Диф уравнения, методы приближенного решения. Приближ ДУ В1 (нов). Решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке, приняв за шаг

• Название: Решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке, приняв за шаг
• Анкор: Диф уравнения, методы приближенного решения
• Дата: 23.01.2022
• Размер: 53.55 Kb.
• Имя файла: Приближ ДУ В1 (нов).docx
• Тип: Решение; #339959

Задание. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке , приняв за шаг .

1. 
   Точное решение
   

- линейное уравнение.

_{Подстановка:}



При найдем С



Значит,

- точное решение дифференциального уравнения.
























2. Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера

Т.к. то

k
0
1
2		1.9243
3
4
5

3. Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта

1) Записываем в первой строке

2) Вычисляем ,тогда



3) Записываем во второй строке:



4) Вычисляем:



тогда

5) Записываем в третьей строке:



6) Вычисляем



тогда

7) Записываем в четвертой строке



8)Вычисляем тогда

9) В столбце записываем

10) Вычисляем

11) Получаем

Значения заносим в строку, помеченную индексом , и снова проводим вычисления по формулам.

0	0	1	0.4	0.4
	0.1	1.20	0.4610	0.9221
	0.1	1.2305	0.4671	0.9343	0.10
	0.2	1.4671	0.5377	0.5377
1	0.2	1.4657	0.5374	0.5374
	0.3	1.7344	0.6168	1.2337
	0.3	1.7741	0.6248	1.2496	0.10
	0.4	2.0905	0.7165	0.7165
2	0.4	2.0885	0.7161	0.7161
	0.5	2.4466	0.8191	1.6381
	0.5	2.4981	0.8294	1.6587	0.10
	0.6	2.9179	0.9480	0.9480
3	0.6	2.9154	0.9475	0.9475
	0.7	3.3891	1.0806	2.1611
	0.7	3.4556	1.0939	2.1878	0.10
	0.8	4.0092	1.2470	1.2470
4	0.8	4.0059	1.2463	1.2463
	0.9	4.6291	1.4177	2.8355
	0.9	4.7148	1.4349	2.8698	0.10
	1	5.4408	1.6318	1.6318
5	1	5.4365

Таблица сравнения методов Эйлера, Рунге-Кутта и точного решения уравнения .

x	Точное решение	Метод Эйлера	Метод Рунге-Кутта
	y	y	y
0	1	1	1
0.2	1.4657	1.4	1.4657
0.4	2.0886	1.9243	2.0885
0.6	2.9154	2.6075	2.9154
0.8	4.0060	3.4934	4.0059
1	5.4366	4.6372	5.4365

Вывод: анализируя полученные результаты, мы можем сказать, что самым точным из двух методов приближенного решения дифференциального уравнения является метод Рунге-Кутта, метод Эйлера дает грубые ошибки. Метод Рунге-Кутта дает практически точное решение дифференциального уравнения, но требует большего объема вычислений, чем предыдущий метод.



Рисунок 1 – График сравнения методов Эйлера, Рунге-Кутта и точного решения дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке с шаг .