Решение контрольного задания
1. По "правилу треугольника" сложения векторов, учитывая, что
= , получим :
= =
=
= =
Рисунок 1
2. Проведем через вершину А прямую l параллельно BC (рис.2). Если D - середина BC , то . Проведем AD и FB // AD , тогда AF=BD и .
Проведем CE // AB , тогда AE=BC и , следовательно = . Если P - середина АС, то
= Далее, т.к. , то = . Проведем FK до пересечения с продолжением стороны BC, тогда = .
Вектор вектора его на 2, равен . И так :
; = ; = ;
= ; .
Рисунок 2
3. Рассмотрим два вектора , приведенных к одному началу (рис.3):
; .
Рисунок 3
Построим на векторах параллелограмм OACB. По определению сумы векторов имеем:
= , =
Если предположить, что векторы и ортогональны, то это означает перпендикулярность диагоналей параллелограмма, откуда следует, что параллелограмм OACB будет ромб. Итак, из условия ортогональности векторов и следует, что векторы имеют равные длины.
Предположим, что для векторов имеет место равенство: | |=| , т.е в параллелограмме, построенном на векторах диагонали равны. Это означает, что OACB – прямоугольник.
Итак, из условия следует , а из условия | |=| следует, что . Тогда одновременное выполнение обоих условий влечет иа собой | | = | и .
4. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис.4) и предположим, что точка О такова, что
+ (1)
Рисунок 4
По правилу сложения векторов имеем:
= = ;
= = ;
Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то
= , или + (2)
По предположению, точка О такова, что выполнено условие (1), тогда из (1), учитывая (2), получим
+ + + =0;
т.е. векторы и противоположные векторы. Это означает, что они лежат на одной прямой, равны по длине и противоположно направлены. Из сказанного следует, что точка О является серединой диагонали AC, т.е. является точкой пересечения диагоналей ACи BDпараллелограмма ABCD. Эта точка единственна. Проведенные рассуждения не требуют дополнительных рассмотрений, т.к. из предположения, что выполнено (1) с необходимостью вытекает, что точка О является точкой пересечения диагоналей, а эта точка единственна.
5. Угол между векторами обозначим через φ, он находится по формуле
cos φ =
Если и
=( = 3 - 1 = 2
= = =
= = =
Таким образом cos φ = ; и φ = arсcos
6. По определению, проекция вектора на ось Ox определяется по формуле
= φ ; (1)
где φ – уголь между осью Ox и вектором
В рассматриваемом случае ось Ox параллельна вектору + и противоположно ему направлена, т.е. направление оси Ox совпадет с направлением вектора . Уголь φ между векторами находится по формуле:
cos φ = ;
поставляя это в (1), получим:
= . = .
Находим скалярное произведение векторов
+ и ;
и длину вектора : | |= =
Таким образом: = ; (Напомним, что через и мы обозначали единичные взаимно перпендикулярные векторы).
7. По определению
= =6 ;
= =7 ;
(2 )∙( ∙ =
=2∙ = - 200.
Если φ - уголь между векторами , то
cos φ = = ; т.е. φ = arсcos .
8. Если векторы то их скалярное произведение равно нулю:
= (k +2 +2
Откуда следует, что k= - 6.
9. Обозначим и найдем проекции вектора по оси кооринат:
;
;
.
По определению = φ , где φ - уголь между векторами . Так как, cosφ = , то . =
Находим
= =13 ;
Откуда следует, что =
10. Предположим, что = + .
Если вектор коллинеарен вектору = , то между векторами существует пропорциональность, т.е.
+ = ,
или + =0.
Вектор будет нулевым тогда и только тогда, когда все его проекции на оси координат равны нулю, т.е. , откуда следует, что , , т.е. = . Найдем k на условии =3.
3= ( = ,
Откуда .
Таким образом, = .
|