Высшая математика. ТВиМС_1 вар.. Решение Найдем количество возможных исходов а Событие а студент знает все три вопроса
![]()
|
Вариант 1. Задание 1. 1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета. Решение: Найдем количество возможных исходов: ![]() а) СобытиеА– студент знает все три вопроса. Найдем количество благоприятных исходов. ![]() Искомая вероятность по классическому определению вероятностей равна: ![]() б) Событие B– студент знает только два вопроса. Найдем количество благоприятных исходов. ![]() Искомая вероятность по классическому определению вероятностей равна: ![]() в) Событие C– студент знает только один вопрос. Найдем количество благоприятных исходов. ![]() Искомая вероятность по классическому определению вероятностей равна: ![]() Ответ: а) 0,4147; б) 0,4340; в) 0,1381. Задание 2. 1. В городе три шоколадные фабрики. Первая выпускает 45% конфет, причем 15% из них в обертке. Вторая выпускает 35% конфет, из которых 23% в обертке. Третья выпускает 20% конфет, из них 48% в обертке. Какова вероятность, что купленная наугад конфета окажется без обертки? Решение: Событие B = {купленная наугад конфета окажется без обертки}. Гипотезы: ![]() ![]() ![]() Из условия имеем: ![]() Условныевероятности: ![]() По формуле полной вероятности: ![]() Вероятность того, что купленная наугад конфета окажется без обертки равна: ![]() Ответ: 0,756. Задание 3. 1. Вероятность попадания в цель равна 0,25. Производится 8 выстрелов. Найти вероятность того, что будет: а) не менее семи попаданий; б) не менее одного попадания. Решение: По условию имеем ![]() Воспользуемся формулой Бернулли: ![]() а) Событие A – при ![]() ![]() б) Событие B – при ![]() ![]() Ответ: а) 0,00038; б) 0,89989. Задание 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найдите плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Постройте графики функций F(х) и f(x). 1. ![]() Решение: Найдем функцию плотности распределения: ![]() Вычислим математическое ожидание: ![]() Дисперсию вычислим по формуле: ![]() В данном случае: ![]() Таким образом: ![]() Построим графики функций F(х) и f(x). ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() Задание 5. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение ![]() ![]() 1. ![]() Решение: Вероятность попадания случайной величины в интервал (2; 13) вычислим по формуле: ![]() где ![]() Искомая вероятность равна: ![]() Ответ: 0,7506. Задание 6. Математические ожидания и дисперсии статистически независимых величин X и Y равны ![]() ![]() 1. ![]() Решение: Используя свойства математического ожидания и дисперсии вычислим: – математическое ожидание функции Z = 2XY – 9: ![]() – дисперсию функции Z = 2XY – 9: ![]() Ответ: ![]() ![]() Задание 7. Дисперсия случайной величины X равна σ2. Оцените вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на величину ε. 1. ![]() Решение: Воспользуемся неравенством Чебышева: ![]() Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на 2 равна: ![]() Ответ: ![]() Задание 8. По данной выборке случайной величины: а) постройте гистограмму и график эмпирической функции распределения; б) вычислите все основные эмпирические характеристики: выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах выборки, асимметрию и эксцесс. в) проверьте по критерию ![]() 1.
Решение: Проранжируем данную выборку, расположив варианты в порядке возрастания:
Построим интервальный ряд. Количество интервалов определим по формуле Стерджесса ![]() Количество интервалов ![]() ![]() Длина интервала: ![]() За начало 1го интервала возьмем ![]() Вычислим накопленные частоты и относительные накопленные частоты по формуле ![]() Таблица 1
а) Строим гистограмму, используя исходные данные. ![]() Построим эмпирическую функцию распределения ![]() ![]() График этой функции изобразим на рисунке. ![]() б) Для удобства вычислений характеристик расчеты сумм, входящих в формулы проведем с помощью табл. следующего вида: Таблица 2
Выборочное среднее равно: ![]() Выборочная дисперсия: ![]() Выборочное среднее квадратичное отклонение: ![]() Коэффициент вариации: ![]() Размах выборки: ![]() Асимметрия: ![]() Эксцесс: ![]() в) Примем в качестве нулевой гипотезу ![]() ![]() ![]() Для каждого интервала, используя данные таблицы 1, находим теоретические частоты по формуле: ![]() ![]() Данные расчеты представим в таблице 3. При использовании приведенной формулы теоретических частот наименьшее значение аргумента функции Лапласа ![]() ![]() ![]() ![]() Таблица 3
Проверка: ![]() Проверяем согласие гипотезы о нормальном законе распределения изучаемой выборки по критерию Пирсона. ![]() Число степеней свободы k = s – 1 – r = 7 – 1 – 2 = 4, где s − число интервалов, а k – число параметров нормального распределения. По таблице критических точек распределения χ2 для уровня значимости α = 0,05 находим: ![]() Так как ![]() Задание 9. Считая, что две первые строки таблицы задания 8 и следующие три строки являются двумя независимыми выборками из нормального распределения, проверьте при уровне значимости 0,05 гипотезы о равенстве математических ожиданий (критерий Стьюдента) и о равенстве дисперсий (критерий Фишера). Решение:
Проверим гипотезу ![]() ![]() ![]() Сначала вычислим средние значения и исправленные дисперсии выборок X и Y. Средние значения: ![]() Исправленные дисперсии: ![]() Вычислим наблюдаемое значение критерия, как отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: ![]() По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид ![]() По таблице критических точек распределения F Фишера при уровне значимости ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() Проверим гипотезу ![]() ![]() ![]() Вычислим наблюдаемое значение критерия, как отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: ![]() По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид ![]() По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() Задание 10. При изучении зависимости между величиной Y и величиной X было получено 15 пар соответствующих значений этих величин. Аппроксимируйте статистическую зависимость величины Y от X линейной функцией y = ax + b. Вычислите остаточную дисперсию и коэффициент детерминации. 1.
Решение: Для расчета параметров ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По исходным данным рассчитываем ![]()
Подставим вычисленные суммы в систему для определения параметров линейной регрессии: ![]() Уравнение регрессии имеет вид: ![]() Вычислим остатки. Для этого вычислим ![]() ![]() ![]() Остаточную дисперсию вычислим по формуле: ![]() Коэффициент детерминации равен: ![]() |