Ударная поляра. Решение Критическая скорость звука до скачка a кр рассчитывается по известной температуре торможения газа T
 Скачать 0.77 Mb.
|
|
1 Ударная поляра Построить ударную поляру для потока воздуха со скоростью скачка V 1 и температурой торможения T 0 . По поляре определить угол Маха для невозмущенного потока, максимальный угол поворота потока в присоединенном скачке, угол наклона скачка и скорость за скачком при повороте потока в скачке на угол Θ. Решение Критическая скорость звука до скачка a кр рассчитывается по известной температуре торможения газа T 0 𝑎 кр = √ 2𝑘 𝑘 + 1 𝑅𝑇 0 = √ 2 ⋅ 1,4 1,4 + 1 ⋅ 287,1 ⋅ 475 = 398,9 м/с Построение ударной поляры в безразмерном виде выполняется по известному значению безразмерного параметра 𝜆 1 = 𝑉 1 𝑎 кр = 0,024 0,01 = 700 398,9 = 1,755 Ударная поляра строится в плоскости переменных (u, v) и представляет собой кривую (годограф), которая описывает конец вектора скорости после скачка (V 2 ) при заданной скорости потока V 1 в зависимости от изменения угла поворота потока на скачке Θ. Построение ударной поляры производится по правилам: 1) устанавливается масштаб, одинаковый по осям 𝜆 𝑢 2 и 𝜆 𝑣 2 ; 2) на горизонтальной оси от начала координат откладываются отрезки: - OA = 1 / λ 1 ; - OB = λ 1 ; - 𝑂𝐶 = 2 𝑘+1 𝜆 1 + 1 𝜆 1 = 𝜆 𝑢𝑎 – координата асимптоты; 3) на отрезках AB и AC, как на диаметрах строятся окружности; 4) из произвольной точки F на отрезке AB восстанавливается перпендикуляр к AB до пересечения с большой окружностью в точке E; 5) на пересечении отрезка AE с малой окружностью находим точку G; 6) на пересечении отрезков EF и BG находим точку K, которая и является искомой точкой поляры. Множество таких точек образует график поляры. Полученная поляра располагается на осях графика: 2 - направление оси абсцисс совпадает с направлением вектора скорости V 1 потока перед скачком уплотнения; - по оси абсцисс координатой каждой точки поляры является безразмерная величина 𝜆 𝑢 2 = 𝑢 2 𝑎 кр где u 2 – проекция скорости V 2 за скачком на ось абсцисс; - по оси ординат координатой каждой точки поляры является безразмерная величина 𝜆 𝑣 2 = 𝑣 2 𝑎 кр где v 2 – проекция скорости V 2 за скачком на ось ординат. Уравнение поляры 𝜆 𝑣 2 2 = (𝜆 1 − 𝜆 𝑢 2 ) 2 ⋅ 𝜆 𝑢 2 − 1 𝜆 1 2 𝑘 + 1 𝜆 1 − (𝜆 𝑢 2 − 1 𝜆 1 ) Построенная ударная поляра имеет вид Графическое определение параметров Угол Маха для невозмущенного потока 10.01.22 3 Проводим касательную BM к ударной поляре в точке B. Проводим OM перпендикулярно BM. Находим измерением угол Маха ∠𝑀𝑂𝐶 = 𝜇 μ ≈ 26° Максимальный угол поворота потока в присоединенном потоке Проводим касательную к поляре ON. Измеряем угол ∠𝑁𝑂𝐶 = 𝛩 max Θ max ≈ 27,5° Параметры при заданном угле поворота потока Θ ≈ 22° Скорость за скачком Проводим отрезок OK под углом 22° к оси λ u до второго пересечения с полярой. Длина отрезка OK составляет в безразмерном виде величину скорости потока V 2 в масштабе графика (𝜆 𝑉 2 ). Тогда 𝑉 2 = 𝜆 𝑉 2 ⋅ 𝑎 кр 𝑉 2 ≈ 515 м/с Угол наклона скачка Измеряем угол ∠𝐸𝐴𝐶 = 𝛽 β ≈ 49° Проверка Температура потока до скачка 𝑇 1 = 𝑇 0 − 𝑘 − 1 2𝑘 ⋅ 𝑉 1 2 𝑅 = 475 − 1,4 − 1 2 ⋅ 1,4 ⋅ 700 2 287,1 = 231,2 К Скорость звука 𝑎 1 = √𝑘𝑅𝑇 = √1,4 ⋅ 287,1 ⋅ 231,2 = 304,83 м/с Число Маха 𝑀 1 = 𝑉 1 𝑎 1 = 700 304,83 = 2,296 Синус угла Маха sin 𝜇 = 𝑎 1 𝑉 1 = 304,83 700 = 0,4355 Угол Маха 𝜇 = asin 0,4355 = 25,8° Параметры при заданном угле поворота потока Θ ≈ 22° Связь угла наклона скачка с углом отклонения потока ctg 𝛩 = 𝑡𝑔 1 + 𝑀 1 2 ⋅ ( k + 1 2 − sin 2 𝛽) 𝑀 1 2 ⋅ sin 2 𝛽 − 1 ⋅ tg 𝛽 откуда, численно в Excel, находим угол наклона скачка exp505© 4 𝛽 = 49,1° Скорость потока за скачком V 2 определим из уравнения tg 𝛽 = 𝑉 1 − 𝑢 2 𝑣 2 = 𝑉 1 − 𝑉 2 ⋅ cos 𝛩 𝑉 2 ⋅ sin 𝛩 𝑉 2 = 𝑉 1 tg 𝛽 ⋅ sin 𝛩 + cos 𝛩 = 700 tg 49,1° ⋅ sin 22° + cos 22° = 514,842 м/с Максимальный угол поворота потока в присоединенном сверхзвуковом потоке Θ max Для расчетного определения Θ max необходимы сложные вычисления. Готовая расчетная формула Θ max есть только для потока с числом Маха M 1 = 1. Угол Θ max всегда несколько больше угла Маха μ для невозмущенного потока. |