Решение краевой задачи Требуется решить следующую задачу найти функцию u ( x ), x (0, l ), такую, что u (x) f (x), x (0, l), (1) u (0)

• Название: Решение краевой задачи Требуется решить следующую задачу найти функцию u ( x ), x (0, l ), такую, что u (x) f (x), x (0, l), (1) u (0)
• Дата: 14.04.2022
• Размер: 139.41 Kb.
• Имя файла: Prakticheskaya_9_13_04.docx
• Тип: Решение; #472261

2. Решение краевой задачи

Требуется решить следующую задачу: найти функцию u(x), x∈ (0, l), такую, что

−u′(x) = f (x), x∈ (0, l),

(1)

u (0) = , u(l) = ,

где и – заданные числа, а f (x) – заданная функция.

Интегрируя дифференциальное уравнение задачи (1) по отрезку [0, x], получим

u′(x)= - .

Интегрируя это соотношение по отрезку [0, x], выводим

u(x)= - d

Преобразуем двойной интеграл из последнего соотношения:

d = d =

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения задачи (1) имеет вид:

x u(x) =- +xc₂, (2)

Определим постоянные c₁ и c₂ из граничных условий задачи (1):

c₁=a,

c₂₌

Подставляя постоянные c1 и c2 в соотношение (2), выводим

u(x) =α+ + f (y) dy+ f (y) dy.

Итак, доказан следующий результат.

Теорема 2. Решение задачи (1) определяется формулой:

u(x)= =α+ +

где



для x∈ (0, l).

3. Решение системы линейных уравнений

Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений n-го порядка следующего вида



Здесь a₁₁, a₁₂, …, a_nn, b₁, b₂, …, b_n – заданные коэффициенты и правые части, x₁, x₂, …, x_n – неизвестные системы уравнений. Обозначим через x вектор неизвестных, через b – вектор правых частей, через A – матрицу коэффициентов:

A = , x= , b= .

Тогда исходная система принимает вид

Ax ₌ b. (3)

Положим ∆=det A и введем определитель ∆ _j, получаемый из определителя ∆ заменой j-го столбца на столбец b правых частей системы уравнений_, j =1, 2, ..., n.

Теорема 3. (Правило Крамера)

1. 
   Если ≠ 0, то система (3) имеет единственное решение
   

x₁₌ , x₂= =

2. 
   Если ∆= 0, а хотя бы один из определителей , , …, не равен нулю, то система (3) несовместна.
   
3. 
   Если = = = ... = n = 0, то система (3) имеет бесконечно много решений.
   

В качестве примера решим систему 3-го порядка



Непосредственные вычисления дают

∆ = =4, ∆₁ = =4, ∆₂ = =-4, ∆₃ = =8.

Применяя правило Крамера, находим x₁ = 4/4 =1, x₂ = (−4)/4 = −1, x₃ = 8/4 = 2.

4. Вычисления

4.1. Нахождение частного

425/25=17

1/3 = 0,33333333333333333333333333333333

π/2 =1,5707963267948966192313216916398

4.2. Извлечение квадратного корня

225 =15

3 =1,7320508075688772935274463415059

π=1,7724538509055160272981674833411

4.3. Вычисление процентов

50% от 90 = 45

25% от 3 = 0,75

30% от 150 = 45

4.4. Возведение в степень

3³ =27

2⁵ =32

2¹⁰ =1024

4.5. Длина окружности радиуса R = 3:

2πR =18,849555921538759430775860299677

4.6. Площадь круга радиуса R = 3:

πR² = 28,274333882308139146163790449516

4.7. Выражения

=1,2589254117941672104239541063958

= 26,041666666666666666666666666667

⁵ = 2,48832

С труна, нагруженная массами

Внутренний элемент струны



Элемент струны с грузом



Вычисление суммы двух целых чисел



Решение линейного уравнения ax +b=c

Начало

конец

да

Ввод a, b, с

X=(c-b)/2

нет

а=0

b=c

нет

реш. нет

Любое число

да

Вывод, x


Вычисление конечной суммы

начало

конец

S=0; n=10; i=0

S=s+I/i

i<=n

Вывод s

Нет

Да

I=i+1

Вычисление бесконечной суммы

начало

S=0; eps: =1E-3;i=0

i: =i+1

a: =1/i/i; s=s+a

нет

(abs (a)100)

да

Вывод, s

конец

К морю

Прощай свободная стихия!

В последний раз передо мной

Ты катишь волны голубые

И блещешь гордою красой.

Как друга ропот заунывный,

Как зов его в прощальный час,

Твой грустный шум, твой шум призывный

Услышал я в последний раз.

А.С. Пушкин