝜉)=0,55+0,3=0,85, ![]() ![]() Рис.1. График функции распределения в) математическое ожидание: ![]() г) Дисперсия: ![]() д) 𝑃 (-10 ≤ 𝜉 ≤ 50)=Р(-10)+Р(13)+Р(20)+P(50)=0,1+0,2+0,25+0,3=0,85 9 Игральную кость подбрасывают три раза. Случайная величина 𝜉 – число выпадений «шести» очков. Построить вероятностный ряд для𝜉. Найти ее 𝑀[ξ] и 𝐷[ξ]. Решение: Возможные варианты 𝜉: 0,1,2,3 используем формулу Бернулли: ![]() ![]() q=1-р= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() получили вероятностный ряд
математическое ожидание: ![]() Дисперсия: ![]() 10. Непрерывная случайная величина 𝜉 задана с помощью функции -плотности распределения вероятностей𝑓(𝑥): ![]() Найти: а) параметр 𝐶; б) функцию распределения 𝐹 𝑥 и построить ее график; в) математическое ожидание𝑀 𝜉 и дисперсию 𝐷[𝜉]; г) 𝑃 (3 ≤ 𝜉<10). Решение: а) Коэффициент С найдем из условия: ![]() ![]() ![]() ![]() б) Найдем функцию распределения 1) ![]() ![]() 2) ![]() ![]() 3) ![]() ![]() Функция распределения имеет вид: ![]() ![]() в) Математическое ожидание: ![]() ![]() = ![]() Дисперсия: ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() 11. Случайная величина 𝜉 распределена равномерно на [0; 10]. Написать𝑓(𝑥)и 𝐹(𝑥). Найти 𝑀[𝜉] и 𝐷[𝜉]. Вычислить 𝑃 (2 ≤ 𝜉 ≤ 15). Решение: определению плотность равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины Х имеет вид: ![]() ![]() ![]() функция распределения F(x) равномерно распределенной отрезке [a,b] случайной величины Х : ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 12. Случайная величина 𝜉 распределена нормально с математическим ожиданием 𝑀[𝜉] = 7 и дисперсией 𝐷 𝜉 = 16. Написать ее функцию плотности распределения вероятностей 𝑓(𝑥) и вычислить 𝑃 (3≤𝜉≤11). Решение: ![]() а= 𝑀[𝜉] =7 ![]() ![]() ![]() ![]() |