Решение Найдем корни уравнения 2(x)11sin(x) 0

• Название: Решение Найдем корни уравнения 2(x)11sin(x) 0
• Дата: 03.04.2019
• Размер: 22.58 Kb.
• Имя файла: Variant_16.docx
• Тип: Документы; #72583

З а д а н и е 3.1. Вычисление корней алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления (метод дихотомии)
- Отделить корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом.

- По методу половинного деления вычислить один корень заданного уравнения с точностью 10^-3 с помощью «ручной» расчетной таблицы и калькулятора.

- Отделить корни и вычислить один корень с помощью программы для компьютера с точностью 10^-5. С этой целью скачать бесплатную программу SciLab 5.5.2. из интернета.

-Сравнить результаты.

Номер варианта	Уравнение y(x)		Пояснения
16	2x-11sin(x)	-

Решение:

Найдем корни уравнения:

2(x)-11sin(x) = 0

ε = 0.001

Используем для этого метод половинного деления (метод дихотомии).

Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.

Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.

Определяем половину отрезка c=¹/₂(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:

1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.

2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].

3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].

Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.

Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:

b_n-a_n=¹/₂ⁿ(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем ¹/₂(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. Если выполняется условие:

(b_n – a_n)/2 < ε

то процесс поиска заканчивается и ξ = ¹/₂(a_n+b_n).

Число шагов, необходимых для достижения заданной точности определяется неравенством:



Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-10;10] разобьем на 3 подынтервалов.

h₁ = -10 + 1*(10-(-10))/3 = -3.3333333333333

h₂ = -10 + (1+1)*(10-(-10))/3 = 3.3333333333333

Поскольку F(-3.333)*F(3.333)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-3.3333333333333;3.3333333333333].
Итерация 1.

Находим середину отрезка: c = (-3.333 + 3.333)/2 = 4.4408920985006E-16

F(x) = 0

F(c) = -8.763

Таким образом, в качестве корня можно принять:

x=(-3.3333+3.3333)/2 = 4.4408920985006E-16

Ответ: x = 4.4408920985006E-16; F(x) = 0

Количество итераций, N = 1

Решение с помощью программы SciLab.

>function [y]=Fx(x)

--> y= 2*x-11*sin(x);

-->endfunction

-->//метод дихотомии

-->disp('--метод дихотомии-');

--метод дихотомии-

-->a=-10;

-->b=10;

-->e=1E-3;

-->n=0;

-->while abs((b-a))>e,

--> c=(a+b)/2;

--> if Fx(a)*Fx(c)<0 then

--> b=c;

-->else

-->a=c;

-->end

--> n=n+1;

-->end

-->x=(a+b)/2 //корень

x = 9.9996948

-->Dx=(a-b)/2 //погрешность корня

Dx = - 0.0003052

-->Fx_x=Fx(x)

Fx_x = 25.980805

-->n

n = 15.

Вывод:

Результат вычисления корней алгебраического уравнения y= 2*x-11*sin(x) методом половинного деления (метод дихотомии) и в программе SciLab не совпал.