Решение малого сфероидического треугольника
 Скачать 208.8 Kb.
|
Решение малого сфероидического треугольникаРешить треугольник – определить все его элементы: стороны и углы. Треугольник на поверхности эллипсоида, образованный геодезическими линиями, называют сфероидическим треугольником. Решение такого треугольника с большими длинами сторон с требуемой высокой точностью затруднительно. Треугольник сравнительно малых размеров – со сторонами до 240 км – решается достаточно просто, принимая его за сферический, в котором стороны являются дугами большого круга). В геодезии известными обычно являются горизонтальные углы треугольника, измеряемые на пунктах, и длина одной из его сторон. Поэтому задача обычно сводится к нахождению длины двух других сторон треугольника. 1. Решение малого треугольника по способу аддитаментов Суть способа: при решении малого сфероидического треугольника его углы оставляют сферическими, а длину сторон исправляют специальной “добавкой” - аддитаментом. Исходной рабочей формулой для решения задачи является теорема синусов для сферического треугольника: sin a/R sin b/R sin c/R ---------- = ---------- = ----------. sin A sin B sin C Стороны a, b, c малого треугольника значительно меньше радиуса земного шара R, поэтому, ограничивая разложение синуса малой дуги в ряд только двумя первыми членами, получаем: sin a/R = (a – a3 / 6R2СР.) = a′ = a - a3 k = a - Aa, sin b/R = (a – a3 / 6R2СР.) = b′ = b + b3k = b - Ab, sin c/R = (a – a3 / 6R2СР.) = c′ = c + c3k = c - Ac, где: в скобках –длина сторон a′, b′, c′ плоского треугольника; Aa, Bb, Cc – аддитаменты (добавки) в длину сферической стороны для получения значения длины стороны плоского треугольника: Аа = ка3; Аb = кb3 ; Аc = кc3 ; коэффициент К = 1/ 6R2СР. Для средней широты РФ, если Rср. и длину стороны треугольника выражать в км, значение “к” = 409х10-8. Тогда аддитаменты А будут выражаться в метрах. Последовательность решения задачи: 1) вычислить аддитамент Ab исходной сферической стороны b как Аb = кb3; 2) вычислить длину стороны b′ плоского треугольника b′ = b – b3 Аb; 3) используя формулу синусов для плоского треугольника, определить длину двух других его плоских сторон а′ и с′; 4) по полученным значениям а′ и с′ вычислить аддитаменты этих сторон Аа и Ас; 5) определить длину искомых сферичских сторон а и c как: а = а′ + Аа и c = с′ + Ас . Решение треугольника выполняется в форме таблицы. Пример решения Дано: 1) сферический треугольник на поверхности эллипсоида с известной стороной b = 45 297,282 м и сферическими углами А = 600 12 ُ 45,257”, В = 510 20′ 20,552” , С = 680 26′ 59,701”, предварительно уравненными за невязку W треугольника: W = А + В + С – 1800 - ε, где: ε” = (f b2 sinA sinC) / sinB – сферический избыток, А,В и С - углы треугольника (значения которых достаточно знать до минут), сторона b – в километрах, f - коэффициент в функции широты f = ρ”/ 2R2 (для территории РФ при R и b в км коэффициент f принимается равным f =0,00253”/ км2). Если имеется невязка W, то она распределяется поровну ∆i = - W / 3 в каждый угол. Схема треугольника  2) среднее значение широты треугольника: Втр.= 550. Определить длину сторон “а” и “c” с округлением до 0,001 м. Решение: аддитамент исходной стороны Аb = кb3 = 0,380 м; длина стороны b′ плоского треугольника b′ = b - b3Аb = 45296,902 м; значения плоских сторон а1 = 52054,571 м; с1 = 54341,166 м; аддитаменты сторон Аа = к а3 = 0,577 м; Аc = к c3 = 0,656 м.
ε 5,510 W 0,000 2. Решение треугольника по теореме Лежандра На практике способ аддитаментов используется обычно как контрольный. Решение треугольника выполняют по способу Лежандра, основанного на его теореме: “если стороны плоского и сферического треугольников равны между собой, то углы такого плоского треугольника равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка”. В связи с этим в данном способе решения треугольника сферические стороны остаются неизменными, а в сферические углы треугольника вводятся поправки - ε/3 за сферический избыток. Затем треугольник решается как плоский. Последовательность решения: 1. Вычисление сферического избытка и невязки треугольника и распределение их поровну в исходные сферические углы (если значение сферического избытка и невязки не делятся ровно на три части, то доля в один из углов изменяется на одну единицу последнего разряда в большую или меньшую сторону); при отсутствии невязки треугольника значение сферического избытка контролируется отличием суммы углов от 1800. 2. Исправление углов за сферический избыток: А1 = A – ε/3, B1 = B - ε/3, C1 = C - ε/3. 3. С исправленными за сферический избыток углами с длиной исходной сферической стороны по теореме синусов для плоского треугольника находят значение длины остальных сферических сторон треугольника. Решение треугольника выполняется в форме таблицы. Пример решения: Исходные данные взяты из условий решения треугольника по способу аддитаментов. Вычисляется значение сферического избытка ε” = 5, 510”
Σ 180 00 00,000 - 5,510 180 00 00, 000 ε” = 5,510 w = 0,000 Сопоставление полученных результатов решения треугольников обоими способами показывает, что они совершенно идентичны. Задание по вариантам: Значения сферических углов треугольника принять из примера данной работы; Значение исходной стороны треугольника АС = “b” принять равным “b” = 44 797,282 м +100 м х n, где n – номер по списку в журнале группы; среднее значение широты треугольника Вср. = 550. |