Решение контрольного задания. Решение контрольного задания По "правилу треугольника"

• Название: Решение контрольного задания По "правилу треугольника"
• Анкор: Решение контрольного задания
• Дата: 18.10.2021
• Размер: 73.96 Kb.
• Имя файла: Reshenie_kontrolnogo_zadania.docx
• Тип: Решение; #250076

Решение контрольного задания

1. По "правилу треугольника" сложения векторов, учитывая, что

= , получим :

= =

=

= =



Рисунок 1

2. Проведем через вершину А прямую l параллельно BC (рис.2). Если D - середина BC , то . Проведем AD и FB // AD , тогда AF=BD и .

Проведем CE // AB , тогда AE=BC и , следова­тельно = . Если P - середина АС, то

= Далее, т.к. , то = . Проведем FK до пересечения с продолжением стороны BC, тогда = .

Вектор вектора его на 2, равен . И так :

; = ; = ;

= ; .



Рисунок 2

3. Рассмотрим два вектора , приведенных к одному началу (рис.3):

; .



Рисунок 3

Построим на векторах параллелограмм OACB. По определению сумы векторов имеем:

= , =

Если предположить, что векторы и ортого­нальны, то это означает перпендикулярность диагоналей паралле­лограмма, откуда следует, что параллелограмм OACB будет ромб. Итак, из условия ортогональности векторов и следует, что векторы имеют равные длины.

Предположим, что для векторов имеет место ра­венство: | |=| , т.е в параллелограм­ме, построенном на векторах диагонали равны. Это означает, что OACB – прямоугольник.

Итак, из условия следует , а из условия | |=| следует, что . Тогда одновременное выполнение обоих условий влечет иа собой | | = | и .

4. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис.4) и предположим, что точка О такова, что

+ (1)



Рисунок 4

По правилу сложения векторов имеем:

= = ;

= = ;

Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то

= , или + (2)

По предположению, точка О такова, что выполнено условие (1), тогда из (1), учитывая (2), получим

+ + + =0;

т.е. векторы и противоположные векторы. Это означает, что они лежат на одной прямой, равны по длине и противоположно направлены. Из сказанного следует, что точка О является серединой диагонали AC, т.е. является точкой пересечения диагоналей ACи BDпараллелограмма ABCD. Эта точка единственна. Проведенные рассуждения не требуют дополнительных рассмотрений, т.к. из предположения, что выполнено (1) с необходимостью вытекает, что точка О является точкой пересечения диагоналей, а эта точка единственна.

5. Угол между векторами обозначим через φ, он находится по формуле

cos φ =

Если и

=( = 3 - 1 = 2

= = =

= = =

Таким образом cos φ = ; и φ = arсcos

6. По определению, проекция вектора на ось Ox определяется по формуле

= φ ; (1)

где φ – уголь между осью Ox и вектором

В рассматриваемом случае ось Ox параллельна вектору + и противоположно ему направлена, т.е. направление оси Ox совпадет с направлением вектора . Уголь φ между векторами находится по формуле:

cos φ = ;

поставляя это в (1), получим:

= . = .

Находим скалярное произведение векторов

+ и ;



и длину вектора : | |= =

Таким образом: = ; (Напомним, что через и мы обозначали единичные взаимно перпендикулярные векторы).

7. По определению

= =6 ;

= =7 ;



(2 )∙( ∙ =

=2∙ = - 200.



Если φ - уголь между векторами , то

cos φ = = ; т.е. φ = arсcos .

8. Если векторы то их скалярное произведение равно нулю:

= (k +2 +2

Откуда следует, что k= - 6.

9. Обозначим и найдем проекции вектора по оси кооринат:

;

;

.

По определению = φ , где φ - уголь между векторами . Так как, cosφ = , то . =

Находим

= =13 ;

Откуда следует, что =

10. Предположим, что = + .

Если вектор коллинеарен вектору = , то между векторами существует пропорциональность, т.е.

+ = ,

или + =0.

Вектор будет нулевым тогда и только тогда, когда все его проекции на оси координат равны нулю, т.е. , откуда следует, что , , т.е. = . Найдем k на условии =3.

3= ( = ,

Откуда .

Таким образом, = .