Главная страница
Навигация по странице:

  • Ответ

  • Ответ: Задание 8.

    		•

    Высшая математика. ТВиМС_1 вар.. Решение Найдем количество возможных исходов а Событие а студент знает все три вопроса


    Скачать 363.94 Kb.
    НазваниеРешение Найдем количество возможных исходов а Событие а студент знает все три вопроса
    АнкорВысшая математика
    Дата26.02.2022
    Размер363.94 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаТВиМС_1 вар..docx
    ТипРешение
    #374874

    Вариант 1.
    Задание 1.

    1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.

    Решение:

    Найдем количество возможных исходов:



    а) СобытиеА– студент знает все три вопроса.

    Найдем количество благоприятных исходов.



    Искомая вероятность по классическому определению вероятностей равна:



    б) Событие B– студент знает только два вопроса.

    Найдем количество благоприятных исходов.



    Искомая вероятность по классическому определению вероятностей равна:



    в) Событие C– студент знает только один вопрос.

    Найдем количество благоприятных исходов.



    Искомая вероятность по классическому определению вероятностей равна:



    Ответ: а) 0,4147; б) 0,4340; в) 0,1381.

    Задание 2.

    1. В городе три шоколадные фабрики. Первая выпускает 45% конфет, причем 15% из них в обертке. Вторая выпускает 35% конфет, из которых 23% в обертке. Третья выпускает 20% конфет, из них 48% в обертке. Какова вероятность, что купленная наугад конфета окажется без обертки?

    Решение:

    Событие B = {купленная наугад конфета окажется без обертки}.

    Гипотезы:

    = {конфета выпущена на первой фабрике};

    = {конфета выпущена на второй фабрике};

    = {конфета выпущена на третьей фабрике}.

    Из условия имеем:



    Условныевероятности:



    По формуле полной вероятности:



    Вероятность того, что купленная наугад конфета окажется без обертки равна:



    Ответ: 0,756.

    Задание 3.

    1. Вероятность попадания в цель равна 0,25. Производится 8 выстрелов. Найти вероятность того, что будет:

    а) не менее семи попаданий;

    б) не менее одного попадания.

    Решение:

    По условию имеем

    Воспользуемся формулой Бернулли:



    а) Событие A – при выстрелах будет не менее 7 попаданий, можно рассматривать как сумму несовместных событий: 7 попаданий из 8 и все 8 попаданий.



    б) Событие B – при выстрелах будет не менее 1 попадания. Вычислим с использованием противоположного события.



    Ответ: а) 0,00038; б) 0,89989.

    Задание 4.

    Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найдите плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Постройте графики функций F(х) и f(x).

    1.

    Решение:

    Найдем функцию плотности распределения:



    Вычислим математическое ожидание:



    Дисперсию вычислим по формуле:



    В данном случае:



    Таким образом:



    Построим графики функций F(х) и f(x).

    Ответ:


    Задание 5.

    Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины. Найдите вероятность попадания этой величины в заданный интервал .

    1.

    Решение:

    Вероятность попадания случайной величины в интервал (2; 13) вычислим по формуле:



    где – функция Лапласа, которая находится по таблице значения функции Лапласа.

    Искомая вероятность равна:



    Ответ: 0,7506.

    Задание 6.

    Математические ожидания и дисперсии статистически независимых величин X и Y равны и . Вычислите математическое ожидание и дисперсию функции Z = 2XY – 9.

    1.

    Решение:

    Используя свойства математического ожидания и дисперсии вычислим:

    – математическое ожидание функции Z = 2XY – 9:



    – дисперсию функции Z = 2XY – 9:



    Ответ:

    Задание 7.

    Дисперсия случайной величины X равна σ2. Оцените вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на величину ε.

    1.

    Решение:

    Воспользуемся неравенством Чебышева:



    Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на 2 равна:



    Ответ:

    Задание 8. По данной выборке случайной величины:

    а) постройте гистограмму и график эмпирической функции распределения;

    б) вычислите все основные эмпирические характеристики:

    выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах выборки, асимметрию и эксцесс.

    в) проверьте по критерию -Пирсона гипотезу о нормальности распределения выборки с доверительной вероятностью 0,95.
    1.

    2,12
    2,41
    2,68
    3,90
    2,53
    3,06
    3,65
    2,42
    1,13
    1,26

    1,81
    1,01
    1,95
    3,23
    3,15
    2,82
    2,58
    1,45
    3,81
    2,99

    3,25
    3,98
    2,83
    2,59
    3,66
    2,60
    3,02
    3,84
    3,75
    2,94

    1,21
    1,42
    1,61
    3,92
    3,59
    2,45
    3,14
    3,14
    3,02
    3,89

    2,03
    3,91
    3,48
    3,87
    3,35
    3,15
    2,94
    1,26
    2,71
    3,38


    Решение:

    Проранжируем данную выборку, расположив варианты в порядке возрастания:


    1,01
    1,13
    1,21
    1,26
    1,26
    1,42
    1,45
    1,61
    1,81
    1,95

    2,03
    2,12
    2,41
    2,42
    2,45
    2,53
    2,58
    2,59
    2,60
    2,68

    2,71
    2,82
    2,83
    2,94
    2,94
    2,99
    3,02
    3,02
    3,06
    3,14

    3,14
    3,15
    3,15
    3,23
    3,25
    3,35
    3,38
    3,48
    3,59
    3,65

    3,66
    3,75
    3,81
    3,84
    3,87
    3,89
    3,90
    3,91
    3,92
    3,98


    Построим интервальный ряд. Количество интервалов определим по формуле Стерджесса

    Количество интервалов



    Длина интервала:

    За начало 1го интервала возьмем Подсчитаем, сколько значений попало в каждый из полученных интервалов.

    Вычислим накопленные частоты и относительные накопленные частоты по формуле Получим интервальный ряд
    Таблица 1

    Интервалы
    Частоты
    Середина

    интервала
    Накопленная

    частота



    1,01 – 1,434
    6
    1,222
    6
    0,12

    1,434 – 1,858
    3
    1,646
    9
    0,18

    1,858 – 2,282
    3
    2,070
    12
    0,24

    2,282 – 2,706
    8
    2,494
    20
    0,4

    2,706 – 3,13
    9
    2,918
    29
    0,58

    3,13 – 3,554
    9
    3,342
    38
    0,76

    3,554 – 3,98
    12
    3,767
    50
    1


    а) Строим гистограмму, используя исходные данные.

    Построим эмпирическую функцию распределения по рассчитанным данным, указанным в таблице.



    График этой функции изобразим на рисунке.

    б) Для удобства вычислений характеристик расчеты сумм, входящих в формулы проведем с помощью табл. следующего вида:
    Таблица 2










    1,222
    6
    7,332
    14,93142
    -23,55461
    37,15786

    1,646
    3
    4,938
    3,99183
    -4,60465
    5,31156

    2,07
    3
    6,21
    1,59660
    -1,16475
    0,84971

    2,494
    8
    19,952
    0,74674
    -0,22814
    0,06970

    2,918
    9
    26,262
    0,12634
    0,01497
    0,00177

    3,342
    9
    30,078
    2,64856
    1,43679
    0,77943

    3,767
    12
    45,204
    11,23221
    10,86694
    10,51355

    Сумма
    50
    139,976
    35,27370
    -17,23345
    54,68358

    Выборочное среднее равно:

    Выборочная дисперсия:

    Выборочное среднее квадратичное отклонение:

    Коэффициент вариации:

    Размах выборки:

    Асимметрия:



    Эксцесс:



    в) Примем в качестве нулевой гипотезу : выборка, имеет нормальное распределение с параметрами Проверим ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости

    Для каждого интервала, используя данные таблицы 1, находим теоретические частоты по формуле: где Φ(z) – табличные значения функции Лапласа,

    Данные расчеты представим в таблице 3. При использовании приведенной формулы теоретических частот наименьшее значение аргумента функции Лапласа для первого интервала выборки принято равным а наибольшее значение аргумента для последнего интервала

    Таблица 3

    №

    инт.
    Границы




















    1
    1,01
    1,434
    6


    -1,626
    -0,5
    -0,44803
    0,05197
    2,5985
    4,45265

    2
    1,434
    1,858
    3
    -1,626
    -1,121
    -0,44803
    -0,36886
    0,07917
    3,9585
    0,23209

    3
    1,858
    2,282
    3
    -1,121
    -0,616
    -0,36886
    -0,23105
    0,13781
    6,8905
    2,19665

    4
    2,282
    2,706
    8
    -0,616
    -0,111
    -0,23105
    -0,04419
    0,18686
    9,343
    0,19305

    5
    2,706
    3,13
    9
    -0,111
    0,393
    -0,04419
    0,15284
    0,19703
    9,8515
    0,07360

    6
    3,13
    3,554
    9
    0,393
    0,898
    0,15284
    0,31541
    0,16257
    8,1285
    0,09344

    7
    3,554
    3,98
    12
    0,898


    0,31541
    0,5
    0,18459
    9,2295
    0,83165









    50












    1
    50
    8,07311

    Проверка:

    Проверяем согласие гипотезы о нормальном законе распределения изучаемой выборки по критерию Пирсона.



    Число степеней свободы k = s – 1 – r = 7 – 1 – 2 = 4, где s − число интервалов, а k – число параметров нормального распределения. По таблице критических точек распределения χ2 для уровня значимости α = 0,05 находим: .

    Так как следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения выборки принимается.

    Задание 9. Считая, что две первые строки таблицы задания 8 и следующие три строки являются двумя независимыми выборками из нормального распределения, проверьте при уровне значимости 0,05 гипотезы о равенстве математических ожиданий (критерий Стьюдента) и о равенстве дисперсий (критерий Фишера).

    Решение:

    X:
    2,12
    2,41
    2,68
    3,90
    2,53
    3,06
    3,65
    2,42
    1,13
    1,26




    1,81
    1,01
    1,95
    3,23
    3,15
    2,82
    2,58
    1,45
    3,81
    2,99




    Y:
    3,25
    3,98
    2,83
    2,59
    3,66
    2,60
    3,02
    3,84
    3,75
    2,94




    1,21
    1,42
    1,61
    3,92
    3,59
    2,45
    3,14
    3,14
    3,02
    3,89




    2,03
    3,91
    3,48
    3,87
    3,35
    3,15
    2,94
    1,26
    2,71
    3,38


    Проверим гипотезу при конкурирующей гипотезе при уровне значимости

    Сначала вычислим средние значения и исправленные дисперсии выборок X и Y.

    Средние значения:



    Исправленные дисперсии:



    Вычислим наблюдаемое значение критерия, как отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:



    По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя.

    По таблице критических точек распределения F Фишера при уровне значимости и числам степеней свободы и (так как 0,75391 > 0,66240) находим критическую точку:



    Так как – нулевую гипотезу принимаем. Таким образом дисперсии выборок X и Y равны при уровне значимости

    Проверим гипотезу при конкурирующей гипотезе при уровне значимости

    Вычислим наблюдаемое значение критерия, как отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:



    По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя.

    По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости и числу степеней свободы находим критическую точку:



    Так как – нулевую гипотезу принимаем. Таким образом математические ожидания выборок X и Y равны при уровне значимости

    Задание 10. При изучении зависимости между величиной Y и величиной X было получено 15 пар соответствующих значений этих величин. Аппроксимируйте статистическую зависимость величины Y от X линейной функцией y = ax + b. Вычислите остаточную дисперсию и коэффициент детерминации.
    1.

    X:
    –1,0
    –0,8
    –0,6
    –0,4
    –0,2
    0,0
    0,2
    0,4
    0,6
    0,8
    1,0
    1,2
    1,4
    1,6
    1,8

    Y:
    –2,1
    –2,9
    –3,5
    –4,1
    –4,2
    –3,9
    –3,7
    –3,2
    –1,3
    0,2
    1,5
    3,4
    5,3
    5,7
    7,5


    Решение:

    Для расчета параметров и линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно и :



    По исходным данным рассчитываем


















    1
    -2,1
    -1
    2,1
    1
    -5,8658
    14,18125
    3,05086

    2
    -2,9
    -0,8
    2,32
    0,64
    -5,0783
    4,74499
    6,48553

    3
    -3,5
    -0,6
    2,1
    0,36
    -4,2908
    0,62536
    9,90153

    4
    -4,1
    -0,4
    1,64
    0,16
    -3,5033
    0,35605
    14,03754

    5
    -4,2
    -0,2
    0,84
    0,04
    -2,7158
    2,20285
    14,79687

    6
    -3,9
    0
    0
    0
    -1,9283
    3,88760
    12,57887

    7
    -3,7
    0,2
    -0,74
    0,04
    -1,1408
    6,54950
    11,20020

    8
    -3,2
    0,4
    -1,28
    0,16
    -0,3533
    8,10370
    8,10353

    9
    -1,3
    0,6
    -0,78
    0,36
    0,4342
    3,00745
    0,89618

    10
    0,2
    0,8
    0,16
    0,64
    1,2217
    1,04387
    0,30617

    11
    1,5
    1
    1,5
    1
    2,0092
    0,25928
    3,43483

    12
    3,4
    1,2
    4,08
    1,44
    2,7967
    0,36397
    14,08749

    13
    5,3
    1,4
    7,42
    1,96
    3,5842
    2,94397
    31,96014

    14
    5,7
    1,6
    9,12
    2,56
    4,3717
    1,76438
    36,64280

    15
    7,5
    1,8
    13,5
    3,24
    5,1592
    5,47934
    61,67479

    Итого
    -5,3
    6
    41,98
    13,6
    -5,2995
    55,51358
    229,15733


    Подставим вычисленные суммы в систему для определения параметров линейной регрессии:



    Уравнение регрессии имеет вид: .

    Вычислим остатки. Для этого вычислим , подставив значения x в уравнение регрессии . Затем вычислим квадрат разности .

    Остаточную дисперсию вычислим по формуле:

    Коэффициент детерминации равен:


    написать администратору сайта